Решенные задачи по статистике

     Задание 1

     Выбрать соответствующие варианту 25 предприятий. Составить статистическую таблицу, и изложить исходную информацию по каждому предприятию (среднегодовую стоимость основных фондов, объем производственной продукции, среднегодовую численность рабочих, среднюю выработку продукции на одного рабочего за каждый год).  

     Для вычисления средней выработки продукции  на одного рабочего, показатель, указывающий  на среднюю выработку продукции  за каждый год, разделим на общую численность рабочих. 
 

     Задание 2

     Произвести группировку и сводку данных, образовав четыре группы предприятий с равным интервалом по размеру основных фондов в базисном периоде. По каждой группе предприятий в целом по 25 предприятиям за каждый год определить:

1. число предприятий
2. общую стоимость основных фондов
3. общий объем продукции
4. общую численность рабочих
5. среднюю выработку продукции на одного рабочего

     Интервал  находим по формуле

      ,          (2.1)

     где

     Xmax – наибольшая стоимость основных  фондов,

     Xmin – наименьшая стоимость основных  фондов,

     n – количество предприятий

     Построим  интервалы по следующему алгоритму: 

     Первый  интервал равен 190- (190+252,5) = 190 – 442,5

     Второй  интервал равен 442,5 - (442,5+252,5) = 442,5 – 695

     Третий  интервал равен 695 - (695+252,5) = 695 – 947,5

     Четвертый интервал равен 947,5 – (947.5+252,5) = 947,5 – 1200 

     Макет рабочей таблицы

Сводная аналитическая таблица 

     Задание 4

     Определить:

     1.Средний  процент выполнения плана по  объему продукции за 2006 г. По  всей совокупности предприятий,  если известно, что план по  объему продукции в 2007 году  выполнен, предприятиями первой группы на 106%, а второй – на 103%, третий – на 96%, четвертой – на 98%. 

     2. Средний процент брака по всей  совокупности предприятий. Если известно, что доля брака в общем выпуске продукции за 2007 год составила: в первой группе предприятий – 3%, во второй – 2,6%, в третьей – 5,2%, в четвертной – 3,2%. 

     3. Моду и медиану стоимости основных фондов в 2006 и 2007 годах. Поясните их содержание.

     Для вычислений составим таблицу стоимости  основных фондов в 2006 году, используя  уже полученные в задании 1 данные 

     Максимальная  частота  =8, она соответствует третьей группе, модальным является интервал 695-947,5 млн. руб.

     Определим моду стоимости основных фондов по формуле

          (4.1)

      - нижняя граница модального  интервала,

      - величина модального интервала,

      - частота модального, предшествующего  и последующего за модальным интервалов. 

     Подставим значения для 2006 года. Модальным интервалом по размеру основных фондов является интервал №3 (695-947,5 млн. руб.), т.к. именно в этом интервале у наибольшего числа предприятий стоимость основных фондов находится в указанном интервале. 

     Наиболее  часто в 2006 году встречаются предприятия, у которых стоимость основных средств равна 821,25 млн. рублей. 

     Вычислим  медиану основных фондов по формуле 

            (4.2)

     Вычисленное значение медианы показывает, что у первых 12 предприятий стоимость основных фондов менее 742,3437 млн. руб., а оставшихся – более 742,3437. 

     Для расчета моды и медианы стоимости  основных средств за 2007 год определим  размах вариации по формуле (2.1) 

     Построим  интервалы по следующему алгоритму: 

     Первый  интервал равен 210- (190+277,5) = 210 – 487,5

     Второй  интервал равен 487,5 - (487,5+277,5) = 487,5 – 675

     Третий  интервал равен 675 - (675+277,5) = 675 – 1042,5

     Четвертый интервал равен 1042,5 – (1042,5+277,5) = 1042,5 – 1320 

     Результаты  занесем в таблицу 

     Определим моду по формуле 4.1 

     Наиболее часто в 2007 году встречаются предприятия, у которых стоимость основных средств равна 801,136 млн. рублей.

     Вычислим  медиану основных фондов по формуле 4.2 

     Вычисленное значение показывает, что у первых 12 предприятий в 2007 году стоимость основных менее 716,6257, а у остальных более 716,6257 млн. руб. 
 

     Задание 5

     Вычислить следующие показатели средней выработки  продукции на одного рабочего в 2006 году.

