Ирина Эланс
Синтез импульсных систем методом ортогональных проекций
Содержание
Введение4
- Обзор методов синтеза нелинейных систем автоматического управления. Постановка задач исследования7
- Методы синтеза нелинейных систем управления7
- Постановка задачи исследования16
- Выводы17
- Нелинейные импульсные системы18
- Пример31
Заключение33
Приложение 34
Список литературы 47
Введение
Актуальность темы диссертации. В различных отраслях науки и техники широко применяются нелинейные непрерывные и импульсные системы автоматического управления (САУ), динамика которых описывается нелинейными дифференциальными или разностными уравнениями высокого порядка.
Постоянное повышение требований к техническим и эксплуатационным характеристикам САУ сложными объектами и технологическими процессами приводит к необходимости учета нелинейностей в системах при синтезе законов управления.
В теории нелинейных САУ достигнуты значительные результаты. Здесь в первую очередь следует отметить методы фазового пространства, гармонического баланса, критерии устойчивости, статистическую линеаризацию и многие другие методы, изложенные в трудах А. М. Ляпунова, А.А. Андронова, Н.Н. Боголюбова, Н.М. Крылова, Е.П. Попова, В.А. Бесекерского, Я.З. Цыпкина, В.А. Якубовича, В.В. Солодовникова, А.А. Воронова, Н.Н. Красовского, В.С. Пугачева, Е.И. Джури, Ю.Т. Ту и других ученых.
Существующие традиционные методы синтеза нелинейных непрерывных и импульсных САУ зачастую достаточно сложны и имеют ряд особенностей и недостатков, ограничивающих их применение для исследования широкого класса САУ высокого порядка с несколькими нелинейностями по единым алгоритмам.
В настоящее время для синтеза нелинейных непрерывных и импульсных САУ широко используются численные методы. Высокоэффективным оказался метод синтеза непрерывных и импульсных систем предложенный И.А. Орурком и Л.А. Осиповым - метод ортогональных проекций, развитый в работах А.Д. Жукова и В.Ф. Шишлакова. В связи с этим одной из важных задач является развитие метода ортогональных проекций для синтеза нелинейных импульсных систем.
В диссертации решалась следующая задача:
- разработка алгоритма синтеза импульсных систем управления, содержащих различные типы нелинейных элементов, основанного на методе ортогональных проекций.
Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе применялись положения теории автоматического управления, прямые методы решения вариационных задач, аппарат теории обобщенных функций, нелинейное программирование.
Научная новизна. В диссертации новым является то, что вносится в решение задач синтеза импульсных САУ высоких порядков, следующее:
- алгоритм параметрического синтеза импульсных систем по заданным показателям качества переходного режима, позволяющий проводить синтез импульсных систем при случайных возмущениях с нелинейностями произвольного вида, допускающими кусочно-линейную аппроксимацию.
Практическая ценность. Развитый в работе метод ортогональных проекций для параметрического синтеза нелинейных импульсных САУ по заданным показателям переходного режима является теоретической основой разработанных алгоритмов синтеза САУ. Они могут быть использованы в различных отраслях промышленности при создании алгоритмического обеспечения для автоматизированного проектирования сложных нелинейных САУ.
Положения диссертационной работы, выносимые на защиту:
- развитие метода ортогональных проекции на синтез нелинейных импульсных САУ по заданным показателям качества переходного режима;
- решение задачи синтеза закона управления импульсной нелинейной САУ.
Апробация работы. Результаты работы обсуждались на научной сессии ГУАП в апреле 2015 г.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения, списка использованных источников и приложения.
1. Обзор методов синтеза нелинейных систем автоматического управления. Постановка задач исследования
1.1. Методы синтеза нелинейных систем управления
При проектировании САУ необходимо определить структуру системы и параметры ее звеньев. Эта задача решается применением методов синтеза и оптимизации.
Применение того или иного метода исследования САУ определяется назначением САУ и требованиями к ее функционированию, но в большей степени свойствами объекта управления и сложностью исследуемой системы. Возрастающая сложность решаемых в настоящее время научно-технических задач приводит к качественному изменению систем управления и усложнению математического описания динамики САУ.
