1. Що  являють собою  мікро- та макроекономічн системи

Модели  паники в социуме  с неоднородным социально-психологическим  и ролевым составом участников

    Ранее были рассмотрены механизмы, созданы  имитационные и математические модели паники в информационном обществе. В математических моделях учтено  влияние средств массовой информации, имитационные модели, к тому же, позволяют индивидуализировать, учесть уровни восприимчивости и влияния субъектов. Вместе с тем, детальное исследование моделей распространения паники в неоднородном по социально-психологическому и ролевому составу социуме не проводилось. Данная работа призвана устранить этот пробел.

    Известно, что социально-психологические характеристики субъекта:

• тип личности (гармоническая, конфликтная, импульсивная)
• темперамент (холерик, сангвиник, меланхолик, флегматик)
• характер (волевой, требовательный, равнодушный, эгоистичный,  податливый и т. д.)
• акцентуация характера (развитие одних черт в ущерб другим)

    оказывают влияние как на восприимчивость, так и на силу влияния. Эти параметры часто коррелируют. Обычно наблюдается взаимосвязь: слабая восприимчивость Þ сильное влияние, сильная восприимчивость Þ слабое влияние. Эта взаимосвязь не является жесткой, может быть слабая (сильная) восприимчивость и слабое (сильное) влияние. Рис.1 демонстрирует распределение субъектов в социуме по шкалам "восприимчивость",  "влияние".

    Через 0 и 1 обозначены крайние значения шкалы  лингвистических переменных (ЛП) "восприимчивость", "влияние". Значениями указанных  ЛП могут быть нечеткие переменные "слабый", "нормальный" или "средний", "сильный", определенные в диапазоне [0,1]. На рисунке прослеживается размытая линейная зависимость ЛП "влияние" от ЛП "восприимчивость".

    Упомянутые  нечеткие переменные определяют три  типа субъектов по восприимчивости (susceptible):

• сильно восприимчивый ( сильно внушаемый тип),
• средне восприимчивый,
• слабо восприимчивый,

    а также  три типа по воздействию (influence):

• слабо воздействующий (слабо внушающий тип)
• средне воздействующий
• сильно воздействующий,

    и тем  самим разбивают социум на непересекающиеся подгруппы.

    На самом  деле линейка типов может быть непрерывной (по крайней мере, иметь  более трех градаций). Для привязки к вероятности линейка типов  приведена к диапазону [0,1]. Поставим в соответствие типу субъекта по восприятию числовую величину s - уровень восприимчивости из отрезка [0,1]. В общем случае эта величина представляет собой характеристическую функцию нечеткой переменной. Будем считать эту функцию унимодальной с максимальным значением, удовлетворяющим условию . Это максимальное значение и будем рассматривать в качестве . Тип субъекта по воздействию также характеризуется числом - уровнем воздействия из отрезка [0,1]. Тогда вероятность заражения (или лечения, в зависимости от типа воздействия) при взаимодействии коммуникатора (воздействующего) и реципиента (воспринимающего) будет представлять собой функцию . В большинстве случаев уместно выбирать мультипликативную зависимость , учитывая, при необходимости, превращение линейной шкалы по  и в параболическую по .

    Наряду  с разбиением социума на группы по социально-психологическим характеристикам следует рассмотреть разбиение на ролевые группы: "заражающие"  ("агенты влияния"), "лечащие" ("контрагенты"), "нейтральные".  И "агенты" и "контрагенты" представляют собой так называемых "лидеров мнений". Воздействие лидеров приводит к сильному синергическому эффекту. Вместе с тем, в качестве заражающих могут выступать обычные субъекты (не лидеры), зараженные паникой. Они, по крайней мере, распространяют слухи.

    По степени  панического состояния социум, обычно, разбивается на три категории:

• здоровых, но восприимчивых;
• больных;
• здоровых и не восприимчивых (обладающих иммунитетом).

