Силовой расчет механизма

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ПОСТАНОВКА  ЗАДАЧИ 
 

Исходные  данные 

     Исследуемая механическая система, изображенная на рисунке 1 (грузоподъёмный механизм), состоит из колес 1, 2 и груза 3. На колесо 1 действует момент M(t) = (30t+5900) Нм. На колесо 2 действует постоянный момент сил сопротивления M_c = 600Нм.

     В начальный момент времени t=0 угол поворота колеса φ₁₀ = 0, его начальная угловая скорость ω₁₀ = 2 рад/с.

     Массы тел 1, 2, 3 соответственно равны m₁ =        кг, m₂ =       кг, m₃ =      кг.

Радиусы колес  R₁ = 0,8 м, r₁ = 0,6 м, R₂ = 0,2 м.

Радиусы инерции  колеса 1 относительно его оси вращения i_z1 = 0,7 м. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заданное  время t₁ = 3с. Тело приведения - колесо 2. 
 

Требуется

    1. Нарисовать силовую схему механизма и из условий равновесия системы в предельном статическом состоянии определить максимальное значение активного момента М_{макс.стат.}, который может быть приложен к колесу 1 без нарушения состояния покоя. Найти при этом усилия взаимодействия колес 1 и 2, силу натяжения троса подвески груза 3 а также реакции опор колёс.

    2. Нарисовать кинематическую схему  механизма. Принять угловое перемещение, скорость и ускорение тела приведения 1 в качестве соответственно обобщённой координаты, обобщённой скорости и обобщённого ускорения механизма. Выразить перемещения, скорости, ускорения тел 1 и 3 через обобщённую координату, обобщённую скорость и обобщённое ускорение механизма.

    3. Определить кинетическую энергию  механизма, выразив ее через  обобщённую скорость.

    4. Определить суммарную мощность  всех сил, действующих на механизм, выразив ее через обобщённую  скорость.

    5. Применяя теорему об изменении  кинетической энергии в дифференциальной форме, составить дифференциальное уравнение движения механизма. Решить это уравнение и определить уравнение движения механизма.

    6. Используя полученное решение  и найденные в п. 2 кинематические  соотношения, составить уравнения движения тел 2 и 3. Найти выражения для скоростей и ускорений этих тел.

    7. Применяя теорему о движении центра масс для груза 3, зная его уравнение движения, найти силу динамического натяжения троса, прикрепленного к грузу, в заданный момент времени t₁.

    8. Примеряя теорему об изменении  кинетического момента для колеса 1, зная его закон движения, определить силы взаимодействия колес 1 и 2 в заданный момент времени t₁.

    9. Применяя принцип Даламбера, найти  динамические реакции опор колес,  а также силы взаимодействия  колес 1 и 2 в заданный момент  времени t₁.

    10. Применяя принцип возможных перемещений, определить максимальный активный статический момент М_{макс.стат.}.

    11. Составить дифференциальное уравнение  движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода. Сравнить это уравнение с уравнением, выведенным в пункте 5.

    12. Сделать выводы по работе. 
 
 
 
 
 

1.СТАТИЧЕСКИЙ  АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА 

     Рассматривается предельное статическое состояние  механизма. Конструкция рассекается на части, как показано на рис. 2. Анализируется равновесие каждой части.

     Приняты, следующие обозначения: Р₁, Р₂, P₃ - силы тяжести первого и второго колёс, а также груза 3; R_ax, R_ay, R_bx, R_by реакции опор колёс; Q- силы действия и противодействия в контакте колёс; F - силы натяжения троса подвески груза. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Расчёт  сил тяжести:

сила тяжести  первого колеса - Р_] = m₁g =

сила тяжести  второго колеса -  Р₂ = m₂g =

сила  тяжести груза -                   Р₃ = m₃g =

     Уравнение равновесия груза:

F-P₃ =0.

Из (1.1) вытекает, что натяжение троса  подвески груза равно

F = Р₃ = 

     Уравнения равновесия для колеса 2:

  
 
 

Из (1.4) определяется сила взаимодействия колёс: 
 

а из (1.2), (1.3) определяются реакции:  
 

     Уравнения равновесия для колеса 1: 
 
 
 

Из (1.5), (1.6) определяются реакции: 
 

а также  максимальный активный статический  момент 
 
 

2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ  МЕХАНИЗМА 

     Кинематическая  схема механизма дана на рис. 3. Введены  обозначения: φ₁, ω₁, ε₁ - угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение колеса 1; φ₂, ω₂, ε₂ - то же для колеса 2; s, V, a, - линейное перемещение, скорость и ускорение тела 3. На рис. 3 показаны направления этих параметров при их положительном значении.

