Риск и диверсификация
«Тульский институт экономики и информатики»
Негосударственная образовательная организация
высшего профессионального образования некоммерческое партнерство
Кафедра
Бухгалтерский учет, анализ и аудит
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине Финансовая математика
тема: Риск и диверсификация
Выполнил студент(ка) группы ТлБиА08а, специальность (направление подготовки) ______________________________
Рожкова Мария Сергеевна
Проверил
Преподаватель_________________
(должность, ученая степень, ученое звание)
______________________________
Тула 2012
Содержание
Введение 3
1. Риск 4
2. Диверсификация инвестиций , дисперсия дохода 8
3. Минимизация дисперсии дохода 15
Задача 18
Заключение 19
Список использованной литературы 20
Введение
Риск в общем смысле означает наступление неблагоприятного исхода событий, которые могут повлечь за собой значительные убытки различного рода. При осуществлении предпринимательской деятельности каждая компания сталкивается с различного рода рисками. Финансовые риски являются одним из подразделением всех предпринимательских рисков. С финансовыми рисками связывают такие риски наступление которых может привести к потери ресурсов, не получению дохода либо увеличение расходов предприятия. Отличительной чертой финансовых рисков является то, что они имеют стоимостную оценку и могут заранее быть спрогнозированы.
1. Риск
В финансовом анализе производственных инвестиций мы неизбежно сталкиваемся с неопределенностью, неоднозначностью показателей затрат и отдачи. В связи с этим возникает проблема измерения риска и его влияния на результаты инвестиций. Поскольку вопросы, связанные с измерением риска в
экономической деятельности, рассмотрены в отечественной литературе явно недостаточно, остановимся на них более подробно, чем, возможно, это необходимо для раскрытия основной темы данной работы. Широко распространенный термин "риск", как известно, понимается неоднозначно. Его содержание определяется той конкретной задачей, где этот термин используется. Достаточно просто перечислить такие понятия как кредитный, валютный, инвестиционный, политический, технологический риски, риск ликвидности активов и т.д. Отметим, что даже самое общее определение этого понятия не оставалось неизменным во времени. Говоря о первом в экономике научном определении риска, обычно ссылаются на Ф. Найта (1921), который предложил различать риск и неопределенность. Риск имеет место тогда, когда некоторое действие может привести к нескольким взаимоисключающим исходам с известным распределением их вероятностей. Если же такое распределение неизвестно, то соответствующая ситуация рассматривается как неопределенность. Как нам представляется, здесь речь идет, скорее, не об определении риска, а лишь о наличии информации, характеризующей риск. В экономической практике, особенно финансовой, обычно не делают различия между риском и неопределенностью. Чаще всего под риском понимают некоторую возможную потерю вызванную наступлением случайных неблагоприятных событий. В некоторых областях экономической деятельности сложились устойчивые традиции понимания и измерения риска. Наибольшее внимание к измерению риска проявлено в страховании. Объяснять причину такого внимания нет необходимости. Измеритель риска, как возможная потеря страховщика, был использован еще в конце XVIII в. В других направлениях финансовой деятельности под риском также понимается некоторая потеря. Она может быть объективной, т.е. определяться внешними воздействиями на ход и результаты деятельности хозяйствующего субъекта. Так, например, потеря покупательной способности денег (инфляционный риск) не зависит от воли и действий их владельца. Однако, часто риск, как возможная потеря, может быть связан с выбором того или иного решения, той или иной линии поведения. Заметим также, что в некоторых областях деятельности риск понимается как вероятность наступления некоторого неблагоприятного события. Чем выше эта вероятность, тем больше риск. Такое понимание риска оправданно в тех случаях, когда событие может наступить или не наступить (банкротство, крушение и т.д.).