Так, задача проектирования сложных систем автоматического управления, содержащих несколько нелинейностей требует трансформации существующих методов синтеза, либо разработки новых методов синтеза таких систем.
Рассмотрим существующие методы синтеза нелинейных систем управления, обеспечивающих заданные показатели качества процессов нелинейных САУ. На основании проведенного обзора, сравнения и анализа методов сформулируем задачи диссертационной работы, направленные на разработку математического аппарата и основанного на нем программного обеспечения для расчета нелинейных и импульсных САУ высоких порядков.
Эффективным методом синтеза нелинейных САУ является метод фазового пространства, основы которого заложены академиком А.А. Андроновым [1]. Метод позволил провести детальное исследование различных типов релейных САУ [2], [3], систем с переменной структурой [4] еще до того, как были разработаны метод динамического программирования и принцип максимума Понтрягина.
Этот метод также может быть распространен на нелинейные импульсные системы [5], описываемые двумя конечностными уравнениями (метод дискретной фазовой плоскости). Дискретная фазовая плоскость является эквивалентом фазовой плоскости, используемой при синтезе непрерывных САУ; по осям координат откладываются значения в дискретные моменты времени.
К методу фазового пространства тесно примыкает метод точечных отображений, изложенный в работе [6] А.А. Андронова и др., который оказался эффективным при исследовании динамики систем с кусочно-линейными характеристиками. Исследование нелинейных САУ с помощью метода точечных отображений позволило решить ряд важных прикладных задач [7], [8].
Методы фазового пространства и точечных отображений позволяет исследовать устойчивость систем, проводить анализ переходных процессов и выбирать структуру и параметры систем управления.
Недостатком данных методов является их практическая ограниченность системами второго порядка. В случае систем более высоких порядков возникает необходимость перехода от фазовой плоскости к многомерным фазовым пространствам, что приводит к значительному усложнению метода и потере наглядности.
В связи с этим Р.А. Нелепиным был разработан метод сечения пространства параметров [9]- [11], а Е.И. Геращенко метод разделения движений [12]. Данные методы позволяют преодолеть трудности, возникающие при применении методов фазового пространства и точечных отображений к синтезу нелинейных САУ высокого порядка.
Идея метода сечения пространства заключается в изучении нелинейной САУ высокого порядка в условиях специально выбираемых сечений пространства ее параметров, для которых исходная система не особым линейным преобразованием переменных приводится к системе, исследование которой осуществляется путем последовательного рассмотрения подсистем низкого порядка. Полученные результаты переносятся на исходную САУ.
Основным недостатком данного метода является то, что поведение нелинейной САУ исследуется только в рассматриваемых сечениях пространства параметров, а движение системы между данными сечениями не анализируется. Этот недостаток можно частично исправить, проведя дополнительно исследование движения на интервалах приближенными методами.
Отмеченные недостатки метода фазовой плоскости, фазового пространства и их дискретных аналогов указывают на их ограниченность системами низких порядков и сложность, а в ряде случаев и невозможность применения к нелинейным системам высокого порядка.
Широкое распространение для синтеза линейных импульсных систем получил метод z-преобразования [13]- [15]. На основе этого метода Е.И. Джури был разработан метод корневых годографов[16]- [17], в котором используется свертка z-преобразований, позволяющая найти решение для дискретных САУ с нелинейностями определенного вида. Указанный метод применяется для исследования импульсных систем со слабо линейными звеньями и позволяет найти выходной сигнал в дискретные моменты времени как функцию входного сигнала.
Большое внимание уделяется методам синтеза оптимальных систем, основанным на принципе максимума Л.С. Понтрягина [18]- [20], методе динамического программирования Р. Беллмана [21]- [23], аналитическом конструировании оптимальных регуляторов A.M. Летова [24], [25]. Ввиду сложности аналитических формулировок данных методов, они, как правило, используются при получении решений для нелинейных систем невысоких порядков.
Сложность и трудоемкость точных методов синтеза нелинейных непрерывных и дискретных САУ привела к распространению в инженерной практике приближенных методов.
К этим методам относится известный метод гармонической линеаризации и близкие к нему метод гармонического баланса, малого параметра и др.[26]- [33]. На основе z-преобразования Б.С.Куо[34] распространил метод гармонического баланса на импульсные системы.
