Системы научных и инженерных расчетов

СОДЕРЖАНИЕ

 

  1. Предисловие_________________________________________________2
  2. Введение в MATHCAD________________________________________3
  3. Графики_____________________________________________________6
  4. Векторы и матрицы___________________________________________9
  5. Операторы__________________________________________________11
  6. Встроенные функции_________________________________________13
  7. Решение уравнений__________________________________________14
  8. Символьные вычисления______________________________________15
  9. Программирование___________________________________________16
  10. Библиографический список____________________________________18

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эффективная работа инженера в настоящее время немыслима  без персональных компьютеров (ПК) и  развитых телекоммуникационных средств. Работа самого ПК обеспечивается операционной системой (например, MS-DOS, OS/2, Be OS, Linux, Windows и др.), а для решения прикладных задач используют специальные пакеты прикладных программ.

Естественно, квалифицированный пользователь, владеющий в достаточной степени одним из языков программирования (например, С, Pascal, Fortran, Lisp, Prolog и др.), может самостоятельно разработать и отладить отдельную программу или комплекс программ, позволяющий реализовать на ПК алгоритм его задачи. Причем в ряде случаев разработанная пользователем узкоспециализированная программа может работать существенно быстрее, чем программа из программного пакета. Однако такой подход требует, как правило, больших трудозатрат на программирование, отладку и тестирование каждой программы, значительно сокращая долю творческого труда по решению конкретной технической задачи.

Для сокращения времени программирования создано большое количество прикладных пакетов, области использования которых в значительной степени перекрываются. Для наиболее эффективного использования вычислительной техники необходимо правильно выбрать наилучший пакет программ на самой ранней стадии решения прикладной задачи.

Наиболее известные пакеты прикладных программ, используемые в  настоящее время при инженерных расчетах, - это Mathcad, Matlab, Derive, Maple V, Mathematica, VisSim известных зарубежных фирм и пакеты российских производителей СПО Динамика и CLASSIC (разработка СПГЭТУ).

При исследовании систем автоматического регулирования, вычислительных математических задач наиболее эффективно использование программной системы Matlab с обширными предметно-ориентированными библиотеками (toolbox) и инструментом визуального моделирования Simulink. Для визуального моделирования и моделирования совместно с реальной аппаратурой наиболее удобен VisSim, бесплатная академическая версия которого доступна в университете. Для анализа и синтеза линейных систем управления наиболее удобен CLASSIC.

Аналитические преобразования позволяют выполнять многие пакеты программ, например Mathcad, Matlab, Mathematica, но наиболее мощным средством для автоматизации аналитических расчетов считается пакет Maple V. Более простым специализированным пакетом для аналитических преобразований является Derive.

Все указанные выше пакеты поддерживаются и развиваются крупными фирмами. В интернете имеется достаточное количество страниц, на которых по названию пакета можно найти библиотеки свободно распространяемых программ, учебные пособия, дополнения и исправления к новым версиям программ (patch), ссылки на телеконференции.

 

ВВЕДЕНИЕ В MATHCAD

Mathcad чрезвычайно прост в использовании и легок в обучении. Большинство действий, необходимых для управления программой, являются интуитивно понятными, и на освоение основных ее возможностей человеку, работавшему ранее в среде Windows, требуется два - три часа.

Система Mathcad обладает следующими особенностями: везде используется привычный способ математической записи. Если существует общепринятый способ изображения уравнения, математической операции или графика, то Mathcad использует его; используется принцип "То, что Вы видите, это то, что Вы получаете" (What you see is what you get - WYSIWYG). Не существует никакой скрытой информации, все показывается на экране. Результат вывода на печать выглядит в точности так же, как на экране дисплея; простые выражения набираются на клавиатуре с использованием стандартных клавиш. Для специальных операторов (знаков сумм, интегралов, матриц и т. д.) предусмотрены специальные палитры; большое количество хорошо проверенных числовых алгоритмов значительно облегчает решение прикладных задач; помимо численных расчетов возможны символьные преобразования, например, такие как:

обладает широкими графическими возможностями для анализа результатов расчетов, позволяет создавать анимации; полностью поддерживает технологии OLE и DDE, позволяющие осуществлять связи с другими приложениями Windows; удобная справочная система. Отметив указателем оператор, функцию или сообщение об ошибке и нажав [F1], можно отобразить на экране поясняющую информацию из справочной системы. Справки содержат пошаговые разъяснения по конкретной теме и иллюстрирующие примеры; шпаргалки (Quick Sheets). Совокупность часто используемых процедур Mathcad оформлена в виде набора легкодоступных документов - шпаргалок. Для решения многих конкретных задач в шпаргалках можно найти подходящую заготовку и перетащить ее в рабочий документ. Аналогично можно использовать материалы, содержащиеся в электронных книгах; работает внутри Интернет, что позволяет использовать фрагменты расчетов, хранимые в огромных банках данных.