Когда невозможны непосредственные измерения размеров потерь или их вероятностей, риск можно квантифицировать с помощью ранжирования соответствующих объектов, процессов или явлений в отношении возможного ущерба, потерь и т.д. Ранжирование обычно основывается на экспертных суждениях. Естественной реакцией на наличие риска в финансовой деятельности является стремление компенсировать его с помощью так называемых рисковых премий (risk premium), которые представляют собой различного рода надбавки (к цене, уровню процентной ставки, тарифу и т.д.), выступающие в виде "платы за риск". Второй путь ослабления влияния риска заключается в управлении риском. Последнее осуществляется на основе различных приемов, например, с помощью заключения форвардных контрактов, покупки валютных или процентных опционов и т.д.
Одним из приемов сокращения риска, применяемым в инвестиционных решениях, является диверсификация, под которой понимается распределение общей инвестиционной суммы между несколькими объектами. Диверсификация — общепринятое средство сокращения любого вида риска. С увеличением числа элементов набора (портфеля) уменьшается общий размер риска. Однако только в случае, когда риск может быть измерен и представлен в виде статистического показателя, управление риском получает надежное основание, а последствия диверсификации поддаются анализу с привлечением методов математической статистики.
В инвестиционном анализе и страховом деле риск часто измеряется с помощью таких стандартных статистических характеристик, как дисперсия и среднее квадратическое (стандартное) отклонение. Обе характеристики измеряют колебания, в данном случае — колебания дохода. Чем они больше, тем выше рассеяние показателей дохода вокруг средней и, следовательно, степень риска.
Напомним, что между дисперсией (D) и средним квадратическим отклонением (σ) существует следующее соотношение:
В свою очередь дисперсия относительно выборочной средней () находится как
где n — количество наблюдений, х — средняя случайной переменной X. Как известно, среднее квадратическое отклонение имеет то неоспоримое достоинство, что при близости наблюдаемого распределения (например, распределении дохода от инвестиций) к нормальному, что, строго говоря, должно быть статистически проверено, этот параметр может быть использован для определения границ, в которых с заданной вероятностью следует ожидать значение случайной переменной. Так, например, с вероятностью 68% можно утверждать, что значение случайной переменной X (в нашем случае доход) находится в границах х± σ, а с вероятностью 95% — в пределах х ± 2σ и т.д. Сказанное иллюстрируется на рис. 1
Рис.1
2. Диверсификация инвестиций, дисперсия дохода
Определим теперь что дает диверсификация для уменьшения риска и выявим условия, когда эта цель достигается. В качестве объекта анализа примем некоторый абстрактный портфель ценных бумаг (далее для краткости — портфель). Такой выбор объясняется методологическими преимуществами — в этом случае проще выявить зависимости между основными переменными. Однако многие из полученных результатов без большой натяжки можно распространить и на производственные инвестиции. В предыдущем параграфе отмечалось, что в качестве измерителя риска в долгосрочных финансовых операциях широко распространена такая мера, как дисперсия дохода во времени. Диверсификация портфеля при правильном ее применении приводит к уменьшению этой дисперсии при всех прочих равных условиях. Диверсификация базируется на простой гипотезе. Если каждая компонента портфеля (в рассматриваемой задаче — вид ценной бумаги) характеризуется некоторой дисперсией дохода, то доход от портфеля имеет дисперсию, определяемую его составом. Таким образом, изменяя состав портфеля, можно менять суммарную дисперсию дохода, а в некоторых случаях свести ее к минимуму.
Итак, пусть имеется портфель из n видов ценных бумаг. Доход от одной бумаги вида i составляет величину Суммарный доход (А), очевидно, равен
A=
где — количество бумаг вида i.
