Системный подход при моделировании экономических объектов

ВАРИАНТ 2

Тема ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

 Системный  подход при моделировании экономических  объектов.

Классификация методов экономического моделирования и ЭМ моделей.

Основные  этапы экономико-математического  моделирования.

Понятие системы  давно стало часто употребимым  термином. Мы используем его всякий раз, когда необходимо описать какое-нибудь сложное явление или объект, обладающий многими составными частями различного назначения, связанными между собой общими законами функционирования. Мы говорим «система управления предприятием» и подразумеваем: совокупность лиц и подразделений административного аппарата управления (директор, главный инженер, плановый отдел, отдел труда и заработной платы, начальники производственных подразделений и т.п.); сочетание различных уровней и видов субординации между ними, обусловленное конкретными за дачами каждого подразделения; структуру информационных связей и взаимосвязей, необходимых для функционирования предприятием.

При экономико-математическом моделировании  понятие системы дается в более  формализованном виде, очищенным от содержательных характеристик элементов, отношений порядка и связей между ними. Рассмотрим логическую последовательность определений, из которых вытекает понятие системы.

Первым, самым  элементарным уровнем описания системы  является множество элементов или  разнообразие элементов множества. Под разнообразием элементов множества понимают совокупность каких-либо объектов, которые являются составными частями систему управления предприятием. Народное хозяйство тоже является системой и состоит из множества разнообразных элементов или объектов, таких, как отрасли, управляющие органы, органы материально-технического снабжения и т.п. Если все разнообразие элементов множества рассредоточить в определенном порядке, т.e. упорядочить по каким-либо признакам, например по решаемым задачам, подчиненности, ответственности и т.п., то получим упорядоченную совокупность элементов множества. Например, в системе народного хозяйства каждая отрасль имеет определенные задачи и цели. Следовательно, частью упорядоченной совокупности элементов системы народного хозяйства можно назвать описание отраслей в определенной последовательности.

Дополнение  упорядоченного множества элементов  совокупностью связей и взаимосвязей образует некоторую организацию. Таким  образом, под организацией понимают совокупность разнообразия элементов  множества, отношений порядка и  связей между элементами. Мы часто  используем понятия «научная организация (институт)», «строительная организация (трест)», «научная организации труда» и т.п., подразумевая совокупность подразделений, задач, их содержательный смысл и  определенную взаимосвязь всех элементов.

Системой  будем называть организацию, образующую целостное единство и имеющую  общую цель функционирования. Всякая реальная система обладает организацией, но не всякая организация есть система.  Организация становится системой только при наличии общей цели функционирования для всех ее элементов. Из этого определения  системы берет свое название системный  подход — метод исследований организаций, имеющих общую цель. Приведенные  ранее в качестве примеров организации (предприятие, народное хозяйство) относятся  к системам, поскольку имеют общие  цели функционирования для всех своих  элементов. Не является системой организация, состоящая из научно-исследовательского института и промышленного  предприятия  даже одной и той же отрасли  промышленности, если они не входят в научно-производственное объединение.

Понятие организации и системы относительны, так как элементы и связи между  ними всегда могут быть агрегированы в более крупные и расчленены на более мелкие. Поэтому в зависимости от степени дробления элементов и связей внутри каждой организации и системы в них всегда можно выделить другие организации и системы.

Если  в системе меняются отношения  порядка между элементами или  взаимосвязи, то говорят, что система  изменяет свою структуру, Например, на предприятии произошла реорганизация  аппарата управления, изменена ответственность  и подчиненность с целью сокращения числа промежуточных звеньев прохождения информации. Предприятие выпускает одну и ту же продукцию, цель функционирования предприятия осталась прежней. В этом случае налицо изменение структуры системы управления предприятием.

Таким образом, под структурой системы  будем понимать способ ее существования, фиксирующий вполне определенные приоритеты и взаимосвязи ее элементов. Для  каждой системы можно построить  несколько типов структур. Понятие  структуры можно использовать не только для системы, но и для организации. Структура организации — это  способ составления организации  из ее элементов.