Окно Mathcad

Двойной щелчок на пиктограмме Mathcad вызывает появление рекламной заставки, а через некоторое время окна Mathcad, показанного на рис. 1.

Формулы могут размещаться  в любом месте рабочего документа. Чтобы подвести курсор к нужному  месту в настоящий момент в окне, можно использовать полосы прокрутки, как в любой программе под Windows. Подобно другим программам под Windows, Mathcad содержит полосу меню. Чтобы вызвать меню, достаточно щелкнуть по нему мышью или нажать клавишу [Alt] вместе с подчеркнутым символом.

Для использования кнопок палитр символов нужно установить курсор в выбранное место рабочего документа и щелкнуть левой кнопкой мыши. В рабочем документе появится небольшой крестик. Затем установить курсор на нужной кнопке палитр символов и снова нажать левую кнопку мыши и выбрать нужный элемент (знаки равенства, отношения, двух- или трехмерный график, интеграл, программную структуру и т. д.). Выбранный элемент появится на месте крестика в рабочем документе.

Ниже полосы кнопок палитр символов находятся кнопки панели инструментов, дублирующие основные команды меню. Если указатель установить на кнопке, появляется текст, описывающий действие кнопки. Прямо под панелью инструментов располагается панель шрифтов, позволяющая изменять размер и другие характеристики шрифтов в формулах и тексте. В целях экономии места на экране каждая из этих компонент может быть выведена на экран, либо скрыта с помощью соответствующей команды из меню Окно. На всех рисунках в этом учебном пособии показан только рабочий документ.

 

 

ГРАФИКИ

Mathcad может строить двумерные графики в декартовых и полярных координатах, картины линий уровня, изображать поверхности и выводить ряд других трехмерных графиков.

Рассмотрим создание простого двумерного графика, отображающего функцию, введенную в предыдущем разделе. Чтобы создать график в Mathcad, нужно щелкнуть мышью на том свободном месте, где его нужно разместить, и выбрать пункт График - X-Y Зависимость из меню Вставка. Появится пустой график с полями ввода для данных. В поле под серединой оси абсцисс нужно ввести имя переменной t. Теперь нужно щелкнуть в поле напротив середины оси ординат и ввести здесь x(t). Остальные поля предназначены для ввода границ на осях - максимального и минимального значений, откладываемых на оси. Если оставить их пустыми Mathcad автоматически заполнит их при создании графика. После щелчка вне графика Mathcad вычисляет и строит точки графика, как показано на рис. 2.

 

 

Рис. 2. Расчет и построение графика x(t)

Для изменения размера графика следует: щелкнуть мышью вне графической области; нажать левую кнопку мыши и переместить курсор на график до охвата графика пунктирной линией; отпустить кнопку мыши. График останется охваченным сплошным черным прямоугольником; переместить курсор к правому нижнему углу прямоугольника. Указатель превратится в двойную стрелку; переместить указатель при нажатой левой кнопке мыши, растягивая график в желаемом направлении; отпустить кнопку мыши и щелкнуть мышью вне графической области, чтобы отменить ее выделение.

Для придания графику желаемого вида его следует отформатировать. Форматирование осуществляется следующим образом:

дважды щелкнуть по графику, чтобы вызвать соответствующее диалоговое окно; щелкнуть мышью на закладке "Оси X-Y". Появится набор установок для каждой оси, позволяющий устанавливать равномерный или логарифмический масштаб, линии сетки и нумерацию линий сетки. Активизировать каждую установку можно, щелкнув левой кнопкой мыши по соответствующему квадратику. Об активизации установки свидетельствует появление в квадрате креста. Установка "Авто сетка" обеспечивает автоматический выбор числа интервалов сетки. Если квадратик не отмечен, можно установить число интервалов, набрав в поле "Число интервалов" число от 2 до 99; нажать "Применить", чтобы увидеть перерисованный график, не закрывая диалоговое окно; щелкнуть мышью на закладке "След". Щелкнуть мышью в прокручивающемся списке, чтобы выбрать нужную кривую (если их на графике несколько). Чтобы изменить имя кривой, напечатайте новое имя в текстовом поле под столбцом "Имя в легенде". Чтобы изменить маркер кривой, тип линии, ее толщину, цвет, вид графика, нажмите на стрелку около каждого соответствующего поля, чтобы увидеть раскрывающийся список свойств, и затем щелкните мышью на нужном месте; для подбора вида графика следует нажать "Применить", чтобы увидеть изменения, не закрывая диалоговое окно; щелкнуть на закладке "Метки". Щелкнуть на кнопке "Выше" или "Ниже", в зависимости от того, где нужно поместить заголовок. Mathcad отобразит заголовок, если последовательно нажать "Применить" и закрыть диалоговое окно нажатием "ОК". При необходимости до закрытия окна напечатать названия осей; дважды щелкните мышью на выбранном графике. Mathcad отображает диалоговое окно для форматирования графика в декартовых координатах. Щелкните мышью на закладке "Умолчание". Если хотите построить другие графики, подобные по оформлению данному, отметьте квадратик "Использовать для умолчания". Изменение значений по умолчанию воздействует только на новые графики, ранее созданные графики не затрагиваются.