Если di представляет собой средний доход от бумаги вида i, то величина А характеризует средний доход от портфеля бумаг в целом. Для начала положим, что показатели доходов различных видов бумаг являются статистически независимыми величинами (иначе говоря, не коррелируют между собой). Дисперсия дохо-да портфеля (обозначим ее как D) в этом случае находится как
где D. — дисперсия дохода от бумаги вида i, n — количество видов ценных бумаг. Для упрощения, которое нисколько не повлияет на результаты дальнейших рассуждений, перейдем от абсолютного измерения количества ценных бумаг к относительному. Пусть теперь а. характеризует долю в портфеле бумаги вида i, т.е. 0
Для зависимых в статистическом смысле показателей дохода отдельных бумаг дисперсию суммарного дохода находим следующим образом:
+2
где Di— дисперсия дохода от бумаги вида i, rj — коэффициент корреляции дохода от бумаг вида i и j, σi и σj — среднее квадратическое отклонение дохода у бумаг вида i и j.
Коэффициент корреляции двух случайных переменных x и у,
как известно, определяется по формуле
где х,у— средние (в нашем случае средние доходы двух видов бумаг).
Поскольку коэффициент корреляции может быть как положительной, так и отрицательной величиной, то, при положительной корреляции го дохода увеличивается, при отрицательной она сокращается. В самом деле, при заметной отрицательной корреляции положительные отклонения от среднего дохода одних бумаг погашаются отрицательными отклонениями у других. И наоборот, при положительной корреляции отклонения суммируются, что увеличивает общую дисперсию и риск.
Проследим теперь, каково влияние масштаба диверсификации на размер риска. Под масштабом диверсификации здесь будем понимать количество объектов, выбранных для инвестиции (количество видов ценных бумаг). Обратимся к условному примеру, который позволяет наиболее отчетливо выделить влияние указанного фактора. Итак, пусть портфель состоит из бумаг различного вида, но имеющих одинаковую дисперсию дохода (Oq). Удельные веса в портфеле каждого вида бумаг также одинаковы, а общая сумма вложений равна 1. Положим, что показатели доходности у отдельных видов бумаг статистически независимы, В этих условиях для оценки величины среднего квадратического отклонения дохода портфеля получим
где n — количество видов ценных бумаг.
Воспользуемся приведенной формулой и определим дисперсию дохода для портфеля, состоящего из двух и трех видов бумаг. Так, для двух бумаг имеем
Для трех видов бумаг квадратическое отклонение портфеля составит 0,58. Таким образом, с увеличением числа составляющих портфеля риск уменьшается даже при одинаковой дисперсии составляющих элементов. Однако прирост действенности диверсификации уменьшается. Соответствующая зависимость изображена на рис. 2.
Рис.2
Как видим, наибольшее влияние увеличение масштабов диверсификации оказывает на начальных стадиях, т.е. при малых значениях п. Например, в рамках рассмотренного примера переход от одного вида бумаг к четырем сокращает квадратиче- ское отклонение на 50%, а от одного к восьми — на 65%.
Полученные выше выводы в отношении тенденции изменения среднего квадратического отклонения в зависимости от числа составляющих при условии, когда дисперсии составляющих одинаковы, очевидно, справедливы и для более общих случаев. Однако, зависимость этих параметров от степени диверсификации проявляется здесь не столь четко.
Посмотрим теперь, как изменяются доход и величина риска при изменении структуры портфеля. Для этого вернемся к формулам (2) и (3) и запишем их только для двух видов бумаг (X и У). Такой анализ вряд ли имеет практическое значение.
Однако с его помощью наглядно демонстрируются последствия "смешения" ценных бумаг с различными доходностью и дисперсией. Для независимых доходов получим
и для зависимых доходов
Причем а = 1 - ах
В этом случае среднее значение суммарного дохода определяется как
Пусть Очевидно, что в силу этих условий рост доли бумаг второго вида увеличивает доходность портфеля. Так, на основе получим
Что касается дисперсии дохода портфеля, то, как, положение не столь однозначно и зависит от знака и степени корреляции. В связи с этим подробно рассмотрим три ситуации: полная положительная корреляция доходов, полная отрицательная корреляция (г = — 1), независимость доходов или нулевая корреляция (г = 0).