Метод гармонической линеаризации и его дискретный аналог эффективны при исследовании автоколебательных систем и систем, находящихся в режиме вынужденных колебаний. Метод применяется к исследованию САУ с затухающими колебательными процессами [35], хотя в этом случае при расчете могут иметь место существенные погрешности.
Применение метода гармонической линеаризации к анализу и синтезу нелинейных систем основывается на свойстве фильтра линейной части системы; при этом за счет ослабления амплитуды высших гармоник имеется возможность вести расчеты по первой гармонике в нелинейном процессе. Уточнение первого приближения путем построения высших гармоник было рассмотрено в работах [36], [37]. А.А.Вавиловым получены условия применения метода гармонической линеаризации, базирующиеся на оценке чувствительности периодического решения к высшим гармоникам и малым параметрам [38], [39].
В работах Е.П. Попова, Е.И. Хлыпало, И.П. Пальтова и других [32], [40]- [49] рассматривается применение метода гармонической линеаризации к решению задач синтеза параметров законов управления и корректирующих устройств нелинейных систем из условия обеспечения заданных показателей качества переходных процессов. Для этого строятся диаграммы качества переходных процессов, либо используются логарифмические частотные характеристики.
Для синтеза дискретных САУ М.М.Симкиным[50], [51] и Я.З.Цыпкиным[52] предложен вариант метода гармонического баланса, основанный на использовании импульсных частотных характеристик линейной части системы. Однако, метод имеет ограниченное применение почти исключительно для САУ, устойчивых в разомкнутом состоянии [53], [54] и содержащих нелинейные элементы с характеристиками релейного типа [52].
При использовании метода гармонического баланса для дискретных систем существенно повышается его сложность и трудоемкость вследствие необходимости учета квантования по времени [50]. Осложнение вызывает и постоянное смещение начальных точек отсчета на нелинейных статических характеристиках входных и выходных преобразователей, вызванное изменяющимися внешними условиями [54].
Таким образом, метод гармонической линеаризации дает хорошие результаты при рассмотрении режимов авто и вынужденных колебаний и применим к нелинейным системам высокого порядка, однако для затухающих колебательных процессов его применение обосновано не строго, в связи с чем применять его в этих случаях (а тем более для процессов с большим декрементом затухания и монотонных процессов) следует с осторожностью.
Наряду с рассмотренным методом гармонической линеаризации развитие получил так же метод обобщенной линеаризации, применение которого, в отличие от метода гармонической линеаризации не ограничено видом входных функций нелинейных звеньев, таким образом данный метод применим как колебательным, так и к монотонным процессам. Основы данного метода и его применение к синтезу нелинейных систем по заданным динамическим характеристикам изложены в работах [55]- [60].
Применению частотных методов для исследования нелинейных систем посвящен ряд работ [61], [38], [62]- [68]. В.В.Солодовниковым дается обзор частотных методов и обоснование метода ортогональных спектров, рассматриваемого как обобщение классического частотного метода на основе понятия интегральных преобразований и ортогональных функций. Метод ортогональных спектров позволяет получить алгоритмы, удобные для реализации на ЭВМ, исследования линейных и линеаризованных систем. В работах [65], [66] излагаются спектральные методы синтеза и идентификации САУ, предполагающие разложение сигналов и временных динамических характеристик по ортогональным базисам. В работах [67], [68] рассматриваются вопросы формализованного описания топологически сложных САУ.
Как отмечается в монографии В.А.Бесекерского [54], аналитические методы исследования импульсных систем [69], [70] пока еще малоэффективны. Поэтому широкое распространение получили методы синтеза нелинейных импульсных САУ, основанные на рассмотрении линеаризованных систем с учетом влияния квантования по уровню в виде шумов квантования. Работы С.М.Федорова, В.А.Бесекерского и других авторов [71]- [77] посвящены синтезу импульсных систем управления с использованием логарифмических амплитудно-частотных характеристик (ЛАЧХ). Метод заключается в переходе от передаточных функций, записанных в виде преобразования Лапласа к z-преобразованию, а от него с помощью билинейного преобразования к псевдочастоте. Наилучшее приближение ЛАЧХ не скорректированной САУ к желаемой достигается подбором соответствующего корректирующего устройства. Данная методика может быть сформулирована как задача аппроксимации желаемой частотной характеристики разомкнутой импульсной САУ в выбранных частотах по критерию минимума средних квадратов [75].