Экономико-математическая модель представляет собой отображение  некоторых процессов, протекающих  в моделируемом объекте, при помощи математических символов, уравнений, теорем. Естественно,  всякая модель - всего  лишь упрощенный образ объекта исследования, наиболее полно отражающий те черты  объекта, которые  интересуют исследователя. Например, если цель моделирования производственного предприятия - совершенствование производственного процесса, то наиболее точного и адекватного отображения требуют процессы движения материалов, полуфабрикатов, готовых узлов изделия, последовательность их обработки, сборки, ритмы движения конвейеров, процессы взаимного согласовании производственных планов, календарные планы, графики и т.п. Обработка учетной информации, начисление заработной платы, расчет основных  показателей работы предприятия, а также информационные связи между подразделениями аппарата управления не имеют особого значения при моделировании непосредственно производственного процесса и, как правило, либо вообще отсутствуют в его модели,  либо присутствуют в виде констант или исходных данных.

Наоборот, если цель моделирования - совершенствование  аппарата управления предприятием, то основным объектом моделирования являются информационные потоки, существующие в аппарате управления, методика их обработки и преобразования, процессы принятия управленческих решений.

Таким образом, экономико-математическая модель объекта отображает наиболее полно  и точно только те черты и свойства объекта моделирования, которые  интересуют исследователя.

В  зависимости от природы объекта, целей, методов и  особенностей его  описания экономико-математические модели  могут быть классифицированы по целому ряду признаков. Такими признаками являются, например, степень огрубления структуры  объекта (модели агрегированные и детализированные); степень огрубления свойств, элементов и структурных отношений моделируемого объекта (модели детерминистские, вероятностные, модели с риском и неопределенностью); глубина охвата структурной организации объекта исследования (модели производственно-технологической структуры, модели структуры экономики, модели социальной структуры общества, модели окружающей среды и т.п.); тип изменения переменных (модели с непривычными дискретными переменными и модели смешанного типа) и др.

Детальная классификация экономико-математических моделей по всем возможным основаниям пока отсутствует. Это обусловлено  наличием разных точек зрения и подходов к экономико-математическому моделированию, отставанием философско-методологического  осмысления новой области знаний.

Для экономистов, финансистов и менеджеров особый интерес представляет классификация  моделей по характеру их использования

Принято деление моделей на четыре класса: модели без управления, оптимизационные, игровые и имитационные.

Экономико-математические модели без управления (дескриптивные модели) представляют собой в основном статистические модели (кривые роста, регрессионные линии), предназначенные для следования объектов путем установления количественных соотношений между их характеристиками или параметрами.

Модели  без управления применяют для  изучения фактически существующих процессов, без вмешательства в их течение. Область применения этих моделей  достаточно широка. К моделям без  управления принадлежат модели экономики  страны, расширенного производства, прогнозирования  рождаемости, численности населения  и т.д. Как правило, они дают общее  представление об объекте. Процессы в  моделируемом объекте отображаются в агрегированном виде и максимально  обобщены. Поэтому модели без управления не дают полного представления об объекте моделирования и пригодны для изучения только самых общих  изменений и тенденций.

Построения  достаточно хороших моделей без  управления требует большого количества специальной информации об объекте  моделирования. Поэтому для построения моделей такого типа нужно быть специалистом в той области, к которой принадлежит  данный объект или процесс моделирования. Одних математических знаний здесь, конечно, недостаточно.

Значимость  моделей без управления велика -  они позволяют изучать явления  в целом, комплексно и устанавливают  общие фундаментальные свойства объектов и процессов.

Важный  класс моделей образуют оптимизационные модели. Особенностью оптимизационных моделей является целенаправленность решения и явная оценка эффективности (качества) различных вариантов решения. В отличие от моделей без управления оптимизационные модели предполагают выявление цели управления и построение целевой функции. Целевая функция задает желаемые значения определенных параметров (свойств, выходов) системы или процесса, выраженные в математической форме.

Суть  получения оптимального решения  на модели заключается в следующем. Допустим, известна цель управления (целевая  функция), она может быть достигнута при различных значениях параметров данного объекта или различных вариантах решения и имеется возможность оценить эффективность (степень достижения цели) каждого варианта. Тогда получение оптимального решения означает выбор из множества возможных решений одного, обеспечивающего максимальную эффективность.

Среди оптимизационных задач выделяют следующие разновидности:

• Модели линейного программирования;
• Модели динамического программирования, в которых требуется отыскивать не одно, а несколько решений;
• Экстремальные модели, позволяющие найти экстремальное значение одного или нескольких параметров объекта;
• Гомеостатические модели, предназначенные для удержания параметров объекта в определенных пределах при наличии каких-либо возмущающих воздействий.

