Схематично опишіть абстрактне зображення рівнів системи

ЗМІСТ

1. Схематично опишіть абстрактне зображення рівнів системи.

2. Яка множина є обмеженою, а яка необмеженою?

3. Сформулюйте правила перерозподілу продукції в межах циклу.

4. Опишіть економічну і математичну постановку задачі оптимального розподілу фінансових ресурсів між інвестиційними проектами.

5. Що собою являє метод згладжування як один із методів попередньої обробки числового ряду?

Задача 1.

Задача 2.

Список використаних літературних джерел

1. Схематично опишіть абстрактне зображення рівнів системи.

Схематичне зображення рівнів абстракції, відповідно до процедури процесу переходу від системи-оригіналу до її моделі представлено на рис. 1.

Рис. 1. Абстрактне зображення рівнів системи

Прообраз реальної системи відрізняється від системи-оригіналу тим, що в ньому відображено лише домінуючі чинники (змінні, їх параметри й обмеження), які визначають генеральну стратегію поведенку реальної системи.

Модель, яка буде прообразом реальної системи, є найбільш суттєвою для опису системи співвідношення у вигляді цільової функції та сукупності обмежень. 

2. Яка множина є обмеженою, а яка необмеженою?

Множину А Ì R звуть обмеженою зверху, якщо існує таке число M, яке звуть верхньою межею множини A, що для будь-якого числа   виконано нерівність

Множину А Ì R звуть обмеженою знизу, якщо існує  таке число m, яке звуть нижньою межею множини A, що для будь-якого числа виконано нерівність

Множину, обмежену зверху і знизу, звуть обмеженою. Множину, що не є обмеженою зверху (знизу), звуть необмеженою зверху (необмеженою знизу). Приміром, множина натуральних чисел необмежена зверху; множина всіх від’ємних чисел необмежена знизу.

3. Сформулюйте правила перерозподілу продукції в межах циклу.

Циклом у транспортній задачі називають замкнену ламану лінію, сторони якої проходять уздовж рядків і стовпчиків таблиці, і одна з вершин якої знаходиться в небазисній клітинці, для якої порушена умова оптимальності, а всі інші вершини – базисні клітинки.

Перерозподіл продукції в межах циклу здійснюють за такими правилами:

а) кожній вершині циклу приписують певний знак, причому незаповненій клітинці знак "+", а всім іншим по черзі знаки "–" та "+";

б) у порожню клітинку заносять найменше з чисел, що стоять у клітинках зі знаком "–". Одночасно це число додають до відповідних чисел, що стоять у клітинках зі знаком "+" і віднімають від чисел, що розміщені у клітинках зі знаком "–".

Отже, клітинка, що була вільною, стала заповненою, а відповідна клітинка, де знаходилося найменше число (у вершині з "–") стала незаповненою. В результаті такого перерозподілу продукції ми отримаємо новий опорний план транспортної задачі, який знову перевіряємо на оптимальність. Якщо розв'язок оптимальний, то обчислюємо мінімальне значення цільової функції (мінімальну вартість перевезення всього вантажу), а якщо неоптимальний, то знову будуємо цикл перерахунку і з допомогою зсуву по циклу переходимо до нового опорного плану. Процес повторюють до тих пір, доки не отримаємо оптимального розв'язку транспортної задачі.

Значення базисних клітинок, які не брали участі в циклі перерахунку, в новій таблиці залишаються без змін.

4. Опишіть економічну і математичну постановку задачі оптимального розподілу фінансових ресурсів між інвестиційними проектами.

Розглянемо  виробничу  ситуацію,  пов’язану  з  аналізом пропозицій  відносно  збільшення  виробничих  потужностей підприємств фірми. Для можливого розширення потужностей фірма виділяє фінансові ресурси розміром х, які необхідно розділити між проектами  в  такий  спосіб,  щоб  одержати  максимально  можливий сумарний приріст випуску продукції.

