Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Рынок вторичного жилья

Исходные данные о продаже квартир на вторичном рынке жилья

№ п/п

x₁

x₂

Задание

22.5

18.5

13.2

25.8

14.5

19.5

14.2

13.3

16.1

13.516

29.5

30.8

y – цена квартиры (тыс.$);

x₁ – жилая площадь(кв. м);

x₂ – время пути до метро (мин).

По имеющимся статистическим данным

отдельно для пар (у,х₁) и (у,х₂) найти:

а) уравнение линейной регрессии;

б) коэффициент корреляции;

в) среднюю величину у при х₁=35 (х₂=12);

г) 95% доверительные интервалы для

индивидуального и среднего значения у;

д) с надежностью 0.95 интервальные оценки коэффициента регрессии ₁и дисперсии ²;

е) коэффициент детерминации.

Оценить на уровне 0.05 значимость

уравнения регрессии.

Сделать анализ полученных результатов.

Табличные значения стандартных функций распределения:

t_0.05,14 = 2.145 F_0.05,1,14= 4.6

²_0.025,14=26.1 ²_0.975,14=5.63

1. Парная регрессия y на x₁.

а) Найти уравнение линейной регрессии для x₁.

№ п/п	y_i	x_i	y²	x²	*x y**	x_i–	(x_i –)²
1	22,5	29	506,25	841	652,5	-3,3	10,89
2	26	35	676	1225	910	2,7	7,29
3	18,5	28	342,25	784	518	-4,3	18,49
4	13,2	30	174,24	900	396	-2,3	5,29
5	25,8	51	665,64	2601	1315,8	18,7	349,69
6	17	38	289	1444	646	5,7	32,49
7	18	30	324	900	540	2,3	5,29
8	21	32	441	1024	672	-0,3	0,09
9	14,5	27	210,25	729	391,5	-5,3	28,09
10	23	39	529	1521	897	6,7	44,89
11	19,5	29,5	380,25	870,25	575,25	-2,8	7,84
12	14,2	29	201,64	841	411,8	-3,3	10,89
13	13,3	30	176,89	900	399	-2,3	5,29
14	16,1	30,8	259,21	948,64	495,88	-1,5	2,25
15	13,5	28	182,25	784	378	-4,3	18,49
16	16	31	256	961	496	-1,3	1,69
Сумма	292,1	517,3	5613,87	17273,89	9694,73		548,95
Средняя	18,2	32,3	350,9	1079,6	605,9		34,3

Таким образом, выборочные средние значения = 32,3; = 18,2; = 605,9;

выборочная дисперсия = 34,3;

выборочная ковариация cov(x,y) = = 605,9-32,3*18,2 = 18,04;

Коэффициенты регрессии b₁== = 0,53

= 18,2 – 0,53*32,3 = 1,08

При увеличении жилой площади на 1 кв.м цена квартиры в среднем возрастает на 0,53 тыс.$.

Уравнение регрессии = 1,08 + 0,53 * x.

б) рассчитать коэффициент корреляции

Между величиной жилой площади квартиры и ценной квартиры наблюдается умеренная положительная зависимость.

в) определить среднюю величину y при x₁=35.

Средняя цена квартиры при жилой площади 35 кв.м составляет 19.63 тыс.$. Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице.

№ п/п	y_i	x_i
1	22,5	29	16.45	6.05	36.60	4.3	18.49
2	26	35	19.63	6.37	40.58	7.8	60.84
3	18,5	28	15.92	2.58	6.66	0.3	0.09
4	13,2	30	16.98	-3.78	14.29	-5.0	25.00
5	25,8	51	28.11	-2.31	5.34	7.6	57.76
6	17	38	21.22	-4.22	17.81	-1.2	1.44
7	18	30	16.98	1.02	1.04	-0.2	0.04
8	21	32	18.04	2.96	8.76	2.8	7.84
9	14,5	27	15.39	-0.89	0.79	-3.7	13.69
10	23	39	21.75	1.25	1.56	4.8	23.04
11	19,5	29,5	16.72	2.78	7.73	1.3	1.69
12	14,2	29	16.45	-2.25	5.06	-4.0	16.00
13	13,3	30	16.98	-3.68	13.54	-4.9	24.01
14	16,1	30,8	17.40	-1.30	1.69	-2.1	4.41
15	13,5	28	15.92	-2.42	5.86	-4.7	22.09
16	16	31	17.51	-1.51	2.28	-2.2	4.84
Сумма	292,1	517,3			169.59		281.27
Средняя	18,2	32,3					17.58

г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.