     Введя  понятие восприимчивости, достаточно  ограничиться двумя значениями "болезненности": здоровый и больной. И здоровых, и больных можно дифференцировать  дальше. Для большего приближения к реальности необходимо учитывать  запас иммунитета (в днях, например), что также может быть одним из признаков разбиения. Больные могут иметь разную степень тяжести болезни и т.п.

    Введем  обозначения: - множество субъектов социума, - количество субъектов в социуме, _- группа субъектов -го типа, -го класса. Класс определяет вид разбиения: по восприятию, воздействию, роли, заболеванию и т. п. Тип определяет группу в данном классе (разбиении).  Будем считать, что группы одного класса попарно не пересекаются,  , их объединение исчерпывает , т.е. . Группы из разных разбиений могут пересекаться, т.е. неравенство   возможно при .

    Каждой  группе отвечает значение лингвистической или обычной переменной . Множества этих значений характеризуют тип переменной и определяют разбиение. Элементы декартова произведения характеризуют группы социума с уникальным сочетанием признаков субъекта. Динамика численности этих групп и составляет основное содержание математических моделей паники.

    В частности, для двух разбиений:

    - по  восприимчивости,  = {невосприимчивый, восприимчивый},

    - по  болезни,  = {здоровый, больной},

    получаем  очевидные группы, из которых группа "невосприимчивых, больных" соответствует всегда пустому множеству, а оставшиеся три отвечают классической схеме рассмотрения модели эпидемии.

    При использовании  более сложных разбиений проблемы те же: дискриминация групп с тривиальными свойствами и рассмотрение динамики оставшихся.

    Весьма  интересен и важен вопрос о коррелированности разбиений. Суть его заключается в следующем. Между группами из различных классов можно установить соответствие (в общем случае  вероятностное или нечеткое), такое, что принадлежность субъекта к группе -го разбиения с высокой степенью вероятности (как правило, в нечетком случае) будет означать принадлежность этого же субъекта к группе -го разбиения. Такого рода соответствие может быть установлено между некоторыми или между всеми группами двух разбиений. В первом случае  можно говорить о коррелированности  групп, во втором – о коррелированности разбиений. Коррелированность групп для одного и того же базового множества (в данном случае - социума) означает их "сильное " включение одна в другую. Множество сильно включено в множество , если (в некоторой мере, характеризующей близость двух множеств). Коррелированность разбиений означает "сильную" зависимость "приращений": переход от одной группы к другой в первом разбиении вызывает переход между соответствующими группами во втором разбиении. В этом случае можно говорить о "сильном" пересечении соответствующих групп разных разбиений. Коррелированность разбиений влечет коррелированность соответствующих им переменных.

    Профессиональные  “заразители”  и "лекари" ("лидеры мнений") относятся, как правило, к группе с сильной способностью внушать. Это пример коррелированности групп. На рис.1 прослеживается коррелированность двух разбиений – по воздействию и по восприятию. Слабая (сильная) внушаемость в большинстве случаев соответствует сильной (слабой) способности внушать.  Выяснение таких корреляций, анализ их сущности, формализация представления позволяют упростить итоговые модели.

    Поскольку нас интересуют больные и здоровые в первую очередь, то построение моделей  идет по этому разбиению. Особенностью является лишь порядок подсчета вновь  заразившихся.  Можно определять вероятность заражения здорового при контакте с больными (рис. 2), умножая затем на количество здоровых, а можно определять, сколько здоровых заразил каждый больной (рис. 3), интегрируя затем это число по количеству больных. В первом случае мы говорим о "проходе по здоровым", во втором – "по больным". Эти два варианта дают в итоге несколько отличающиеся модели (совпадающие в первом приближении). Первый подход проще и в целом предпочтительнее, т. к. дает возможность учесть синергию взаимовоздействия коммуникаторов.

    Рассмотрим  его применительно к отдельному субъекту, на которого действуют коммуникаторы  с различными социально-психологическими и ролевыми признаками,  здоровые и больные с различным уровнем и типом влияния (рис. 2).

