Сигналы и теория преобразований

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ  НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по курсу  «Сигналы и теория преобразований»

 

 

                                             

 

 

 

 

Подготовила:    студентка Заочного факультета 

гр. СУА-09з.

Гассиева  Н.С.

 

 

Проверил:                                   к.т.н., доцент

   Дегтяренко  И. В.

 

 

 

 

 

 

 

 

Донецк 2012

ЗАДАНИЕ 1.

Математическое описание и оценка энергетических характеристик сигналов.

 

1.1. Математически опишите два сигнала заданные графически (см. табл. 1.2). Номера сигналов выберите согласно Вашему варианту (см. табл. 1.1).

1.2. Аналитически опишите математическую модель суммы данных сигналов. Приведите график суммарного сигнала.

1.3. Приведите формулы для определения энергии, средней мощности и пик-фактора сигналов. Определите эти характеристики для суммарного сигнала.

 

 

 

Таблица 1.1 – Варианты к заданию  №1 и №2.

 

№ варианта
	Типы сигналов		Т, мс	А, В	Математическая модель сигнала
3	1.1	1.4	70	3

 

 

 

 

Таблица 1.2 – Графики сигналов для  задания №1

 

Сигнал 1.1	Сигнал 1.4

 

 

 

 

 

 

 

РЕШЕНИЕ.

1.1. Как видно из таблицы 1.2, сигналы 1.1 и 1.4 представляют собой одиночные электрические импульсы.

Электрический импульс — это кратковременный  всплеск электрического напряжения или силы тока в определённом, конечном временном промежутке.

Важной  характеристикой импульсов является их форма. Анализ графиков таблицы 1.2 позволяет заключить, что сигнал 1.1 представляет собой одиночный несимметричный треугольный импульс, сигнал 1.4 – одиночный прямоугольный импульс, задержанный во времени. Оба сигнала – стандартной формы, имеют относительно простое математическое описание и широко применяются в технике.

Оба импульса характеризуются двумя основными  параметрами — амплитудой (размахом) A и длительностью T.

Для обоих  сигналов по условию задания амплитуда A = 3 (В), длительность T = 70 (мс) = 0,07 (с).

Оба сигнала  можно представить дискретным рядом, т.е. в виде последовательности отсчетов.

Для сигнала, представляющего собой несимметричный треугольный импульс:

      A ∙ ,     0 ≤ t ≤ T

s(t) =             0,          t < 0, t > T

 

Таким образом, для сигнала 1.1:

 

      ,    0 ≤ t ≤ 0,07

s(t) =            0,        t < 0, t > 0,07                          (1.1)

 

Для сигнала, представляющего собой одиночный прямоугольный импульс, задержанный во времени:

 

      A,     0 ≤ t ≤ T

 s(t) =     0,    t < 0, t > T

 

 

Таким образом, для сигнала 1.4:

 

      3,       0 ≤ t ≤ 0,07

 s(t) =     0,      t < 0, t > 0,07                               (1.2)

 

1.2. Сумма исследуемых сигналов может быть описана системой, представляющей собой сумму систем 1.1 и 1.2:

 

      + 3,    0 ≤ t ≤ 0,07

s(t) =            0,              t < 0, t > 0,07

 

Графики исследуемых сигналов и суммарного сигнала представлены на Рисунке 1.1: красным цветом – график прямоугольного импульса, синим – треугольного, чёрным – график суммарного сигнала.

 

Рисунок 1.1. Графики исследуемых импульсных сигналов и их суммы.

1.3. Энергия сигнала на некотором отрезке времени [0;T], называемом временем наблюдения, определяется выражением

E = ,

где s²(t)/R – мгновенная мощность − рассеиваемая в резисторе мощность, зависящая от времени. Но так как энергия и мощность интересуют нас не как физические величины, а как средство сравнения различных сигналов, сопротивление резистора R принимаем равным 1 и таким образом исключаем этот параметр из формул.

Итак, чтобы вычислить выделяющуюся за время Т энергию, мгновенную мощность нужно проинтегрировать.

Для сигнала 1.1 вычисляем:

E₁ =

E₁ =

E₁ = 1836,73∙ = (t³) = 612,24∙(0,07³-0³) ≈ 0,21 (B²∙c)

Аналогично  вычисляем энергию сигнала 1.4:

E₂ =

E₂ = 9 ∙ = 9∙t¹ = 9∙(0,07- 0) = 0,63 (B²∙c)

Так же вычисляем  энергию суммы сигналов:

E =

E =

E =

E = + + 9t

E = 612,24∙0,07³ + 128,57∙0,07² + 9∙0,07 ≈ 1,47 (B²∙c)

Среднюю мощность сигнала найдём, разделив энергию на длительность временного интервала:

Р_ср = Е / Т

Для сигнала 1.1 находим 

Р_ср1= 0,21/0,07 = 3 (В²)

Для сигнала 1.4

Р_ср2 = 0,63/0,07 = 9 (В²)

Средняя мощность суммарного сигнала

Р_ср = 1,47/0,07 = 21 (В²)

 

Вычислим  пик-фактор сигналов 1.1 и 1.4 и суммарного сигнала.