С учетом значений из обеих таблиц:

Остаточная дисперсия

Дисперсия среднего значения

= 0.920

Стандартное отклонение

Дисперсия индивидуального значения y₀

Стандартное отклонение y₀

Для доверительной вероятности =0,95 уровень значимости  = 1- = 0,05.

Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости  = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16-2 =14 составляет t_0.05,8 = 2,31.

Доверительный интервал для среднего значения

19.63 – 2.1450.96  y  19.63 + 2.1450.96

17.57 y  21.69

Доверительный интервал для индивидуального значения

19.63 – 2.1453.61  y₀  19.63 + 2.1453.61

11.89  y₀  27.37

С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с площадью 35 кв.м с вероятностью 95% лежит в пределах от 17,57 до 21,69 тыс.$; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 11,89 до 27,37 тыс.$.

д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии ₁ и дисперсии возмущений ².

Дисперсия коэффициента регрессии == 0.022

Стандартное отклонение

Доверительный интервал для коэффициента регрессии ₁

0.53–2.1450.148  ₁  0.53+ 2.1450.148

0.21  ₁  0.85

С надежностью 0,95 увеличение площади квартиры на 1 кв.м приводит к увеличению цены квартиры на величину от 0,21 до 0,85 тыс.$.

Табличные значения распределения ²Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют

;

Доверительный интервал дисперсии возмущений

7,42  ²  34,42

Интервал для стандартного отклонения 2,72    5,87.

С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 7,42 до 34,42, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 2,72 до 5,87.

Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.

Общая сумма квадратов отклонений y = 281,27

Остаточная сумма квадратов = 169,59

Сумма квадратов, объясненная регрессией = 281,27–169,59 = 111,68

Величина F-критерия

= 9,23,

где m – число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.

Табличное значение F-распределения Фишера для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m-1=1 составляет F_0,05,1,14=4,6.

Так как расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии y по x₁ следует признать значимым, т.е. заслуживающим доверия.

Определим коэффициент детерминации.

0,40

Вариация зависимой переменной (цены квартиры) на 40% определяется фактором x –площадью квартиры.

2. Парная регрессия y на x₂.

а) Найти уравнение линейной регрессии для x₂.

№ п/п	y_i	x_i	y²	x²	*x y**	x_i–	(x_i –)²
1	22,5	15	506,25	225	337,5	1,9	3,61
2	26	10	676	100	260	-3,1	9,61
3	18,5	10	342,25	100	185	-3,1	9,61
4	13,2	25	174,24	625	330	11,9	141,61
5	25,8	10	665,64	100	258	-3,1	9,61
6	17	12	289	144	204	-1,1	1,21
7	18	15	324	225	270	1,9	3,61
8	21	20	441	400	420	6,9	47,61
9	14,5	10	210,25	100	145	1,9	3,61
10	23	5	529	25	115	-8,1	65,61
11	19,5	15	380,25	225	292,5	1,9	3,61
12	14,2	12	201,64	144	170,4	-1,1	1,21
13	13,3	5	176,89	25	66,5	-8,1	65,61
14	16,1	10	259,21	100	161	-3,1	9,61
15	13,5	25	182,25	625	337,5	11,9	141,61
16	16	10	256	100	160	-3,1	9,61
Сумма	292,1	209	5613,87	3263	3712,4		526,96
Средняя	18,2	13,1	350,9	203,94	232,025		32,9

Таким образом, выборочные средние значения = 13,1; = 18,2; = 232,025;

выборочная дисперсия = 32,9;

выборочная ковариация cov(x,y) = = 232,025-13,1*18,2 = -6,4;

Коэффициенты регрессии b₁== = -0,19

= 18,2 – (-0,19)*13,1 = 20,7

При увеличении времени пути до метро на 1 мин. цена квартиры в среднем снижается на 0,19 тыс.$.