Частотный метод синтеза САУ достаточно широко используется для синтеза непрерывных и импульсных систем. Однако, сложность практической реализации особенно для импульсных систем, получаемых в результате синтеза передаточной функции корректирующих устройств, существенно снижает эффективность этого метода.
Методы исследования непрерывных и дискретных систем, основанные па частотном анализе и оперировании передаточными функциями, преобразовании Лапласа и z-преобразовании, играют значительную роль в теории управления вследствие их простоты и ясной связи с физическими процессами протекающими в системе.
А.В. Башариным [78]- [79] разработан метод синтеза нелинейных систем, в основе которого лежит использование явной схемы алгоритма прямого и инверсного численного интегрирования последовательного типа. Его достоинство заключается в возможности нахождения алгоритмов управления для широкого класса нелинейных систем с развитой топологией. В процессе синтеза выполняются инверсные преобразования уравнений, в результате которых осуществляется многократное дифференцирование переходных характеристик.
В работах Ю.А. Бычкова [80]- [82] рассматриваются задачи анализа и синтеза нелинейных систем аналитически-численным методом. Суть метода заключается в решении системы нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений в виде полиномов Тейлора на интервале, на котором рассчитываемую нелинейную систему можно представить кусочно-степенной моделью. Динамические процессы вычисляются во времени последовательно. В методе используется аппарат обобщенного преобразования Лапласа, позволяющий искать решение в классе обобщенных функций так, что динамическая задача в окрестности точки разложения искомых решений в ряды Тейлора сводится алгебраической, часто вообще к линейной. Наряду с достоинствами метода, сочетающего в себе положительные стороны аналитических и численных методов, существует и ряд существенных недостатков. Так, синтез структуры и параметров регулятора системы осуществляется последовательно на сравнительно малых интервалах времени, что может привести к многообразию форм одного и того же регулятора на все интервале управления, затрудняя его техническую реализацию.
Гибким методом, предназначенным для постановки задачи синтеза многомерных систем на ЭВМ, является использование уравнений состояний, позволяющих осуществить четкую формализацию вычислительных процедур. Исследованию непрерывных и дискретных систем управления методом пространства состояний посвящено значительное число работ [83], [20], [84]- [95].
В монографиях Ю.Т. Ту [88], В. Стрейца [90], Б.С. Куо [91] показано, что данный метод эффективен для синтеза многомерных систем, систем со сложными законами прерывания и с большим числом переменных, когда важно найти путь для систематического и планомерного решения задачи, что связано с значительными трудностями при использовании классических методов.
Так как точные методы синтеза нелинейных САУ неприменимы к сложным нелинейным системам высокого порядка, поэтому для решения задач синтеза оптимальных систем часто используются численные (приближенные) методы, в частности невязок, прогонки, сопряженных уравнений, последовательных приближений и другие[96]- [99].
Общей тенденцией развития численных методов оптимизации является сведение задач оптимизации к задачам нелинейного программирования, решение которых достаточно хорошо разработано.
Такой подход используется и в методе последовательной оптимизации В.М. Пономарева [24], где задача оптимизации управления сводится к задаче нелинейного программирования. Далее эта задача приводится к последовательности задач квадратичного программирования. Однако для этого необходимо выбрать метод определения коэффициентов аппроксимации функционала квадратичной формой, что затрудняет построение единого алгоритма.
В работах П.Д. Крутько [100][101] рассматривается возможность синтеза нелинейных САУ решением обратных задач динамики управляющих систем. В работе И.А. Орурка [102] рассматривается обращение на решение задачи синтеза нелинейных САУ прямого вариационного метода - метода наименьших квадратов. Л.А. Осиповым и И.А. Орурком показана возможность обращения метода Галеркина и метода ортогональных проекций (обобщенного метода Галеркина) на решение задач нелинейных САУ[103][104]. Параметры системы определяются из условия приближенного обеспечения заданных показателей качества САУ в переходном режиме работы. По сравнению с классическими методами, данные методы позволяют существенно уменьшить затраты машинного времени.