Пик-фактор сигнала – это отношение максимальной амплитуды сигнала к его СКЗ:

К_А = ,

где СКЗ – среднее квадратическое значение сигнала − находится из выражения:

СКЗ = .

Находим для сигнала 1.1:

СКЗ₁ = = ≈ 1,732 (В)

К_А1 = 3/1,732 ≈ 1,732

Для сигнала 1.4:

СКЗ₂ = = = 3 (В)

К_А2 = 3/3 = 1

Для суммарного сигнала:

СКЗ = = ≈ 4,58 (В)

К_А = 6/4,58 ≈ 1,31

 

 

ЗАДАНИЕ 2.

Оценка спектральных характеристик  сигналов.

 

2.1. Опишите цель и способы проведения спектрального анализа сигналов. Опишите прямое и обратное преобразование Фурье, а также их свойства.

2.2. Постройте график спектра амплитуд полигармонического сигнала, заданного в таблице 1.1. Перед построением спектра сигнал нужно представить в виде суммы элементарных гармонических составляющих.

2.3. Постройте график спектра мощности данного сигнала в логарифмическом масштабе (в дБ). Для нахождения мощности в дБ использовать формулу:

,

где  P_i – абсолютное значение мощности і-той гармоники;

P₀ – базовое значение мощности соответствующее 0 дБ ( P₀ = 1 ВА).

 

РЕШЕНИЕ.

 

2.1. Спектральный анализ – это один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. Спектральный анализ в своей основе имеет различные интегральные преобразования и является мощным инструментом обработки данных, определённых дискретной зависимостью у(x_i) или непрерывной функцией f(x). Спектром совокупности данных у(х) называют некоторую функцию другой координаты F(ω), полученную в соответствии с определённым алгоритмом.

Примерами спектров являются преобразование Фурье  и вейвлет-преобразованне. Каждое из интегральных преобразований эффективно для решения своего круга задач анализа данных. Исследования спектра сигнала могут включать в себя исследование спектра амплитуд, спектра мощности, спектра мощности в децибелах и др.

Цель спектрального анализа - разложить ряд на функции синусов и косинусов различных частот, для определения тех, появление которых особенно существенно и значимо. В итоге, спектральный анализ определяет корреляцию функций синусов и косинусов различной частоты с наблюдаемыми данными.

Преобразование Фурье − преобразование функции, превращающее её в совокупность частотных составляющих. Это интегральное преобразование, раскладывающее исходную функцию по базисным функциям, в качестве которых выступают синусоидальные (или мнимые экспоненты) функции, то есть представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид (мнимых экспонент) различной частоты, амплитуды и фазы.

Преобразование обратимо, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.

В основе преобразования Фурье (ПФ) лежит идея о том, что почти любую периодическую функцию можно представить суммой отдельных гармонических составляющих (синусоид и косинусоид с различными амплитудами А, периодами Т и, следовательно, частотами ω).

Математический  смысл преобразования Фурье состоит  в представлении сигнала у(х) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(ω)∙sin(ωx). Функция F(ω) называется преобразованием Фурье, или интегралом Фурье, или Фурье - спектром сигнала. Обратное преобразование Фурье переводит спектр F(ω) в исходный сигнал у(х).

Согласно  определению, прямое преобразование Фурье выражается формулами:

F(ω) = .

A(ω) = |F(ω)|,  tgα(ω) = arg F(ω)

 

Обратное  преобразование Фурье:

F(x) =

Как видно, преобразование Фурье является комплексной  величиной, даже если сигнал действительный.

 

2.2. Построим график спектра амплитуд полигармонического сигнала

Вначале представляем исходный сигнал в виде суммы элементарных гармонических  составляющих.

cos²(2π200t) = 1/2[cos(2π200t - 2π200t) + cos(2π200t + 2π200t)] = 1/2 + 1/2cos(2π400t)

Получаем  сигнал в виде суммы:

s(t) = 0,5cos(2π400t) + 6sin(2π30t) – 4sin(2π20t) + 0,5

Имеем 4 слагаемых, на основании анализа  которых строим необходимый спектр:

1. константа 0,5 – нулевая частота, амплитуда 0,5 В (на оси амплитуд);
2. на частоте 20 Гц – амплитуда 4 В;
3. на частоте 30 Гц – амплитуда 6 В;
4. на частоте 400 Гц – амплитуда 0,5 В;

График  спектра амплитуд представлен на Рисунке 2.1.