     А)межгрупповую дисперсию ( по данным статистической группировки)

     Б)общую  дисперсию (по исходным данным)

     В)среднюю  групповую дисперсию исходя из правил сложения дисперсий.

     Вычислить эмпирическое корреляционное отношение  и дайте ему экономическую  интерпретацию. 

     А) межгрупповая дисперсия характеризует  изменение признака, обусловленное факторами, положенными в основу группировки. Ее расчет производится по формуле

      ,       (5.1)

     где

      - локальная средняя в каждой  группе

     m – количество групп в совокупности

     Для решения найдем выработку продукции  на одного рабочего

     Произведем  группировку 

     1 Вычислим размах вариации по формуле  

      ,

     где Хmax, X min – максимальные и минимальные значения признака.

     R=5,8049 - 1,7514=3,7532

     Число статичных иитервалов найдем по формуле

      R=2Ln·n        (5.2)

     Где R – число частичных интервалов, n – объем выборки.

     R = 2Ln25=6

     Определим длину частичных интервалов по формуле

     Разобьем общий интервал на 6 частичных и подсчитаем результаты, которые занесем в таблицу  

     Для расчета воспользуемся исходной таблицей 

     Определение среднего показателя выработки

     Дисперсия для данного ряда составляет

     Б) вычислим общую дисперсию по исходным данным

     Сумма квадратов отклонений от среднего для  несгруппированных данных находится  по формуле

        (5.3)

     Средний показатель для несгруппированных  данных находится по формуле 

        (5.4) 

     Для удобства вычислений сформируем таблицу 

     Подставляя  значения в формулу (5.3) получим 

     В)среднюю  групповую дисперсию, исходя из правил сложения дисперсий.

     Все три вида дисперсии связаны между  собой: общая дисперсия равна  сумме средней внутригрупповой  дисперсии и межгрупповой дисперсии:

     Значит, средняя дисперсия равна разности между общей и межгрупповой дисперсии.

     Правило сложения дисперсий показывает, что чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на изучаемый результативный признак.

     В нашем случае доля межгрупповой дисперсии  большая, значит влияние группировочного  признака на изучаемый результативный признак существенное.

     Вычислить эмпирическое корреляционное отношение  и дать ему экономическую интерпретацию.

     Эмпирическое  корреляционное отношение, которое  представляет собой корень квадратный из коэффициента детерминации.

      , где

      - коэффициент детерминации

     Эмпирическое  корреляционное отношение равно 0,8260. Применив классифицировать по шкале Чеддока, можно сказать, что степень тесноты связи между результативными и факторными признаками тесная.

     Эмпирическое  корреляционное отношение измеряет, какую часть общей колеблемости результативного признака вызывает изучаемый фактор. 
 
 

     Задание 6

1. Отобрать 10 заводов и вычислить показатели за 2007 год:

     А) среднюю выработку продукции на одного рабочего;

     Б) долю рабочих, у которых выработка  ниже средней выработки на одного рабочего в выборочной совокупности.

     2. с вероятностью 0,954 (t=2) определить предельную ошибку выборки и пределы доли рабочих, у которых вырабока продукции ниже средней выработки на одного рабочего

     3. с вероятностью 0,997 (t=3) определить предельную ошибку выборки и проделы доли рабочих, у которых выработка продукции ниже средней вырабтки на одного рабочего

       Решение

     1 

     А)Средняя выработка продукции на 1 рабочего равна 2,5542 млн.руб. 

     Б)Если общее количество рабочих равно 1829 человек, а средняя выработка  на одного рабочего меньше 2,5542 млн. рублей у предприятий №№ 1, 2, 3, 4, 5, сумма рабочих у которых составляет 1033 человека, то возможно вычислить их долю

     1829 – 100%

     1033 – х%

     Х=56,5% 

     2 с вероятностью 0,954 (t=2) определим предельную ошибку выборки и пределы доли рабочих, у которых вырабока продукции ниже средней выработки на одного рабочего 

     Рассчитаем  дисперсию по формуле  

     Рассчитаем  среднеквадратичное отклонение

     Определяем  среднюю ошибку выборки по формуле

       Рассчитаем предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954 (t=2)

     Определяем  границы изменения генеральной  средней

     Предельная  ошибка выборки равна 2,9%. Пределы доли рабочих, у которых выработка ниже средней от 53,6% (56,5 – 2,9) до 58,4% (56,5+2,9) 

     Рассчитаем  предельную ошибку с вероятностью 0,997 (t=3)

     Предельная  ошибка выборки равна 4,38%. Пределы доли рабочих, у которых выработка ниже средней выработки от 52,12% до 60,88% 
 

      Задача 10

     Имеются данные о затратах времени студентов  г.Владивостока на дорогу по периодам:

     Определить  средние затраты времени студентов  г.Владивостока на дорогу за каждый период времени. Обосновать выбор формул.