     Кинематические  параметры тела приведения, то есть колеса 2, принимаются в качестве обобщенных параметров, характеризующих  движение всего механизма, имеющего одну степень свободы: φ₂ - обобщённая координата, ω₂ -обобщённая скорость, ε₂ - обобщённое ускорение, тел 1 и 3 выражаются через обобщённые параметры. 

Кинематические  параметры колеса 1: 

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Кинематические  параметры груза 3: 
 
 
 

Определение начальных условий движения механизма: 

3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ  МЕХАНИЗМА 

     Используем  схему механизма, данную на рис. 3. Выражаем кинетическую энергию механизма  через обобщённую скорость ω₂.Вычисление кинетической энергии механизма выполняется с учетом формул, полученных в разделе 2.

     Кинетическая  энергия системы равна сумме  кинетических энергий всех звеньев, участвующих в движении: 
 

где Т₁ - кинетическая энергия колеса 1, Т₂ - кинетическая энергия колеса 2, Т₃ -   кинетическая энергия груза 3.

     Определение кинетической энергии колеса 1, вращающегося вокруг неподвижной оси: 
 

Здесь                                                               - осевой момент инерции колеса 1.

     Определение кинетической энергии колеса 2, вращающегося вокруг неподвижной оси: 
 

Здесь                                                                              - осевой момент инерции колеса 2.

     Определение кинетической энергии груза 3, движущегося  поступательно: 
 

С учетом формул (3.2)-(3.4) из (3.1) получается выражение  для полной кинетической энергии механизма: 

4. СУММАРНАЯ МОЩНОСТЬ  ВСЕХ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ

НА  МЕХАНИЗМ. 

     Расчётная схема для вычисления мощности показана на рис 4. Выражаем суммарную мощность всех сил, действующих на механизм, через обобщённую скорость ω₂.

     Для заданной механической системы, состоящей из абсолютно твёрдых тел и нерастяжимого невесомого троса, мощность всех внутренних сил равна нулю, поэтому необходимо вычислить мощность только внешних сил.

     Суммарная мощность сил, действующих на механизм, равна

N = N_M + N_Мc + N_P3,

где N_M - мощность активного момента, действующего на колесо 1,

N_Mc  - мощность момента сил сопротивления, действующего на колесо 2,

N_P3 - мощность силы тяжести груза 3.

     Определение мощности активного момента, действующего на колесо 1. 

Определение мощности момента сил сопротивления, приложенного к колесу 2. 
 

Определение мощности силы тяжести груза 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Подставляя (4.2)-(4.4) в (4.1),«получим выражение для  полной мощности сил, действующих на механизм: 

5. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ  МЕХАНИЗМА 

     Исследуемый механизм является системой с одной  степенью свободы, поэтому движение одного тела (тела приведения) определяет движение всех остальных тел. Перемещение тела приведения -колеса 2, то есть угол поворота ф₂, выбирается в качестве обобщённой координаты.

     Для получения дифференциального уравнения  движения механизма применяется теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме, согласно которой производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех сил, приложенных точкам системы.

где Т =                             - суммарная кинетическая энергия механизма,

                                     - суммарная мощность внешних  сил,

  - мощность внутренних сил.

     Подставляя (5.2), (5.3) в (5.1) и дифференцируя функцию (5.2), получим соотношение  

откуда 

Выражение (5.5) с одной стороны представляет зависимость углового ускорения колеса 2 от времени, а с другой стороны является дифференциальным уравнением движения исследуемого механизма.

     Интегрируем дифференциальное уравнение (5.5) методом  разделения переменных, используя определённые интегралы: 
 
 

Выражение (5.6) является формулой угловой скорости колеса 2, то есть формулой обобщённой скорости механизма. Эту зависимость можно представить в виде дифференциального уравнения 
 

Интегрируем дифференциальное уравнение (5.7) методом  разделения переменных, используя определённые интегралы: 
 
 
 

Соотношение (5.8) представляет собой зависимость  угла поворота колеса 2 от времени, в тоже время это соотношение является уравнением движения механизма, которое характеризует зависимость обобщённой координаты от времени. 