     Кружками         ,        ,           обозначены, соответственно, здоровые, больные (заразители) и лекари.

    Обозначим через  событие, заключающееся в заражении реципиента от -го источника в отсутствие других коммуникаторов (заразителей или лекарей). - вероятность такого события. - событие, заключающееся в заражении реципиента при одновременном действии нескольких заразителей в отсутствие лекарей.

    Через обозначим событие, заключающееся в излечении заболевшего за счет воздействия -го лекаря в отсутствие других коммуникаторов. - событие, заключающееся в излечении заболевшего воздействием нескольких лекарей в отсутствие заразителей.

    Пусть теперь воздействуют одновременно и заразители, и лекари. Препятствовать заражению можно, уменьшая чувствительность к заражению либо итоговое воздействие заразителей, т.е. вероятность заражения. Для начала рассмотрим действие лишь двух коммуникаторов: заразителя и лекаря. Вероятность заражения в этом случае представляет собой вероятность события . Могут ли события, входящие в это выражение, быть взаимозависимыми? Неясно. Наблюдения показывают, что чаще всего взаимовоздействие проявляется в одноролевых группах (либо заразителей, либо лекарей). Рассмотрим, что получится, если принять их независимыми. В этом случае

     .  (1)

    Смысл этой формулы поясняет следующее  соображение. Если количество восприимчивых, контактирующих с данным заразителем, равно , то будет заражено из них субъектов, затем при воздействии лекаря на этих больных будет вылечено , следовательно, останется зараженными субъектов.

     Если  предположить зависимость взаимовоздействия  заразителя и лекаря, то

     .   (2)

     Через  обозначена условная вероятность события . В этом случае требуется более глубокое рассмотрение механизма взаимодействия коммуникаторов с различными ролевыми признаками, а также их  взаимовоздействия на реципиента. В данной работе ограничимся независимостью  взаимовоздействия таких коммуникаторов.

    При действии нескольких заразителей и лекарей  вероятность заражения реципиента равна:

     . (3)

    В случае отсутствия внутригрупповой синергии в действии как заразителей, так  и лекарей, формула приобретает  вид:

     .   (4)

    Вместе  с тем, внутригрупповая синергия является обычным делом, как правило, присутствует в механизме воздействия на субъекта и его восприятия. В [5] получена формула вероятности заражения в условиях синергии воздействия заразителей:

     ,   (5)

     где  при , в противном случае . . Множитель перед произведением удовлетворительно отражает феномен резкого снижения вероятности незаражения при синергическом воздействии нескольких заразителей в условиях некритичности восприятия субъектом. Ограничение количества воздействующих заразителей величиной связано с феноменом насыщения реципиента информацией (многократно повторенную информацию на уже известную тему, равно как и ее носителей, реципиент не воспринимает).

    Аналогичную формулу можно предложить для  вероятности лечения совокупностью  лекарей: , . Естественно, . Используя формулы для и , получим формулу для в условиях воздействия как заразителей, так и лекарей:

     .   (6)

      и  ограничены некоторыми величинами и , соответственно.

    Эта формула  составляет основу получения математических моделей паники в социуме, дифференцированном по социально-психологическому и ролевому составу участников.

    Проанализируем возможности противодействия заражению, анализируя формулу (1) для . Она отражает механизм воздействия, заключенный в фразе: лекарь  действует только на тех, на кого действует заразитель. Указанный механизм не учитывает профилактику, в этом его ограниченность. Если использовать принятую нами модель вероятности заражения в виде произведения уровня восприимчивости на уровень воздействия , то формула (1) примет вид:

        (7)