Приведенный выше обзор работ показывает, что применение точных аналитических методов ограничивается нелинейными системами невысокого порядка, а приближенные методы имеют ряд особенностей и недостатков, ограничивающих их применение для синтеза широкого класса нелинейных САУ высокого порядка.
Учитывая изложенное, разработка универсального машинно-ориентированного метода параметрического синтеза импульсных САУ высокого порядка с несколькими нелинейными элементами.
Целью диссертационной работы является разработка машинно-ориентированного метода параметрического синтеза импульсных САУ высокого порядка с несколькими нелинейными элементами при случайных возмущениях, требующего сравнительно небольших затрат машинного времени и обеспечивающего достаточную точность для практического использования получаемых с его помощью результатов.
1.2. Постановка задач исследования
В диссертации рассматриваются импульсные САУ высоких порядков, содержащие один или несколько нелинейных элементов, допускающих кусочно-линейную аппроксимацию при скачкообразном внешнем воздействии. Целью работы является разработка метода и алгоритма синтеза по заданным показателям качества нелинейных импульсных САУ.
Для достижения поставленной цели в диссертации рассматриваются следующие задачи.
1. Параметрический синтез нелинейных импульсных систем высокого порядка. Определяемые при синтезе параметры оператора управления, должны приближенно обеспечивать в системе требуемые показатели качества переходного режима при безусловном обеспечении устойчивости и грубости по варьируемым параметрам.
2. Решение примера синтеза нелинейной САУ, разработанным методом.
1.3. Выводы
По материалам раздела могут быть сделаны следующие выводы.
1. Проведен обзор литературы
по синтезу и оптимизации
2. На основании проведенного
обзора и анализа методов
2. Синтез импульсных систем
2.1. Нелинейные импульсные системы
Постановка задачи параметрического синтеза нелинейных импульсных САУ заключается в следующем. Задана структура системы, требуется определить параметры оператора управления из условия приближенного обеспечении заданных показателей качества переходного процесса при безусловном обеспечении абсолютной устойчивости системы.
На искомые параметры системы σк (k=1,m) наложены ограничения
где - минимальные значения параметров; - максимальные значения параметров.
Ограничения на грубость системы по варьируемым параметрам имеют вид
где – заданное значение грубости системы; – вариации параметров, в пределах которых обеспечивается абсолютная устойчивость системы.
Процедура синтеза импульсной САУ с несколькими нелинейными элементами методом ортогональных проекций в основном совпадает с процедурой синтеза САУ с одним нелинейным элементом, поэтому для простоты изложения рассмотрим сначала синтез импульсной системы с одним нелинейным элементом.
Дифференциальное уравнение движения нелинейной импульсной системы, структура которой приведена на рис. 2.1, а, может быть записано следующим образом:
где N1(D), M1(D) - полиномы оператора обобщенного дифференцирования D; у*(t)- импульсный сигнал выхода нелинейного элемента; g(t) - внешнее воздействие.
Система, структурная схема которой отображена на рис. 2.1, б описывается дифференциальным уравнением
где N1(D), M1(D), N2(D), M2(D) полиномы оператора D; g*(t) - импульсный сигнал внешнего воздействия.
Динамика системы (рис. 2.1, в) будет описываться дифференциальным уравнением вида
где θ *(t) — импульсный сигнал выходной координаты системы.
а)
б)
в)
Рис. 2.1 – Структурные схемы нелинейных импульсных систем
Как обобщение уравнений (2.3) —(2.5) динамика импульсной САУ с одним кусочно-линейным элементом или таким нелинейным элементом, характеристика которого допускает кусочно-линейную аппроксимацию, может быть описана нелинейным дифференциальным уравнением
(2.6)
где
полиномы оператора обобщенного дифференцирования D с вещественными постоянными коэффициентами степеней , , , , , соответственно; z(t) — координата системы, относительно которой ведется синтез; g(t)=H1(t)—скачкообразное внешнее воздействие; σк (k=1,m) - варьируемые (искомые) параметры системы.