Случаи, когда для объекта  моделирования характерно наличие  противодействующих сил или неопределенности параметров, свойств или поведения, рассматриваются теорией игр. Теория игр – теория математических моделей принятия оптимальных решения в условиях конфликта или неопределенности. Под конфликтом следует понимать любое разногласие, возникающее вследствие несовпадения интересов.

Игры бывают бескоалиционными, когда целью каждого участника  является получение максимального  индивидуального выигрыша, и коалиционные, связанные с обеспечением максимального выигрыша для всей коалиции игроков. Если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого при любой стратегии, то игра называется антагонистической. Если число стратегий одного игрока конечно, то такая игра носит название матричной игры.

Применение оптимизационных  и игровых моделей в практических задачах встречает затруднение, когда речь заходит о моделировании «больших систем». К ним относятся социально-экономические системы, характеризуемые большим числом параметров, сложным переплетением интересов, неопределенной структурой и многочисленными целями. Объекты такого типа плохо поддаются формализации и математическому описанию на основе аппарата оптимизационных и игровых моделей. Сложность построения моделей «больших систем» заключается прежде всего в трудности постановки или формулирования задачи моделирования, которая требует комплексного системного описания наиболее важных сторон объекта.

В этой связи можно применить имитационное моделирование, представляющее собой систему, состоящую из совокупностей следующих элементов:

• имитационных моделей, отображающих определенные черты, свойства или части «большой системы» и позволяющих отвечать на вопрос: что будет при данных условиях и принятом решении;
• экспертов и экспертных процедур, необходимых для анализа и оценки различных решений, исключения заведомо слабых решений, построения «сценариев» развития событий, выработки целей и критериев;
• «языков» ЭВМ, на основе которых осуществляется двухсторонний контакт экспертов с ЭВМ. Эксперт задает исходные данные, меняет структуру моделей, формулирует вопросы ЭВМ при помощи специальных языков моделирования.

Имитационные  модели представляют собой довольно сложные программы для компьютера, описывающие поведение компонентов  системы и взаимодействие между  ними. Расчеты по этим программам при различных исходных данных позволяют имитировать динамические процессы, происходящие в реальной системе.

В результате исследования модели, являющейся аналогом реального объекта, получают количественные характеристики, отображающие его поведение при заданных условиях (исходных данных).

Изменяя исходные данные моделирования, можно  получить достоверную информацию о  поведении объекта в той или  иной ситуации. Эти данные впоследствии могут быть использованы для разработки теории поведения объекта.

Основные  этапы экономико-математического  моделирования.

Разработка  экономико-математических моделей  представляет собой сложный трудоемкий процесс, состоящий из нескольких этапов: постановки задачи, ее формализации, выбора метода моделирования, построения модели, процесса моделирования, анализа полученного  решения и уточнения модели, внедрения  модели (решения) в практику.

Постановка  задачи. На этом этапе осуществляется определение основной цели моделирования объекта, формулируется условия, при которых решается задача. Как правило, под целью моделирования понимают исследование одного или нескольких процессов (параметров) моделируемой системы. Данный этап начинается с изучения объекта моделирования, например предприятия, его производственно-хозяйственной деятельности. Анализируя деятельность объекта (предприятия), мы определяем направления движения потоков информации, их взаимодействие, основные характеристики.

Постановка  задачи – начальный и самый  важный этап построения модели, так как решения, цели, критерии, принятые на этой стадии, определяют впоследствии эффективность всей модели.

Постановка  задачи, безусловно, требует контакта с заказчиком модели, внимательного  изучения его точки зрения на проблему. Однако окончательную постановку задачи следует принять лишь после анализа  проблемы и тщательного исследования всех имеющихся альтернативных вариантов  решения.

Пренебрежительное отношение к содержательному  анализу проблемы или объекта  моделирования часто приводит к  неудачному выбору целевой функции  или критерия моделирования.

Постановка  задачи заканчивается подробным  содержательным описанием объекта  моделирования, определением целей  моделирования и критериев достижения цели.

Формализация  задачи. Под формализацией понимают введение в содержательное описание математических символов и обозначений, математическую запись цели моделирования.

На  стадии формализации обычно высказывают  только предположения о том, какой  метод моделирования можно будет  применить. Очень часто после  формализации модель существенно изменяется и может из линейной превратиться в нелинейную, статистическую или наоборот. Более того, возможны такие изменения, например, линейных моделей, которые требуют выбора определенного алгоритма решения задачи. Так линейная задача может стать целочисленной или параметрической.