В первом случае увеличение дохода за счет включения в портфель бумаги вида Y помимо X сопровождается ростом как дохода, так и дисперсии. Для портфеля, содержащего оба вида бумаг, квадратическое отклонение находится в пределах из бумаг вида X, а Y — портфель из бумаг вида У).
Для частного случая, когда . Иначе говоря, при полной положительной корреляции "смешение" инвестиций не окажет никакого влияния на величину дисперсии.
При полной отрицательной корреляции доходов динамика квадратического отклонения доходов от портфеля более сложная. По мере движения от точки точке Y эта величина сначала сокращается и доходит до нуля в точке В, затем растет (см. рис 4).
В последней из рассматриваемых ситуаций квадратическое отклонение при увеличении доли бумаги Y проходит точку минимума, равного σ, далее оно растет до σу (см. рис. 5).
Совместим теперь все три графика на одном (см. рис. 6.)
Как видим, все возможные варианты зависимости "доход— СО" находятся в треугольнике XBY.
Рис. 3
Рис. 5
Из сказанного непосредственно следует, что эффективность диверсификации (в отношении сокращения риска) наблюдается только при отрицательной или, в крайнем случае, нулевой корреляции.
Продолжим анализ с двумя бумагами и проследим, как влияет включение в портфель безрисковой (risk free) инвестиции. В странах со стабильной экономикой безрисковой обычно считается ценная бумага, выпущенная государственным казначейством.
Для этого заменим в портфеле бумагу Y с параметрами d, а на бумагу с такой же доходностью, но с нулевой дисперсией. Доходность портфеля от такой замены, разумеется, не изменится.
Что же касается дисперсии, то она теперь составит:
Дисперсия дохода портфеля теперь зависит от удельного веса безрисковой составляющей, так как
Таким образом, "разбавление" портфеля безрисковой бумагой снижает риск портфеля в целом, а квадратическое отклонение дохода портфеля определяется убывающей линейной функцией доли безрисковой бумаги. Если (в противном случае проблема выбора портфеля отпадает — он должен состоять только из безрисковых бумаг), то доход от портфеля по мере увеличения доли безрисковой бумаги уменьшается от , а
величина квадратического отклонения сокращается от
(см. рис.7). И наоборот, рост доли рисковой бумаги увеличивает как риск, так и доход.
Последнее утверждение для портфеля, состоящего из двух видов бумаг, иллюстрируется уравнением, которое получено преобразованием:
В свою очередь на основе находим
В итоге получим интересное соотношение
Дробь в приведенном выражении иногда рыночной ценой риска. Если эта величина равна, скажем, 0,5, то при росте квадратического отклонения на 1% доход увеличится на 0,5%.
3. Минимизация дисперсии дохода
Приведенные выше выражения для дисперсии суммарного дохода позволяют рассмотреть проблему диверсификации инвестиций и риска еще в одном аспекте, а именно, — определить структуру портфеля, которая минимизирует дисперсию и, следовательно, риск. Для нахождения минимума дисперсии вернемся к определяющим ее формулам. Если предположить, что нет статистической зависимости между доходами от отдельных видов инвестиций, то найти оптимальную в указанном смысл структуру портфеля не так уж и сложно. Положим, что портфель, как и выше, состоит из двух видов бумаг X и Y Их доли в портфеле составляют а дисперсии . Общая дисперсия определяется по формуле . Поскольку эта функция является непрерывной, то применим стандартный метод определения экстремума. Находим, что минимальное значение дисперсии суммы имеет место тогда, когда
Формулу обычно приводят в аналитической финансовой литературе. Однако, чтобы ею можно было воспользоваться, необходимо иметь значения дисперсий. По-видимому, при расчетах на перспективу удобнее оценить или задать экспертным путем отношение дисперсий:
Разделим теперь числитель и знаменатель , получим
При наличии корреляции между показателями доходов обратимся к формуле. Минимум этой функции имеет место в случае,
когда
или, использовав отношение дисперсий , получим
Как видно из приведенных формул, расчетная величина доли одной из бумаг может при некоторых условиях оказаться отрицательной. Отсюда следует, что этот вид бумаги просто не должен включаться в портфель.