Позначимо  через  хі –  розмір  інвестицій,  виділених  під  і–ий проект ( ), де і – індекс проекту. Отже, має місце рівність:

На  основі  попереднього  аналізу  встановлено,  що  приріст продукції внаслідок реалізації і–го проекту задається функцією . Тоді сумарний приріст продукції фірми становитиме:

Отже,  наша  задача  полягає  у  заходженні  таких  значень , які  задовольняють (1)  і  забезпечують  максимум функції (2).

Позначимо  максимальний  сумарний приріст  продукції, одержаний  при  розподілі  інвестицій  розміром  х  для  перших  k проектів, через , причому

Для визначення функцій  побудуємо рекурентне рівняння за допомогою кількох етапів.

Почнемо  з  розподілу  наявних  засобів  для  першого  проекту. Знайдемо  максимальне  значення  цього  приросту  за  формулою:

Переходимо  до  другого  етапу  розрахунків.  Нам  необхідно знайти  оптимальний  варіант  розподілу  інвестицій  розміром  х  за умови,  що  вони  виділені  першому  та  другому  проекту.  Тут  слід враховувати отриману найкращу ефективність для першого проекту.

Припустимо, що на другий проект виділені інвестиції розміром х2, які дають  f2(х2)  приросту  продукції,  а  залишок (х–х2)  виділяється першому  проекту,  який  дає  F1(х–х2)  приросту.  Тоді  максимальний приріст  продукції,  отриманий  від  оптимального  розподілу  всіх інвестицій між першим і другим проектами буде:

Переходимо  до  третього  етапу,  на  якому  необхідно  знайти оптимальний  варіант  розподілу  інвестицій  за  умови,  що  вони виділяються першим трьом проектам разом.

Нехай на третій проект виділено х3 одиниць коштів, які в свою чергу  даватимуть  для  нього  приріст  продукції  розміром  .

Наявний залишок (х-х3) надамо першому та другому проектам, які при  оптимальному  розподілі  дають  приріст  F2(x-x3) грошових одиниць. Отже, максимальний ефект, який отримаємо від розподілу інвестицій між першими трьома проектами буде:

Розглянемо загальний випадок розподілу інвестицій для перших k проектів. Нехай k–му проекту виділено хk одиниць інвестицій, які забезпечать  йому  приріст  продукції  розміром . Залишок інвестицій(х–хk)  віддамо  першим (k–1)  проектам  і  вони  при оптимальному  розподілі  принесуть  фірмі Fk-1(х–хk)  приросту продукції.  При  цьому  фірма  отримає  сумарний  приріст  продукції рівний:

Це є рекурентне співвідношення, яке представляє собою рівняння Белмана.

5. Що собою являє метод згладжування як один із методів попередньої обробки числового ряду?

Традиційним методом згладжування часового ряду є метод ковзних середніх, який ґрунтується на переході від початкових значень ряду до їхніх середніх на інтервалі часу. Отриманий таким чином ряд ковзних середніх за рахунок укрупнення відхилень вихідного ряду веде себе краще, ніж початковий. Така процедура дає представлення про загальну тенденцію поведінки ряду.

На практиці можна використовувати згладжування з допомогою середнього арифметичного трьох і дев’ятимісячним ковзними середніми. Так можна визначити степінь тенденції росту податкових надходжень.

Вивчення основної тенденції розвитку методом ковзної середньої є лише емпіричним способом попереднього кількісного аналізу. Для побудови кількісної моделі, яка відобразить загальну тенденцію зміни рівня динамічного ряду, треба скористатися аналітичним вирівнюванням. При цьому зміна дослідного чинника оцінюється як функція від часу (буде функцією від часу).

Інколи  виникає  необхідність  розрахувати  декілька  моделей  і серед адекватних до експериментальних даних вибрати ту, для якої мінімальна  стандартна  помилка  чи  максимальний  коефіцієнт кореляції.  Проте  все  залежить  від  конкретної  задачі:  для  вдалої локалізації області максимуму можна скористатися і неадекватною моделлю для сильно зашумлених даних. Необхідно враховувати, що ряд нелінійних моделей у процесі обчислень зводиться до лінійної моделі  з  попереднім  перетворенням  значень  залежної  змінної. Окреслена  процедура  приводить  до  ліквідації  не  самих  відхилень експериментальних  точок  від  регресійної  кривої,  а  зважених  цим перетворенням відхилень.