 

ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ

Одиночное число в Mathcad называют скаляром. Столбец чисел называется вектором, а прямоугольная таблица чисел - матрицей. Общий термин для вектора или матрицы - массив.

Чтобы создать массив нужно  выполнить следующее: щелкните на свободном  месте рабочего документа; выберите команду Матрица из меню Вставка  или нажмите [Ctrl+M]. Появится диалоговое окно, предлагающее ввести количество строк и столбцов.

Дискретные аргументы

Дискретный аргумент - переменная, которая принимает ряд значений при каждом ее использовании. Дискретные аргументы значительно расширяют  возможности Mathcad, позволяя выполнять многократные вычисления или циклы с повторяющимися вычислениями.

В инженерной практике дискретные аргументы часто используют, чтобы  выполнить многократные вычисления нескольких переменных одновременно.

 

ОПЕРАТОРЫ

Существует два способа  ввода операторов. Простейший из них  заключается в использовании  специальных палитр. Чтобы открыть  палитры операторов, используются кнопки на полосе инструментов, расположенной  ниже меню. Каждая кнопка открывает  палитру операторов, сгруппированных  по общему назначению. При задержке указателя мыши над кнопкой появляется надпись, указывающая назначение этой кнопки. Чтобы вставить оператор из палитры, укажите мышью, где нужно поместить оператор, затем нажмите на кнопку необходимого оператора на палитре.

Вообще говоря, палитры  операторов работают в математических областях. Чтобы использовать палитру  операторов в текстовой области, необходимо щелкнуть мышью в тексте и выбрать команду Математическая Область из меню Вставка. Так будет  создана математическая область  в тексте, в которую можно вставлять  операторы, используя палитры. Другой способ ввода операторов связан с  использованием комбинаций клавиш. Этот способ быстрее, но требует запоминать соответствующие комбинации.

 

ВСТРОЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Чтобы просмотреть список всех встроенных функций, доступных  в вашей версии Mathcad, и их описание, выберите команду Функция из меню Вставка.

Для вставки функции в  рабочий документ дважды щелкните на имени функции, которую необходимо вставить. Имя функции можно набирать на клавиатуре. При этом нужно помнить, что они чувствительны к регистру и должны набираться с использованием прописных или строчных букв так, как это показано в приводимых таблицах.

Следует отметить, что существуют Пакеты Функций Mathcad, приспособленные к специфической области применения. Описания этих функций содержатся в самом Пакете Функций. Другим источником дополнительных функций являются Электронные Книги. Функции и описания к ним можно непосредственно копировать в рабочий документ. И, наконец, можно создавать собственные встроенные функции. Для этого нужно иметь 32-разрядный компилятор языка С.

Виды встроенных функций:

  1. Тригонометрические функции;
  2. Логарифмические и показательные функции;
  3. Специальные функции и функции усечения;
  4. Функции распределения;
  5. Функции Фурье;
  6. Интерполяция и функции предсказания;
  7. Функция регрессии.

 

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Mathcad позволяет решать уравнения и системы уравнений. Максимальное число уравнений и неизвестных в системе равно пятидесяти.

Численное решение уравнения  с одним неизвестным

Для решения одного уравнения  с одним неизвестным используется функция root(f(z), z), которая возвращает значение z, при котором выражения или функция f(z) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр. Рассмотрим пример, как найти а - решение уравнения ex = x3. Предварительно нужно присвоить числовое значение второму аргументу функции root. Это значение становится первым приближением к искомому корню. Функция root использует для поиска корня метод секущей. Когда значение выражения f(z) при очередном приближении становится меньше значения встроенной переменной TOL, корень считается найденным, и функция root возвращает результат.