     Решение:

     Несколько изменим таблицу, вычислив все затраты  времени в ч/часах для базисного  периода

     Для определения средних затрат времени  используем формулу гармонической взвешенной, потому что данная формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. Как в нашем случае.

      , где

      - величины, для которых исчисляется  средняя;

      - средняя, где черта сверху  свидетельствует о том, что  имеет место осреднение индивидуальных значений;

      - частота (повторяемость индивидуальных  значений признака).

     Подставим значения базисного периода 

     Вычислим  значения отчетного периода по формуле 6666666

     Ответ: в базисном периоде средние затраты  времени на дорогу составили 34 минуты, в отчетном – 42 минуты. 

     Задача 33

     Товарооборот и изменение цен на товары характеризуются следующими данными 

     Рассчитать  индекс цен Пааще и физического  объема товарооборота Ласпейреса, абсолютное изменение товарооборота за счет изменения цен и количества.

     Решение

      , где

     p – цена (0- базисного периода, 1- текущего)

     q – объем товара (1- отчетного, 0 – базисного)

     pq – товарооборот, стоимость продукции

     Агрегатный  индекс физического объема с ценами базисного периода (формула Ласпейреса)

      , где

     Проведя преобразование числителя агрегатного  индекса через индивидуальный индекс

     Получим

     Агрегатный  индекс цен с количеством продукции  текущего периода (формула Пааше)

     В этом индексе реальная величина в числителе, а условная – в знаменателе. Произведем замену через индивидуальный индекс

      ,

     Тогда

      или 136%. Цены поднялись на 36%

      ( снижение на 6%)

     Ответ: Индекс цен равен 1,36, индекс физического  объема – 0,94, абсолютное изменение  товарооборота за счет изменения  цен и количества – 128%. 

     Задача 48.

     Общий выпуск продукции и стоимость основных производственных средств по отраслям характеризуется данными: 

     Определите:

1. капиталоемкость продукции по каждой отрасли в целом;
2. индексы динамики средней капиталоотдачи (система индексов)
3. общий прирост (уменьшение) стоимости основных средств за счет динамики объема выпуска продукции
4. сделайте выводы.

     Показатель  капиталоемкости продукции показывает отношение величины капитальных вложений к определяемому ими приросту объема выпускаемой продукции:

     где Кq — капиталоемкость продукции;

     К — средняя стоимость основных фондов;

     DQ — прирост объема выпускаемой продукции.

     Капиталоотдача  находится по формуле

      , где

      - объем производственных фондов

     ОПФ – стоимость производственных фондов.

     Вычислим  средний показатель капиталоотдачи предложенных отраслей экономики по формуле

     Общее изменение стоимости основных средств  за счет динамики объема выпуска продукции  найдем по формуле

      =(3,6-2,7)·1,6=1,44

      =(2,3-1,6)·0,8=0,56

     Вывод:

     1 Капиталоемкость дает представление о том, какой размер капитала используется в рассечете на единицу произведенной (реализованной) продукции. В отрасли экономики А 1 рубль 61 копейка основного капитала идет на рубль выпускаемой продукции, в предприятии В – 1 рубль основных средств идет на рубль выпускаемой продукции.

     2 Индекс динамики капиталоотдачи предприятия А указывает, что капиталоотдача в текущем году выросла на 8,3%, у предприятия В – на 8,1%.

     3 Рост объема выпускаемой продукции предприятия А повысил стоимость основных фондов на 1,44 млн. ден.ед., а предприятия В – на 0,56 млн. ден.ед.. 

     Задача 52

     Имеются следующие данные о наличии и  движении основных фондов на предприятии деревообрабатывающей промышленности за год, тыс. руб.