Задача 1.

При виготовленні виробів В1 і В2 використовуються сталь і кольорові метали, а також токарні і фрезерні верстати. По технологічних нормах на виробництво одиниці виробу В1 потрібні 300 і 200 станко-годин відповідно токарного і фрезерного устаткування, а також 10 і 20 кг відповідно стали і кольорових металів. Для виробництва одиниці виробу В2 потрібні 400, 100, 70 і 50 відповідних одиниць тих же ресурсів.

Цех має у розпорядженні 12400 і 6800 станко-годин відповідно токарного і фрезерного устаткування і 640 і 840 кг відповідно стали і кольорових металів. Прибуток від реалізації одиниці виробу В1 складає 6 грн. і від одиниці виробу В2 – 16 грн.

Побудуйте математичну модель задачі, використовуючи як показник ефективності прибуток і враховуючи, що час роботи фрезерних верстатів має бути використане повністю.

Розв'язок:

х1 – кількість виробу В1;

х2 – кількість виробу В2.

Складемо математичну модель даної задачі:

Для побудови опорного плану переходимо до канонічної форми.

10x1 + 70x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 640 
20x1 + 50x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 840 
300x1 + 400x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 12400 
200x1 + 100x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 +1x6= 6800

Цільова функція буде мати наступний вигляд:

F(X) = 6x1+16x2 - Mx6 → max

Складемо першу симплекс-таблицю:

Дана симплекс-таблиця не є оптимальною, т.я. в індексному рядку знаходяться від’ємні  коефіцієнти.

Найбільш неоптимальним є стовбець, що відповідає х1.

Визначимо ключовий рядок:

min (640 : 10, 840 : 20, 12400 : 300, 6800 : 200) = 34

Тобто 4 рядок є ключовим, а ключовий елемент 200.

Перерахуємо симплекс-таблицю наступним чином:

Замість змінної х6 у план входить змінна х1. Значення ключового рядка ділимо на ключовий елемент. Елементи ключового стовпця приймають нульові значення.

Всі інші елементи нового плану визначаються за правилом трикутника:

Нов_елемент = стар_елемент - (ключ.знач.по стовпцю*ключ.знач.по рядку)/ключ.елемент.

Отримуємо нову симплекс-таблицю:

Дана симплекс-таблиця не є оптимальною, т.я. в індексному рядку знаходяться від’ємні  коефіцієнти.

Найбільш неоптимальним є стовбець, що відповідає х2.

Визначимо ключовий рядок:

min (300 : 65 , 160 : 40 , 2200 : 250 , 34 : 1/2 ) = 4

Тобто ключовий рядок є другий. А ключовий елемент 40.

Отримуємо нову симплекс таблицю:

Т.я. всі значення індексного рядка більше або дорівнює нулю, то дана симплекс-таблиця є оптимальною. Тобто маємо наступний розв'язок:

x1 = 32

x2 = 4

F(X) = 16•4 + 6•32 = 256

Задача 2.

Заводи деякої автомобільної фірми розташовані в містах А, В і С. Основниє центри розподілу продукції зосереджені в містах D і E. Обсяги виробництва вказаних трьох заводів дорівнюють 1000, 1300 і 1200 автомобілів щоквартальні. Величини квартального попиту в центрах розподілу складають 2300 і 1400 автомобілів відповідно. Вартості перевезення автомобілів по залізниці по кожному з можливих маршрутів наведені в таблиці.

Таблиця

Вартість перевезення автомобілів,г.о./шт.

За кожен автомобіль, що недопостачається до розподільчих центрів D і E запроваджено штрафи 200 і 300 г.о. відповідно. Крім того, постачання із заводу А до розподільчого центру E не плануються взагалі.