Рисунок 2.1. Спектр амплитуд исследуемого полигармонического сигнала.

2.3. Построим спектр мощности исследуемого сигнала в логарифмическом масштабе.

Для построения спектра мощности значение каждой из амплитуд необходимо возвести в квадрат: P₁ = 0,25 В², P₂ = 16 В², P₃ = 36 В², P₄ = 0,25 В². Для представления мощности в децибелах используем соотношение

,

где P_i – абсолютное значение мощности і-той гармоники (квадраты амплитуд) , P₀ – базовое значение мощности, соответствующее 0 дБ ( P₀ = 1 ВА).

Вычисляем:

P_1дБ = 10∙lg = − 6 дБ;

P_2дБ = 10∙lg = 12 дБ;

P_3дБ = 10∙lg = 16 дБ;

P_4дБ = 10∙lg = − 6 дБ;

Знаки «+»  и «−» показывают, больше или  меньше значение мощности в децибелах  относительно заданного нулевого уровня.

 График  спектра мощности исследуемого полигармонического сигнала в децибелах приведен на Рисунке 2.2.

Рисунок 2.2. Спектр мощности исследуемого полигармонического сигнала в децибелах.

 

 

 

ЗАДАНИЕ 3.

Синтез цифровых фильтров и фильтрация сигналов.

 

3.1. Опишите цели фильтрации сигналов и приведите классификацию цифровых фильтров.

3.2. Напишите передаточную функцию фильтра H(z), описанную с помощью нулей и полюсов (см. табл. 3.1).

3.3. Рассчитайте коэффициенты данного фильтра.

3.4. Постройте и проанализируйте импульсную характеристику данного фильтра. Определите, обладает ли данный фильтр устойчивостью.

 

Таблица 3.1 – Варианты к заданию 3

 

№	P1	P2	P3	Z1	Z2	Z3
3	0.3	1.5	–	1.3	-0.6	-0.5

 

 

РЕШЕНИЕ.

 

3.1. Фильтрация представляет собой одну из самых распространенных операций обработки сигналов. Цель фильтрации состоит в подавлении помех, содержащихся в сигнале, или в выделении отдельных составляющих сигнала, соответствующих тем или иным свойствам исследуемого процесса.

Цифровой фильтр — это частотно-избирательная цепь, которая обеспечивает селекцию цифровых сигналов по частоте.

По виду импульсной переходной функции цифровые фильтры можно разделить на два обширных класса: нерекурсивные (КИХ) и рекурсивные (БИХ).

Нерекурсивный фильтр (КИХ-фильтр) – фильтр с конечной импульсной характеристикой – это один из видов электронных фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Знаменатель передаточной функции такого фильтра — некая константа.

Рекурсивный фильтр (БИХ-фильтр) – фильтр с бесконечной импульсной характеристикой – это электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть образующий обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид. Такие фильтры могут быть как аналоговыми, так и цифровыми.

По виду частотной характеристики фильтры подразделяются на:

• Фильтр нижних частот (ФНЧ, Low-Pass) имеет три частотных полосы: полосу пропускания (ПП), полосу задерживания (ПЗ) или ослабления и затухания, и переходную полосу. Данный фильтр отрезает сигнал, частота которого выше определенного порога - частоты среза.
• Фильтр верхних частот (ФВЧ, High-Pass) имеет, как и ФНЧ, три частотных полосы: полоса задерживания, переходная полоса и полоса пропускания, которые расположены в обратном, относительно ФНЧ, порядке. Работа этого фильтра прямо противоположна предыдущему - ФВЧ используется для отсекания сигнала, частота которого ниже частоты среза.
• Полосовой фильтр (ПФ, Band-Pass) характеризуется пятью частотными полосами, из которых центральная— полоса пропускания, две полосы задерживания и две переходных полосы. Полосовой фильтр применяется в тех случаях, когда необходимо выделить некую полосу частот из всего спектра.
• Режекторный фильтр (РФ), или  полосно-заграждающий, подобно ПФ, характеризуется пятью полосами, из которых две полосы пропускания, одна полоса задерживания и две переходных полосы. Этот фильтр не пропускает колебания некоторой определённой полосы частот (полоса задерживания), и одновременно пропускает колебания с частотами, выходящими за пределы этой полосы.
• Заграждающий фильтр, предназначенный для подавления одной определённой частоты, называется узкополосным заграждающим фильтром или фильтром-пробкой (Notch Filter). Данный фильтр применяют, если необходимо ослабить (практически до нуля) некую выбранную частоту.