Выбор метода моделирования. На практике чаще всего встречаются сложные задачи, которые часто не могут быть решены каким-либо одним методом и требует применения одновременно нескольких различных экономико-математических подходов. Выбор методов моделирования, а также их сопряжение представляет собой достаточно сложную проблему.

Иногда  одну и ту же задачу моделирования  можно решить различными методами: построить детерминированную модель, вероятностную или имитационную. В этом случае все возможные варианты модели следует тщательно проанализировать, определить желаемую точность решения, соизмерить ее с усилиями, требующими для реализации модели каждым конкретным способом. Если предполагаемая точность модели одинакова, следует остановится на простейшей из них.

Сложные модели обычно решают на ЭВМ, поэтому  при выборе метода моделирования  следует учитывать возможности  имеющейся ЭВМ, объем памяти, быстродействие, язык программирования, наличие квалифицированных  программистов. Желательно знать, сколько  часов машинного времени можно  будет использовать в день для  решения задачи. При выборе метода моделирования следует также  учитывать требуемый срок окончания  работы. Это часто играет определяющую роль при построении практической модели, особенно если ее «приемщик» малосведущ в вопросах моделирования.

Таким образом, от выбора метода моделирования  существенно зависят точность получаемого  решения, затраты времени на моделирование  и вообще возможность практической реализации модели.

Процесс построения модели заключается в окончательном установлении  ее структуры,  переменных,  точном определении целевых установок (целевых функций) и критериев достижении целей. Если на предыдущих этапах моделирования рассматривалось несколько вариантов моделей, отличающихся постановкой задачи, подходом к формализации или методом решения, то на данном этапе необходимо выбрать один окончательный вариант модели.

В дальнейшем этот вариант, согласованный  с заказчиком и утвержденный к  моделированию, передастся в отдел (группу) программирования.

Программирование  модели осуществляется на каком-либо алгоритмическом или машинном языке. Наилучшие результаты с точки зрения продолжительности программирования и быстроты отладки дают алгоритмические языки.

Программирование  модели входит в этап ее построения и должно  осуществляться в контакте с ее разработчиками. В процессе программирования возможны небольшие  изменения схемы моделирования, если таковые упрощают процесс программирования и не нарушают установленной схемы функционирования модели. Все эти изменения должны быть согласованы с разработчиком модели.

По  завершении стадии программирования модель, записанная в виде программы для  ЭВМ, проходит отладку и проверку.

Процесс моделирования предполагает наличие двух основных составляющих: полностью отлаженной программы модели и комплекта исходных данных. Вначале осуществляется экспериментальное моделирование. После получения первых результатов и накопления необходимого минимума экспериментальной информации, получаемой с использованием модели, проводится детальный анализ результатов моделирования. Такой анализ еще не является конечным и предназначен для проверки соответствия объекта моделирования и модели. Результаты анализа должна внимательно изучить экспертная комиссия, составленная из разработчиков модели и представителей заказчика.

Анализ  результатов экспериментального моделирования необходим для выявления основных параметров модели, каких-либо упущений, слабых сторон, проверки ее на точность. После такого анализа, как правило, возникает необходимость доработки модели, которая осуществляется с учетом замечаний экспертной комиссии разработчиками модели совместно с программистами.

После доработки вновь проводят экспериментальное моделирование, анализируют полученные результаты,   экспертная комиссия вновь дает заключение о качестве модели и возможности ее практического использования.

При положительном заключении экспертной комиссии осуществляется процесс моделирования  и внедрение модели.

Внедрение модели в практику. Практическое внедрение моделей или использование решений, полученных в результате моделирования, требует значительного внимания со стороны руководителя организации или его первого заместителя. Дело в том, что несмотря на значительные выгоды, которые обычно дают хорошо построенные модели, они сложны для понимания и поэтому не сразу признаются. Внедрение модели должно осуществляться по плану, систематически при постоянном контроле всех этапов внедрения.

ЗАДАЧА 2

В таблице 1 приведена прибыль предприятия  за ряд лет и факторы ее определяющие.