Примеры уравнений в MATHCAD:

  1. Уравнение с одним неизвестным;
  2. Нахождение корней полинома;
  3. Решение систем уравнений;
  4. Решение дифференциальных уравнений…

 

 

 

СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

До сих пор описывалось, как Mathcad вычисляет выражения численно. При этом он возвращает после знака равенства одно или несколько чисел. Когда же Mathcad использует символьную математику, результатом вычисления выражения является другое выражение. При этом желаемая форма этого второго выражения может быть задана. Первоначальное выражение можно разложить на множители, проинтегрировать его, разложить в ряд и так далее. Основной целью изучения символьных вычислений является управление формой представления результата.

Значительно большие возможности управления результатами символьных преобразований обеспечивает меню Символы.

В Mathcad дополнительные удобства обеспечивает специальное меню, открываемое кнопкой палитры символов. В том и в другом случае появляется возможность добавлять ключевые слова (команды). При использовании меню Символы необходимо заключить все, что требуется преобразовать в выделяющую рамку и выбрать соответствующую команду из меню Символы. Имеется важное различие между символьным преобразованием, использующим меню Символы, и преобразованием, использующим символьный знак равенства или меню палитры символов. Результаты с правой стороны от символьного знака равенства вычисляются заново всякий раз при внесении изменений в рабочий документ. Результат, полученный с использованием меню Символы, автоматически модифицироваться не будет.

В меню Символы имеется  команда Стиль Вычислений, позволяющая  выводить результат под исходным выражением или справа от него, а  также показывать или скрывать комментарии. Рекомендуется воспользоваться  этой командой при первом обращении  к меню Символы.

Различия в выполнении одних и тех же операций в символьных и численных режимах объясняется  тем, что символьная математика - не развитие пакета Mathcad, а приобретение фирмой MathSoft программного модуля у фирмы Maple.

Если необходимо проводить  сложные символьные преобразования, выходящие за рамки возможностей Mathcad, то следует воспользоваться пакетом Maple или Derive.

Вообще говоря, символьный и численный процессоры Mathcad не связаны друг с другом. Из-за этого можно заниматься сложными численными вычислениями, не зная, что можно свести их к эквивалентной, но намного более простой проблеме разумным использованием символьного процессора.

 

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Под программой в Mathcad понимают выражение, состоящее из других выражений и функций. Программы в Mathcad содержат конструкции, во многом подобные программным конструкциям языков программирования: условные передачи управления, операторы циклов, области видимости переменных, использование подпрограмм и рекурсии. Алгоритмические конструкции в ряде Mathcad вводятся не традиционным набором через клавиатуру ключевых слов if, while, for, break, otherwise, on error, continue, return, а нажатием одной из кнопок панели программирования, вызываемой, в свою очередь, нажатием кнопки на панели Математика.

Нажатие одной из этих кнопок создает на дисплее заготовку  соответствующей программной конструкции. Рассмотрим их на примерах.

Для вычисления функции:

f (x, w) = lg(x/w),

можно использовать ее определение  в виде одной строки, и программа  в этом случае не нужна, но составление  программы позволяет показать, как  нужно отделять друг от друга операторы, и как использовать локальный оператор присваивания

Введите левую часть определения  функции f(x, w) и оператор присваивания ":=". Теперь нужно открыть панель программирования и нажать кнопку Add Line или на клавиатуре клавишу ]. Появится вертикальная линия с двумя полями ввода для занесения операторов, образующих программу. В верхнем поле ввода введите [z], нажмите кнопку на панели программирования и введите [x/w]. Последнее поле ввода предназначено для задания возвращаемого функцией значения lg(z).

Mathcad предлагает два вида циклов, отличающихся по способу определения условия завершения цикла. Если цикл должен завершиться по выполнении некоторого условия, причем момент выполнения этого условия заранее неизвестен, то целесообразно использовать цикл типа while. После нажатия кнопки while на экране появляется указанное слово с правым и нижним пустыми прямоугольниками. В правый прямоугольник записывается булево выражение (переменная), управляющее циклом, а в нижний прямоугольник - тело цикла, операторы, которые будут выполняться, пока булево выражение возвращает "Да". Если в цикле цикла более одного оператора, то нужно воспользоваться кнопкой Add Line.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дьяконов В. Mathcad 2000: учебный курс. СПб.: Питер, 2001. 592 с.

2. Кудрявцев Е. М. Mathcad 2000 Pro. М.: ДМК Пресс, 2001. 576 с.

3. ГурскийД. А. Вычисления в MathCAD. Минск: Новое знание, 2003. 814 с.

4. Плис А. И., Сливина Н. А. MathCAD: математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. М.: Финансы и статисти¬ка, 1999. 656 с.

5. Херхагер М., Партолль Х. MathCAD 2000. Полное руководство. Киев: Ирина, 2000. 416 с.

 


Системы научных и инженерных расчетов