6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ  ЗВЕНЬЕВ МЕХАНИЗМА.  ФОРМУЛЫ СКОРОСТЕЙ  И УСКОРЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ 

     В предыдущем разделе получен закон  движения колеса 2 и формулы угловой скорости и углового ускорения этого тела: 
 

Используя кинематические соотношения (2.1)-(2.6), найдём зависимость от времени параметров движения колеса 1 и груза 3.

Колесо 1. 
 
 
 

Груз 3. 
 
 
 
 

7. ДИНАМИЧЕСКОЕ НАТЯЖЕНИЕ ТРОСА ПОДВЕСКИ ГРУЗА 

     Расчётная схема показана на рис.5. Внешними силами для груза являются сила тяжести  Р₃ и сила натяжения троса F. К грузу 3 применяется теорема о движении центра масс:

 
 
 
 
 
 
 

Проецируя равенство (7.1) на ось у, получим 

Подставляя  в (7.2) найденное выше выражение (6.9) для  ускорения груза, а также численные  значения массы и силы тяжести, найдём 

В момент времени  

8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ  СИЛЫ 

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ  КОЛЕС 

Расчётная схема показана на рис.6. Внешними нагрузками для колеса 1 являются сила тяжести Р₁, сила взаимодействия колёс Q, реакции опор и активный момент М. К колесу 1 применяется теорема об изменении кинетического момента относительно оси вращения: 

Здесь K_A = J₁ω₁ - кинетический момент колеса 1 относительно оси вращения,

 

Значение J₁=     кгм было определено выше в разделе 3, выражение для ε₁ было получено в разделе 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Подставляя (8.2) и заданную формулу активного момента М=5900+30t в (8.1), найдём 
 
 

В момент времени t₁=3с 
 

9. РАСЧЁТ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ОПОР И ДРУГИХ СИЛ С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА 

  Расчётная схема показана на рис.7. Конструкция рассекается на три части и рассматривается равновесие каждой части в отдельности. К внешним нагрузкам и силам в сечениях добавляются силы инерции, которые вычисляются через известные ускорения.

   Рассчитываются силы инерции.

Главный вектор сил инерции груза 3: 

в момент времени t₁=3с

Главный момент сил инерции колеса 1: 

в момент времени t₁=3с

Главный момент сил инерции колеса 2:  

в момент времени t₁=3с 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Уравнение кинетостатики груза: 

Из (9.4) вытекает, что натяжение троса подвески груза в момент времени t₁=3с с равно:

что совпадает со значением этой силы, найденным в разделе 7. Уравнения кинетостатики для колеса 2: 
 

Из (9.8) определяется сила взаимодействия колёс в момент времени t₁=3с:  
 

что совпадает со значением этой силы, найденным в разделе 8.

Из (9.6), (9.7) определяются реакции, действующие на колесо 2 в момент времени t₁=3с: 
 

Уравнения кинетостатики для колеса 1: 
 
 

      Из (9.9), (9.10) определяются реакции, действующие на колесо 1 в момент времени t₁=3с: 
 

Уравнение (9.11) служит для проверки расчётов: 

Это уравнение достаточно точно удовлетворяется.

10. ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО СТАТИЧЕСКОГО МОМЕНТА С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ

ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

      Расчётная схема механизма (механической системы) показана на рис.8 Связи, наложенные на данную механическую систему, являются стационарными и геометрическими. Механизм имеет одну степень свободы и его перемещения определяются обобщённой координатой φ₂ -углом поворота колеса 2 (тела приведения).

   Рассмотрим предельное статическое состояние равновесия механизма. Согласно принципу возможных перемещений для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

   Зададим механизму возможное перемещение путём вариации обобщённой координаты δφ₂. Колесо 1 и груз 3 получат при этом возможные перемещения δφ₁ и δs, которые выражаются через δφ₂ по формулам (2.1),(2.4):

Составим уравнение баланса работ всех сил, действующих на механизм, на заданных возможных перемещениях: 

Подставляя в (10.2) известные момент М_с, силу Р₃ и выражения (10.1), получим 

Из равенства (10.3), сокращая его на δφ₂, найдём 

Значение М_{макс.стат.} достаточно точно совпадает со значением этого же момента, определенного с помощью уравнений статики в разделе 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

11. ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 2-ГО РОДА.