1. Построить многофакторную модель (линейного типа), описывающую зависимость прибыли  от изменения приведенных факторов.
2. Оценить адекватность модели, используя критерий Стьюдента
3. Выявить положительно и отрицательно влияющие на прибыль факторы.
4. Определить наиболее прибыльные для предприятия товарные группы
5. Используя полученную модель и прогнозируемые в таблице 2 показатели оптимизировать портфель заказов (производственную программу) предприятия учитывая ограничения, приведенные в таблице 3. Для решения применить симплекс-метод и возможности оптимизации пакета MS EXCEL
6. Изменяя объемы выпуска К1, К2, К3 найти минимально предельные (граничные) объемы выпуска при которых предприятие еще выполняет план роста прибыли.
7. Оценить чувствительность модели.

Решение

1)

Прибыль предприятия за последние 8 лет его функционирования приведена в Таблице1.

К1,К2,К3 - номенклатурный ряд продукции, выпускаемой предприятием за указанный период, который составляет производственную программу предприятия и изменяется от периода к периоду.

Производственная  программа предприятия формируется, в основном, на государственном заказе (Табл3), а также исходя из ограничений  на возможности предприятия по складированию  продукции и загрузке поточного  производства.

 Модель прибыли может быть представлена в линейном виде:

где а - коэффициенты модели,  х - влияющие факторы ( в нашем случае - уровень инфляции, средний размер заработной платы, стоимость энергоносителей и материалов, размер постоянных и переменных издержек).

Выделяем комбинацию ячеек глубиной 5 строк и шириной 10 (по количеству влияющих на прибыль факторов+1). В  нашем примере на Рис.1 это ячейки D17:M21. Вызываем встроенную функцию ЛИНЕЙН (Рис.1). Для выполнения встроенной функции линейного приближения нажимается одновременно комбинация клавиш SHIFT+CTRL+ENTER. Ячейки D17:M21заполнятся расчетными данными

Подписываем  значения коэффициентов (а0-а9) справа налево (см. Рис.2).

Рис.1.

Подставляя вычисленные значения а0-а9 в линейную модель, получаем моделируемую прибыль для конкретного предприятия, в которой х3, х4, х5 - комбинация товаров в производственной программе предприятия, существенно влияющая на прибыль (Рис.3).:

2)  Т.к. моделируемые значения прибыли  полностью совпадают с имеющимися  значениями, то t – статистики всех коэффициентов стремятся к бесконечности. Таким образом, все коэффициенты  модели  значимы и модель адекватна.

3) Положительно влияет на прибыль  количество произведенной продукции и стоимость материалов, отрицательно – постоянные и переменные издержки, стоимость энергоносителей.

4) Наиболее прибыльной товарной  группой для предприятия является  группа К1, т.к. соответствующий ей коэффициент в целевой функции максимален.

5) Составим математическую модель.

Применим  замену

Т.е.

И

Решим задачу симплекс - методом.

Составим  симплекс-таблицу

Применяя  симплекс метод, получим решение (последняя  симплекс-таблица)

Сделаем обратную замену переменных и получим

Используем  теперь возможности оптимизации  пакета MS EXCEL.

В результате выполнения процедуры поиска оптимального решения получаем оптимальную комбинацию партии товаров (К1= ,К2=1427900,К3=, максимизирующую прибыль (Рис.3).

Рис.3.

6)  План  прироста прибыли – 0,3, т.е.  планируемая прибыль равна 62890897,24*1,3=81758166,41, что больше максимально возможной  (найденной в предыдущем пункте) величины. Следовательно, ни при  каких значениях объемов выпуска  К1, К2, К3 требуемое значение мы получить не сможем.

7)        Проведем анализ модели на чувствительность.

На  основании последней симплекс-таблицы  можно получить следующую информацию:

1. Т.к. , то ресурс 2 (емкость складов) является дефицитным и его увеличение позволит улучшить оптимальный план. Ресурсы 1 (госзаказ на К3) и 3 (величина поточного производства) дефицитными не являются и их увеличение оптимального плана не изменит.
2. Предельный диапазон изменения ресурса 1 определяется системой уравнений:

9800+1*d≥0    d≥-9800

(1427750+)+0*d≥0    +/- бесконечность

3771800+0*d≥0    +/- бесконечность

d≥-9800

Предельный диапазон изменения  ресурса 2 определяется системой уравнений:

9800+0*d≥0    +/- бесконечность

(1427750+)+0,143*d≥0   d≥-9985314,685

3771800-0,143*d≥0    d≤26376223,776

-9985314,685≤d≤26376223,776