Уравнение регрессии = 20,7 – 0,19 * x.

б) рассчитать коэффициент корреляции

Между временем пути до метро от квартиры и ценной квартиры наблюдается слабая отрицательная зависимость.

в) определить среднюю величину y при x₂=12.

Средняя цена квартиры при времени пути до метро 12 минут составляет 19.63 тыс.$.

Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице

№ п/п	y_i	x_i
1	22,5	15	17,85	4,65	21,62	4.3	18.49
2	26	10	18,80	7,2	51,84	7.8	60.84
3	18,5	10	18,80	-0,3	0,09	0.3	0.09
4	13,2	25	15,95	-2,75	7,56	-5.0	25.00
5	25,8	10	18,80	7,0	49,0	7.6	57.76
6	17	12	18,42	-1,42	2,02	-1.2	1.44
7	18	15	17,85	0,15	0,02	-0.2	0.04
8	21	20	16,90	4,1	16,81	2.8	7.84
9	14,5	10	18,80	-4,3	18,49	-3.7	13.69
10	23	5	19,75	3,25	10,56	4.8	23.04
11	19,5	15	17,85	1,65	2,72	1.3	1.69
12	14,2	12	18,42	-4,22	17,81	-4.0	16.00
13	13,3	5	19,75	-6,45	41,60	-4.9	24.01
14	16,1	10	18,80	-2,7	7,29	-2.1	4.41
15	13,5	25	15,95	-2,45	6,003	-4.7	22.09
16	16	10	18,80	-2,8	7,84	-2.2	4.84
Сумма	292,1	209			261,27		281.27
Средняя	18,2	13,1					17.58

г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.

С учетом значений из обеих таблиц:

Остаточная дисперсия

Дисперсия среднего значения

= 1,21

Стандартное отклонение

Дисперсия индивидуального значения y₀

Стандартное отклонение y₀

Для доверительной вероятности =0,95 уровень значимости  = 1- = 0,05.

Доверительный интервал для среднего значения

18,42 – 2,1451,1  y  18,42 + 2,1451,1

16,06 y  20,78

Доверительный интервал для индивидуального значения

18,42 – 2,1454,46  y₀  18,42 + 2,1454,46

8,85  y₀  27,99

С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с временем пути до метро 12 минут с вероятностью 95% лежит в пределах от 16,06 до 20,78 тыс.$; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 8,85 до 27,99 тыс.$.

д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии ₁ и дисперсии возмущений ².

Дисперсия коэффициента регрессии == 0.035

Стандартное отклонение

Доверительный интервал для коэффициента регрессии ₁

-0,19–2,1450,187  ₁  -0,19 + 2,1450,187

0,59 ₁  0,21

С надежностью 0,95 увеличение времени пути до метро на 1 минуту приводит к увеличению цены квартиры на величину от – 0,59 до 0,21 тыс.$.

Табличные значения распределения ²Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют

;

Доверительный интервал дисперсии возмущений

11,44  ²  53,03

Интервал для стандартного отклонения 3,38    7,28.

С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 11,44 до 53,03, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 3,38 до 7,28.

Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.

Общая сумма квадратов отклонений y = 281,27

Остаточная сумма квадратов = 261,27

Сумма квадратов, объясненная регрессией = 281,27–261,27 = 20

Величина F-критерия

= 1,07,

где m – число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.

Определим коэффициент детерминации.

квартира стоимость регрессия вариация

0,07

Вариация зависимой переменной (цены квартиры) на 7% определяется фактором x –временем пути до метро.