Побудуйте математичну модель, що дозволяє визначити кількість автомобілів, що перевозять з кожного заводу в кожен центр розподілу, так, щоб загальні транспортні витрати були мінімальні.

Розв'язок:

Нехай змінні xij – це кількість автомобілів, що перевозяться з і-го заводу до j-го пункту споживання.

Перевіримо збалансованість задачі:

(1000+1300+1200)<(2300+1400)

Тобто задача незбалансована, оскільки попит на автомобілі перевищує обсяг їх виробництва. Для встановлення балансу вводимо фіктивний завод з обсягом виробництва 200 одиниць, запровадивши штрафи 200 і 300 г.о. за кожен автомобіль, що недопостачається до розподільчих центрів D і E.

Т.я. постачання із заводу А до розподільчого центру E не плануються взагалі, то введемо максимальну вартість перевезення 1000 г.о./шт.

Складемо розподільчу таблицу:

Складемо математичну модель задачі:

За допомогою методу північно-західного кута знаходимо опорний план. Суть методу полягає у тому, що розподіл починаємо з верхнього лівого кута та ставимо в ньому значення, що відповідає найменшему з чисел ai, або bj. Потім, виокремлюють або рядок, або стовпець, потреби якого повністю задоволені. Поступово закриваємо усі потреби та розподіляємо запаси. Розподіл прямує до правого нижнього кута.

Підрахуємо кількість зайнятих клітин таблиці, їх 4, а повинно бути m + n - 1=5. Тобто опорний план є вирождений.

Значенні цільової функції для цього плану:

F(x) = 80*1000 + 100*1300 + 68*1200 + 300*200 = 351600

Будуємо новий план.

У результаті отримали невирождений план, т.я. кількість зайнятих клітин дорівнює 5.

Цільова функція:

F(x) = 1000*1000 + 100*1300 + 102*1000 + 68*200 + 300*200 = 1305600

Перевіримо оптимальність отриманого опорного плану. Знаходимо попередні потенціали ui, vj за зайнятими клітинами таблиці, в яких ui + vj = cij, вважаючи, що u1 = 0.

u1 + v2 = 1000; 0 + v2 = 1000; v2 = 1000

u3 + v2 = 68; 1000 + u3 = 68; u3 = -932

u3 + v1 = 102; -932 + v1 = 102; v1 = 1034

u2 + v1 = 100; 1034 + u2 = 100; u2 = -934

u4 + v2 = 300; 1000 + u4 = 300; u4 = -700

Опорний план не є оптимальним, т.я. існують оцінки вільних клітин, для яких ui + vj > cij

(1;1): 0 + 1034 > 80; ∆11 = 0 + 1034 - 80 = 954

(4;1): -700 + 1034 > 200; ∆41 = -700 + 1034 - 200 = 134

max(954,134) = 954

Найбільш неоптимальна клітинка (1; 1).

Побудуємо цикл. В клітинку (1;1) поставимо знак «+», а в інших вершинах багатокутника знаки, що чередуються, «-», «+», «-».

Цикл отриманий в таблиці (1,1 → 1,2 → 3,2 → 3,1).

Де стоїть знак «+» додаємо значення 1000, а де стоїть «-» - віднімаємо. Побудуємо еновий план.

Перевіримо оптимальність опорного плану:

u1 = 0.

u1 + v1 = 80; 0 + v1 = 80; v1 = 80

u2 + v1 = 100; 80 + u2 = 100; u2 = 20

u2 + v2 = 108; 20 + v2 = 108; v2 = 88

u3 + v2 = 68; 88 + u3 = 68; u3 = -20

u4 + v2 = 300; 88 + u4 = 300; u4 = 212

Опорний план є неоптимальним, так як існують оцінки вільних клітин, для яких ui + vj > cij

(4;1): 212 + 80 > 200; ∆41 = 212 + 80 - 200 = 92

У клетинку (4;1) поставимо знак «+», а в інших вершинах багатокутника знаки, що чередуються, «-», «+», «-».

Отримуємо новий опорний план.