   Используем расчётную схему механизма (механической системы) показанного на рис.8 Связи, наложенные на данную механическую систему, являются стационарными и геометрическими. Механизм имеет одну степень свободы и его перемещения определяются обобщённой координатой φ₂ -углом поворота колеса 2 (тела приведения).

Уравнения Лагранжа II-го рода для механической системы с одной степенью свободы имеет вид:

где q - обобщенная координата, q - обобщенная скорость, Q - обобщенная сила, Т - кинетическая энергия.

Для исследуемого механизма выбрано в качестве обобщенной координаты угловое перемещение колеса 2, то есть q= φ₂ , тогда q = ω₂. С учётом этих выражений уравнение (11.1) примет вид 

  Воспользуемся формулой (3.5) для кинетической энергии механизма Т= Вычислим производные: 
 

  Для определения обобщенной силы вычислим сумму элементарных работ всех сил на возможном перемещении механической системы. Так же как в разделе 10, зададим механизму возможное перемещение путём вариации обобщённой координаты δφ₂. Колесо 1 и груз 3 получат при этом возможные перемещения δφ₁ и δs, которые выражаются через δφ₂ по формулам (2.1),(2.4): 

Найдём сумму работ всех сил, действующих на механизм, на заданных возможных перемещениях: 
 

Подставляя в (11.5) известные момент М_с, силу Р₃ и выражения (11.4), получим 
 

Обобщенная сила Q равна коэффициенту в этом равенстве перед возможным перемещением δφ_2: 

Подставим (11.3) и (11.7) в (112): 

отсюда 

Выражение (11.8) является дифференциальным уравнением движения механизм, оно достаточно точно совпадает с уравнением (5.5), что говорит о правильности расчетов. 
 
 

выводы.

1. Методами статики исследовано предельное состояние равновесия подъемно- 
го механизма и установлены значения максимального активного момента 
М_{макс.стат.}=               Н, реакций опор R_bx=              Н, R_by =              Н, R_ax =               Н,

R_ax =           Н, сила натяжения троса подвески груза F = P₃ =          , силы взаимодействия колёс Q =          Н.

2. Исследована кинематика механизма и установлены зависимости между параметрами движения его звеньев:

 

3. Определена кинетическая энергия механизма как функция обобщённой скорости:
4. Определена суммарная мощность всех сил, действующих на механизм, как функция обобщённой скорости: N =
5. С помощью теоремы об изменении кинетической энергии получено дифференциальное уравнение движения механической системы 

после интегрирования которого получена формула обобщённой скорости и уравнение движения механизма:  
 

6. Установлены законы движения всех тел и получены формулы их скоростей и 
   ускорений:

 
 

7. Для определения силы натяжения троса подвески груза при движении меха- 
низма была применена теорема о движении центра масс груза 3. Установлен за- 
икой изменения этой силы F =                    и определено численное значение

для момента времени t= 3c F=           Н.

8. Для определения силы взаимодействия колёс при движении механизма была 
   применена теорема об изменении кинетического момента относительно оси 
   вращения колеса 1. Установлен закон изменения этой силы и определено чис- 
   ленное значение для момента времени t=lc:Q =

9. С помощью принципа Даламбера определены реакции опор колёс 
R_bx=              Н, R_by =              Н, R_ax =               Н, R_ax =              Н,

силы натяжения троса подвески груза и силы взаимодействия колёс в момент времени t=3с. F =             Н, Q =          Н.

10. С помощью принципа возможных перемещений вычислен максимальный 
статический активный момент на колесе 1: М_{макс.стат.} =                  Н.

11. Составлено дифференциальное уравнение движения механизма с помощью уравнений Лагранжа П-го рода: 

      Сравнение результатов расчетов, проведенных разными методами, позволяет сделать вывод о правильности этих расчетов.

   Таким образом, методами теоретической механики проведен полный анализ статики, кинематики и динамики подъемного механизма.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов.-12-е изд., стер.-М.; Высш.шк., 1998.-416с, ил.
2. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Учеб. пособие для втузов под редакцией А.А.Яблонского, 7-е издание, испр- М.: Интеграл-Пресс 2001.-384с.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СОДЕРЖАНИЕ