    Через здесь обозначен уровень воздействия лекаря. При одинаковых (и небольших) уровнях воздействия заражающего и лекаря роль последнего практически незаметна (представляет собой величину второго порядка малости). Хотя интуитивно ожидается, что заразитель и лекарь с одинаковыми уровнями воздействия должны компенсировать влияние друг друга. Причиной такого результата есть неучет профилактического влияния лекаря, выражающегося в уменьшении уровня восприимчивости субъекта к воздействию заразителя. И здесь, при использовании модели (7), мы приходим к противоречию: уменьшая уровень , мы уменьшаем восприимчивость субъекта и к воздействию лекаря. Противоречие легко устраняется, если принять ко вниманию тот факт, что восприимчивость субъекта зависит от фигуры коммуникатора. На самом деле, субъект, обладая некоторой средней, свойственной ему по природе, восприимчивостью к чужому воздействию, характеризуется целым спектром восприимчивостей. Для наших целей – моделирование массовых процессов  –  достаточно использовать две восприимчивости: к заразителю и к лекарю .

        (8)

    Тогда лекари, наряду с уменьшением вероятности  заражения в соответствии с формулой (8), уменьшают параметр и увеличивают . В свою очередь, профессиональные заразители могут действовать обратным порядком. Во многих случаях, где можно пренебречь профилактическим эффектом (самые быстрые паники), достаточно и одной восприимчивости. Модели, включающие динамику восприимчивости, позволяют более адекватно описать развитие массовых процессов. Но, строго говоря, эти процессы уже не сводятся к паникам. Они имеют иную, иновременную динамику. В их развитии определяющую роль играют внешние обстоятельства и воздействия. Восприимчивость человека формируется в существенно более длительном промежутке, нежели временные рамки паники. Доверие  к определенному коммуникатору, а по сути это и есть восприимчивость, определяется  многими факторами, в частности, его харизматическими и прогностическими качествами. Его тяжело заработать, но легко потерять – общеизвестный штамп, тем не менее, отражающий истину. Глубокий анализ этой проблематики не входит в задачи данной работы. Вместе с тем, здесь уместно провести аналогию с настоящими эпидемиями, вирусными например. "Вирус" паники, страх, который живет в каждом человеке, вновь и вновь дает себя знать по прошествии определенного времени, при возникновении подходящих условий.  И здесь многое зависит от запаса (во временном измерении) приобретенного иммунитета.

    Рассмотрим  модель паники, соответствующую следующему механизму ее распространения:

    Здоровые  восприимчивые субъекты заражаются больными соседями а также профессиональным заразителем (деструктивные СМИ, например), действующим на большую часть социума. Профессиональный лекарь (те же СМИ, но уже конструктивные) и здоровые невосприимчивые осуществляют противодействие заражению, уменьшая вероятность заражения или переводя восприимчивых, в разряд невосприимчивых.  Проведенные эксперименты по распространению слухов показали, что невосприимчивые активно противодействуют панике, леча заболевших и осуществляя профилактику восприимчивых. Больные излечиваются самостоятельно либо под воздействием лекаря и невосприимчивых. При этом они приобретают иммунитет, т.е. переходят в разряд невосприимчивых. 

    Предлагая данный механизм, исходим из того, что  профессиональный заразитель, как и  профессиональный лекарь, - один, и это - СМИ. С практической точки зрения этого достаточно для выяснения динамики действия механизма.

    Будем использовать определенные ранее и  введем новые обозначения:

     - уровень воздействия профессионального  заразителя на субъектов,

     - количество контактов субъекта в единицу времени,

     - количество субъектов социума,

     - количество восприимчивых,  больных и иммунизированных,

     - доля социума, на которую  не действует ни проф. заразитель, ни лекарь,

     - доля социума, на которую  действует только проф. заразитель,

     - доля социума, на которую  действует только лекарь,

     - доля социума, на которую  действует и проф. заразитель  и лекарь,

     ,

     - базовая вероятность заражения,  определяемая действием больных  соседей и противодействием соседей-невосприимчивых.

        (9)

    В отсутствие синергии и при использовании  для вероятностей одиночных взаимодействий формул вида (8) получим:

     .   (10)

    Здесь - количества больных и невосприимчивых в окружении субъекта.