По способу аппроксимации фильтры  делят на:

• Фильтр Баттерворта — один из типов электронных фильтров. Фильтры этого класса отличаются от других методом проектирования: фильтр проектируется так, чтобы его амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) была максимально гладкой на частотах полосы пропускания.
• Фильтры Чебышева (I и II рода) — одни  из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которых является более крутой спад АЧХ и существенные пульсации АЧХ на частотах полос пропускания (фильтр Чебышева I рода) и подавления (фильтр Чебышева II рода), чем у фильтров других типов. Фильтры Чебышева обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.
• Эллиптический фильтр (Фильтр Кауэра) — электронный фильтр, характерной особенностью которого является пульсации АЧХ как в полосе пропускания, так и полосе подавления. Величина пульсаций в каждой из полос независима друг от друга. Другой отличительной особенностью такого фильтра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров.
• Фильтр Бесселя — в электронике и обработке сигналов один из наиболее распространённых типов линейных фильтров, отличительной особенностью которого является максимально гладкая групповая задержка (линейная фазо-частотная характеристика). Групповая задержка фильтров Бесселя практически не изменяется по частотам полосы пропускания, вследствие чего форма фильтруемого сигнала на выходе такого фильтра в полосе пропускания сохраняется практически неизменной.

 

 

3.2. Один из способов описания фильтра – с помощью нулей и полюсов. Передаточная функция фильтра – H(z), описанная с помощью нулей и полюсов, в общем виде выглядит так:

H(z) = K∙ ,

где z_i – нули передаточной функции,

      p_j – полюса передаточной функции,

      К – коэффициент усиления фильтра,

      z^-1 – переменная (z – аппарат преобразования).

Подставляя  заданные по условию значения z_i и p_j, получаем выражение передаточной функции фильтра H(z):

H(z) = K∙

 

 

3.3. Рассчитаем коэффициенты данного фильтра.

Раскрываем  скобки в числителе:

(1 – 1,3z^-1)(1 + 0,6z^-1)(1 + 0,5z^-1) = (1 – 1,3z^-1 + 0,6z^-1 – 0,78z^-2) (1 + 0,5z^-1) =

= (1 – 0,7z^-1 – 0,78z^-2) (1 + 0,5z^-1) =1 – 0,7z^-1 – 0,78z^-2 + 0,5z^-1 – 0,35z^-2 – 0,39z^-3=

= 1 – 0,2z^-1 – 1,13z^-2 – 0,39z^-3

Полученное  выражение соответствует выражению

b₀ + b₁z^-1 + b₂z^-2 + b₃z^-3,

т.е. числителю  формулы передаточной функции фильтра, если знаменатель приравнять к нулю. Отсюда находим значения коэффициентов  числителя b_i:

b₀ = 1; b₁ = −0,2; b₂ = −1,13; b₃ = −0,39.

Аналогично  раскрываем скобки в знаменателе:

(1 – 0,3z^-1)(1 – 1,5z^-1) = 1 – 0,3z^-1 – 1,5z^-1 + 0,45z^-2 = 1 – 1,8z^-1 + 0,45z^-2

Полученное  выражение соответствует выражению

1 + a₁z^-1 + a₂z^-2,

откуда находим  значения коэффициентов знаменателя:

a₁ = −1,8; a₂ = 0,45.

 

 

3.4. Построим импульсную характеристику данного фильтра.

Импульсной  характеристикой называют реакцию  фильтра на единичный импульс, поданный на его вход. Под единичным импульсом будем понимать, такой сигнал, который в момент времени t=1 равен 1, а во все остальные моменты времени он равен нулю.

График  импульсной характеристики фильтра для входящего единичного импульса представлен на Рисунке 3.1.

 

Рисунок 3.1. График импульсной характеристики фильтра для входящего единичного импульса

Как видно  из Рисунка 3.1, в момент времени 1t входящий импульс S_вх(1∆t) равен единице, в остальные временные отсчёты S_вх(n∆t) он равен нулю.

Импульсную  характеристику исследуемого фильтра  будем строить на основании анализа Рисунка 3.1 и формулы для нахождения выходящих импульсов:

S_вых(n∆t) = b₀∙ S_вх(n∆t) + b₁∙ S_вх[(n−1)∙∆t] + b₂∙ S_вх[(n−2)∙∆t] +

+ b₃∙S_вх[(n−3)∙∆t] − a₁∙ S_вых[(n−1)∙∆t] – a₂∙ S_вых[(n−2)∙∆t] ,

где n – номер отсчета.