Пусть теперь портфель состоит из трех видов бумаг X, Y, Z
Их доли Дисперсия дохода от портфеля при условии независимости доходов от отдельных видов бумаг составит
Минимум дисперсии достигается, если структура портфеля определяется следующим образом:
He будем останавливаться на ситуации, когда доходы трех видов бумаг статистически зависимы. Перейдем к общей постановке задачи и определим структуру портфеля с n составляющими. Допустим, что доходы статистически независимы. Опустим доказательства' и приведем результат в матричном виде:
где е — единичный вектор, характеризующий структуру портфеля,
А — вектор, характеризующий n — 1 элементов структуры портфеля.
Матрица D имеет размерность (n — i) х (n — i).
Заметим, что структуру портфеля, минимизирующую дисперсию дохода, с n составляющими при наличии корреляции определить так же просто, как это было сделано выше, нельзя. Однако решение существует, хотя его получение достаточно хлопотное дело, да и вряд ли оно необходимо для практики.
Анализ диверсификации представляет собой первый этап в исследовании портфеля инвестиций. Следующим является максимизация дохода. Эта проблема также связана с измерением риска и требует обстоятельного специального обсуждения, вы-ходящего за рамки настоящего учебника. Поэтому ограничимся лишь замечанием о том, что метод Г. Марковица, который заключается в разработке и решении специальной модели нелинейного программирования с использованием показателей доходов и дисперсий, в теоретическом плане не вызывает возражений. Что касается его практического применения, то здесь, на наш взгляд, скрыты серьезные подводные камни. Затронем лишь одну проблему — какой срок для расчета дисперсий следует принять во внимание? Если ограничиться небольшим сроком, то получим наиболее приближенные к современности данные. Однако они могут оказаться неустойчивыми, содержать много "шума", с другой стороны, стремление охватить максимальный срок неизбежно приведет к устареванию данных.
Задача .
Ссуда в размере Р руб. выдана на n лет по простой ставке процентов i% годовых. Определить наращенную сумму.
S=P(1+ni) S=P+I, (2) где I=Pni. (3)
№ варианта | P | S | i % | iс % | d % | dс % | n | g (дней) |
1 | 48000 | 97000 | 5 | 17 | 10 | 8 | 5 | 120 |
L=48000*5*0.05=12000
S=48000+12000=60000
Ответ: 60 000 тыс. руб.
Заключение
Процесс оценки рисков инвестиционных проектов является неотъемлемой частью определения их эффективности. Точный прогноз осуществления инвестиционного проекта невозможен ни при каких обстоятельствах, так как при прогнозировании всегда присутствует неопределённость внешней среды, но существуют специальные методы, которые позволяют не только определить с большей или меньшей точностью множество возможных вариантов развития событий, но и описать поведение предприятия и условия реализации проекта для выделенных ситуаций.
Для оптимизации оценки рисков компании желательно включить в основу определения уровня инвестиционных рисков наиболее популярный метод из категории исследования операций – теория игр, что позволит оценивать максимальные неопределённости.
Также следует откорректировать и оптимизировать определение ставки дисконтирования, используемой на предприятии в соответствии с общей стратегией компании и целями инвестиционных проектов.
Список литературы
1. Финансовая математика. П. Д. Шимко. Издательство «Высшая школа» 2007 г.
2. Управление рисками. В. В. Глущенко.
3. Финансовый менеджмент. Экспресс-курс. 4-е издание. Ю. Бригхэм, Д. Хьюстон. 2008 г.
4. Финансовые риски. Е. М. Четыркин. 2008 г.
19