    Если  к заразителям-соседям добавляется  профессиональный заразитель, то

     .   (11)

    Здесь -уровень воздействия профессионального заразителя

    Если  к лекарям-соседям добавляется  профессиональный лекарь, то

        (12)

    При совместном воздействии обычных соседей, а  также профессиональных заразителя и лекаря, вероятность заражения  будет иметь вид:

      (13)

    Определим вероятности перехода восприимчивого в невосприимчивые, иммунизированные. - базовая вероятность перевода восприимчивых в разряд невосприимчивых, определяемая действием невосприимчивых соседей и противодействием соседей-больных. Это – вероятность успеха профилактики. По аналогии с она определяется формулой:

        (14)

    Т.о. восприимчивый  при воздействии на него только соседей  с вероятностью может быть заражен, - переведен в разряд невосприимчивых, - оставлен в прежнем состоянии. Далее можно получить формулы, аналогичные (10) – (13). 

     .   (15)

    Если  к заразителям-соседям добавляется  профессиональный заразитель, то

     .  (16)

    Если  к лекарям-соседям добавляется  профессиональный лекарь, то

       (17)

    При совместном воздействии обычных соседей, а  также профессиональных заразителя и лекаря, вероятность иммунизации  будет иметь вид:

      (18)

    Имея  эти формулы, можем определить убыль  восприимчивых в единицу времени:

       (19)

    Прибыль больных соответственно равна:

       (20)

    Прибыль невосприимчивых за счет иммунизации  восприимчивых равна:

       (21)

    Прибыль невосприимчивых за счет выздоровления  больных равна:

        (22)

    Выражение в квадратных скобках представляет собой вероятность выздоровления  больного при действии на него невосприимчивых  соседей, лекаря и самого больного. Самовоздействие больного приводит к появлению дополнительного множителя в произведении вероятностей неизлечения, т.е. вероятность самолечения принимается равной . Можно было бы ввести вероятность самолечения и, соответственно, модифицировать формулу (22), но для наших целей достаточно и более простого подхода.

    Прибыль невосприимчивых за счет выздоровления  больных равна убыли больных  .

    Отсюда  получаем следующую систему уравнений:

        (23)

    Из нее  очевидным образом получается как  дискретная (обычно с  равным 1), так и непрерывная модели скорости распространения паники в социуме, дифференцированном по социально-психологическому и ролевому составу участников.

    Заметим, что модели убыли-прибыли, представленные формулами (18) – (21), можно упростить, используя для этого следующее  соображение. Воздействие нескольких СМИ, равномерно охватывающих социум с  долей охвата для каждого, можно отразить множителем в вероятности заражения или в вероятности лечения. Здесь - количество СМИ. Следовательно, воздействие одного СМИ на весь социум может быть отражено множителями   или в вероятности заражения или лечения. С учетом  сказанного вероятность заражения восприимчивого представляется формулой (24)

      (24)

    Вероятность иммунизации восприимчивого представляется формулой (25) 

      (25)

      и  представляют собой доли охвата социума деструктивными и конструктивными СМИ.  , .

     ,  (26)

    где . Система (26) может быть представлена в дискретном (естественнее всего при )

       (27)

     или  непрерывном (системой дифуравнений) виде,

          (28)

     причем, и первый, и второй варианты  удобнее реализовывать относительно долей в социуме. Данные системы нелинейны, поскольку вероятности зависят от неизвестных параметров .

    Подведем  итоги. В данном разделе был рассмотрен ряд методов построения моделей распространения паники в неоднородном по социально-психологическому и ролевому составу социуме. Они основаны на разбиении социума на группы с определенным набором признаков и последующем выводе уравнений межгрупповой динамики с помощью балансового метода. Выведены формулы для вероятностей заражения, лечения, профилактики в условиях действия обычных и профессиональных заразителей и лекарей (СМИ, прежде всего). В этих формулах дано математическое выражение эффекта синергии взаимовоздействия коммуникаторов на реципиента. Получены итоговые модели - уравнения динамики в разностной и непрерывной формах. Данные модели будут использованы для изучения механизмов распространения, профилактики и противодействия панике.