Находим:

n=0, S_вых(0∆t) = b₀∙ S_вх(0∆t) = 0. Остальных слагаемых уравнения нет, т.к. нет отрицательного ∆t: для того, чтобы система была физически реализуема в реальном времени, ее импульсная переходная функция должна удовлетворять условию: h(t)=0 при t<0. В противном случае система нереализуема, так как она нарушала бы причинно-следственную связь: отклик появляется на выходе раньше, чем на вход поступило воздействие

Далее, для упрощения вычислений, сразу будем исключать из уравнения все те слагаемые, которые содержат «0∆t» или отрицательный коэффициент перед ∆t, а также все слагаемые, содержащие S_вх(n∆t), где n отлично от единицы (как мы уже отметили выше, входящий импульс, равный единице, существует только в отсчете 1∆t, в остальные отсчеты времени он равен нулю).

n=1, S_вых(1∆t) = b₀∙ S_вх(1∆t) = 1∙1 = 1 – координаты точки окончания импульса на первом отсчёте (1;1).

n=2, S_вых(2∆t) = b₁∙ S_вх[(2−1)∙∆t] − a₁∙ S_вых[(2−1)∙∆t]= – 0,2∙1 + 1,8∙1 = 1,6.

Координаты точки окончания  импульса на втором отсчете (2;1,6).

n=3, S_вых(3∆t) = b₂∙ S_вх[(3−2)∙∆t] − a₁∙ S_вых[(3−1)∙∆t] – a₂∙ S_вых[(3−2)∙∆t]=

= −1,13∙1 + 1,8∙1,6 – 0,45∙1 = 1,3. Координаты точки окончания  импульса на третьем отсчёте (3;1,3).

n=4, S_вых(4∆t) = b₃∙S_вх[(4−3)∙∆t] − a₁∙ S_вых[(4−1)∙∆t] – a₂∙ S_вых[(4−2)∙∆t] =

= −0,39∙1 + 1,8∙1,3 – 0,45∙1,6 = 1,23. Координаты точки окончания импульса на четвёртом отсчете (4;1,23).

 

На основании  полученных данных строим импульсную характеристику исследуемого фильтра (Рисунок 3.2).

 

Рисунок 3.2. Импульсная характеристика исследуемого фильтра.

 

Из анализа  полученных данных следует, что исследуемый  нами цифровой фильтр – фильтр класса КИХ-фильтров, т. е. фильтров с конечной импульсной характеристикой: импульсная характеристика КИХ-фильтра всегда конечна и полностью совпадает с коэффициентами фильтра.

 

Об устойчивости исследуемого фильтра можно судить по значениям полюсов фильтра: теоретически цифровой фильтр стабилен, если полюса передаточной функции лежат где угодно внутри единичной окружности.

ЦФ устойчив, если устойчив его  аналоговый фильтр-прототип, поскольку  полюсы последнего лежат в левой p-полуплоскости, отображаемой внутрь единичного круга z-плоскости (левая p-полуплоскость однозначно отображается внутрь единичного круга, а правая p-полуплоскость – вне его).

Но на практике, из-за погрешности округления, полюса фильтра должны находиться на некотором безопасном расстоянии от нее, т.е. по модулю быть чуть меньше единицы. И чем больше порядок фильтра, тем меньше допустимый радиус для полюсов.

Таким образом, можно заключить, что исследуемый фильтр, полюса передаточной функции которого равны p₁=0,3, p₂=1,5, является неустойчивым.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

 

1. Баскаков С. И. Радиотехнические цени и сигналы. Руководство к решению задач М.: Высшая школа, 2002, 214 с.
2. Глинченко А.С. Цифровая обработка сигналов: В 2 ч. Ч. 1. Красноярск: Изд-во КГТУ. 2001. 199 с.
3. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и приминение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. А. Л. Зайцева, Э. Г. Назаренко, Н. Н. Тетёкина / Под редакцией Ю. Н. Александрова – М.: Мир, 1978. – 848 с.: ил.
4. Раушер К.. Нанесен Ф., Минихольд Р. Основы спектрального анализа: Пер. с англ. С. М. Смольского / Под редакцией Ю. А. Гребенко - М: Горячая линия-Телеком, 2006. - 224 с: ил.
5. Солонина А. И., Улахович Д. А., Яковлев Л. А. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов. — СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 464 с: ил.
6. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко — СПб.: Питер, 2002. — 608 с: ил.