Для решения задачи синтеза методом ортогональных проекций в соответствии с заданными показателями качества задаем желаемый переходный процесс в виде
амплитуда ,
где и коэффициенты при старших производных соответственно правой и левой частей уравнения (2.6)
и систему непрерывно дифференцируемых линейно независимых координатных функций в виде
(2.8)
Подставим z0(t) в уравнение движения системы (2.6) и образуем невязку
Ψ* (σк ,t) = Q(σк ,D)z0(t)+Q*(σк ,D)z0* (t)+ R(σк ,D) F[z0(t)]+R*(σк ,D)
F[z0*(t)]-S(σк ,D)H1(t)-S* (σк ,D)H1* (t). (2.9)
Нелинейную функцию F[z0(t)] представим в виде обобщенной функции
где ti – моменты переключения нелинейности; и – аналитические выражения нелинейной функции соответственно до и после момента переключения ti ; - аналитическое выражение нелинейной функции в момент времени t = +0; число переключений нелинейной функции, зависящее от характеристики нелинейного элемента F(z) и переходного процесса z(t).
Производная j-го порядка обобщенной функции (10) выражается зависимостью
где значения нелинейной функции и ее производных до
(j-1)-го порядка включительно в момент времени t=0
- значения производных порядка от и в момент времени t=ti справа и слева соответственно; дельта-функция и ее производные порядка
Кусочно-линейная аппроксимация характеристик нелинейных звеньев позволяет получить в виде обобщенных функций аналитические выражения выходной функции (2.10) нелинейного звена и ее производные (2.11), что существенно упрощает и унифицирует расчеты при синтезе нелинейных САУ различных структур и порядков методом ортогональных проекций.
По аналогии с (2.10) функцию F[z0*(t)] –
используя решетчатое представление непрерывного
сигнала
где n-е дискретное значение; задержанная импульсная функция, существующая при t=nT, запишем в виде обобщенной функции (рис. 2.2)
где η —число переключений нелинейной функции F[z0(t)]; —символ Е здесь означает целую часть числа; ti— моменты переключения нелинейной функции F[z0(t)];
n-е дискретное значение аналитического выражения нелинейной функции в момент времени t= +0 ; n-e дискретные значения аналитических функций F-i ( t) и F+i(t) соответственно до и после момента переключения ti.
Производная j-го порядка обобщенной функции (13) будет выражаться зависимостью
где (t—nT) — производные дельта-функции порядка j (j=1, 2, ...).
Рис. 2.2. – Аппроксимация характеристик нелинейных элементов системы прямолинейными отрезками
После подстановки в (2.9) выражений (2.10), (2.11), (2.13) и (2.14) ортогональность невязки координатным функциям (2.8) приводит к следующей системе алгебраических уравнений:
где интегралы Aqi, Bqi, Cqv и Aqi*, Cqv* для процесса (7) вычислены в приложениях 1 и 2. Запишем рекуррентные соотношения для вычисления интегралов B*qj:
где =f[F(z),z0*(t),ρq]получены для некоторых нелинейностей в приложении 3.
Так как безусловная ортогональность невязки координатным функциям (2.15) при выполнении ограничений на значения искомых параметров и абсолютную устойчивость синтезируемой системы может не выполняться, то задача синтеза параметров сводится к задаче нелинейного программирования с целевой функцией
и ограничением
(2.1), грубостью системы (2.2) и ограничением
на абсолютную устойчивость системы
Ввиду сложности ограничений (2.18) при минимизации функционала (2.17) целесообразно использовать методы случайного поиска.
При наличии в нелинейной импульсной системе экстраполятора динамика системы будет описываться дифференциальным уравнением
где -сигнал на выходе экстраполятора исследуемой координаты системы z(t); сигнал на выходе экстраполятора нелинейного элемента.
Для решения задачи синтеза аналогично изложенной выше процедуре задается желаемый переходный процесс z0(t) и образуется невязка, в которой нелинейная функция на выходе экстраполятора (в частности, экстраполятора нулевого порядка) представляется в виде (рис. 2.3)
а производная j-го порядка обобщенной функции (2.20) выражается зависимостью
Рис. 2.3. – Аппроксимация характеристик нелинейных элементов системы прямолинейными отрезками
Для определения параметров системы составляется функционал
