Системы счисления

1.  О системах счисления.

n1. Немного из истории.

  Еще в самые отдаленные времена людям  приходилось считать различные  предметы, с которыми они встречались  в повседневной жизни. Вначале букв не было. Мысли и слова выражались при помощи рисунков на скалах, на стенах пещер, на камнях. Для запоминания  чисел люди пользовались зарубками  на деревьях и на палках и узлами на веревках (на рисунке на титульном  листе изображен счетовод-казначей, один из коренных жителей Южной Америки (инки), у которого в руках веревочный прибор для узелкового счета). Это и была простейшая и самая древняя – так называемая, унарная система. В ней для записи любых чисел используется всего один символ – палочка, узелок, камушек.  Используя именно эту систему счисления, вас научили считать (сами того не осознавая, этим кодом пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст). 

   Но с развитием производства и  культуры, когда появилась нужда  записывать большие числа, стало  не удобно пользоваться черточками. Тогда  стали вводить особые знаки для  отдельных чисел. Так, например, в  Древнем Египте около 4000 лет назад  для обозначения чисел использовали иероглифы, показанные на рисунке.

  Единица изображена колом, десяток – как  бы парой рук, сотня – свернутым  пальмовым листом, тысяча – цветком  лотоса, символом изобилия, сто тысяч  – лягушкой, так как лягушек  было очень много во время разлива  Нила.

   Так, например число 5736 записывалось следующим  образом 

  В старину на Руси широко применялись  системы счисления, напоминающие систему  Древнего Египта. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради. Например, 1232 руб. 24 коп. изображались так как показано на рисунке. Вот текст закона об этих так называемых ясачных знаках: «Чтобы на каждой квитанции кроме изложения словами, было показано особыми знаками число внесенных рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счетом сего числа могли быть уверены в справедливости показания.  Употребляемые в квитанции знаки означают:

   Звезда – тысяча рублей

  Колесо  – сто рублей

  Квадрат – десять рублей

  Х  - рубль

  | - копейку. 
 

  «Дабы неможно было сделать здесь никаких  прибавлений, все таковые знаки  очерчивать кругом прямыми линиями». 
 
 

• запишите  свой год рождения при помощи иероглифов Древнего Египта.
• запишите с помощью старинной русской системы счисления сумму 2357 руб. 53 коп

n2. Римская система.

  До  наших дней сохранилась известная  вам римская система счисления. В этой системе цифры обозначаются буквами латинского алфавита: 

  I = 1                 V = 5              X = 10                L = 50

  C = 100            D = 500          M = 1000      

  Для записи промежуточных чисел используется правило:  меньшие знаки, поставленные справа от большего, но не более трех одинаковых подряд, прибавляются к  его значению, а меньшие знаки, поставленный слева от большего, вычитаются из него, при этом невозможно ставить  более одного меньшего слева от большего. 

  Пример1. Записать число 444 в римской системе.

           Решение:

                   444 = 400 + 40 + 4 = СD + XL + IV = CDXLIV 
 

  Пример2. Записать число 2986 в римской системе счисления.

           Решение:

                   2986 = 2000 + 900 + 80 + 6 = MM + CM + LXXX + VI = MMCMLXXXVI.

  Пример3. Записать римское число CMLXIII в десятичной системе.

           Решение:

                   CMLXIII=(1000-100) + (50+10) + 3 = 963 

  Римская система счисления сегодня используется в основном для обозначения знаменательных и юбилейных дат, обозначения веков, разделов и глав в книгах. 
 

1. Запишите числа  в римской системе:

• 2007
• 448
• 1954

2. Запишите числа  в десятичной системе:

• MCDXXIII
• LXXIX
• MMCXLI

n3. Развернутая форма  числа

  Из  курса математики вам известно, что  цифры десятичной записи числа –  это просто коэффициенты его представления  в виде суммы степеней числа –  основания системы счисления:

      25076 = 2*10000 + 5*1000 + 0*100 + 7*10 + 6*1 = 2*10⁴ +5*10³ + 0*10² +7*10¹ +6*10⁰ 

  При переводе чисел из десятичной системы  счисления в римскую мы и воспользовались  этим правилом (444 = 400 + 40 + 4;  2986 = 2000 + 900 + 80 + 6).

  При записи чисел значение каждой цифры  зависит от ее положения. Место для  цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе разрядностью. На самом деле числа можно записывать как сумму степеней не только числа 10, но и любого другого натурального числа, большего 1. 

  Определение. Развернутой формой записи числа называется такая запись:а₄а₃а₂а₁а₀ = а₄*q⁴ + a₃*q³ + a₂*q² + a₁*q¹ + a₀*q⁰ , где а₄,а₃,а₂,а₁,а₀ –цифры числа, q –основание степени. 
 

  Пример4. Получить развернутую форму числа 7512410.

         Решение:

          а₄ = 7, а₃ = 5, а₂ =1 ,а₁ =2, а₀ =4,      q=10 

         4 3 2 1 0

          75 124₁₀ = 7*10⁴ + 5*10³ + 1*10² + 2*10¹ + 4*10⁰. 
 

  Пример5. Получить развернутую форму числа 1123.

          Решение:  

          2 1 0

           112₃ = 1*3² + 1*3¹ +2*3⁰

 1. Запишите в развернутом  виде числа:

• А₈=143511,62
• А₂=100111
• А₁₀=143,511
• А₁₆=1А3,5С1

 2. Запишите в свернутой  форме число:

• 9*10¹+1*10⁰+5*10^-1+3*10^-2
• A*16²+1*16¹+C*16⁰+3*16^-1

n4. Основные понятия.

  Мы  увидели, что есть множество способов представления чисел. В любом  случае число изображается группой  символов. Будем называть такие символы  цифрами, символические изображения чисел – кодами, а правила получения кодов – системами счисления (кодирования). 

Определение. Система счисления – это совокупность правил для обозначения и наименования чисел. 

  Все рассмотренные нами нечисловые системы  счисления являются непозиционными.  

Определение. Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

  Итак, в непозиционных системах счисления  позиция, которую цифра занимает в записи числа, роли не играет. Так, например, римская система счисления непозиционная. В числах XI и IX “вес” обоих цифр одинаков, несмотря на их месторасположение.  

  Система счисления, которой мы пользуемся в  настоящее время, носит название десятичной, так как она основана на счете десятками.  Исключительная роль десятка восходит к древнейшим временам и, несомненно, связана со счетом по пальцам на двух руках. Для записи любых чисел в ней используется десять всем хорошо известных цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Поэтому ее и называют десятичной.  
 

Определение.  Основанием системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления. 
 

  Наименование  системы счисления соответствует  ее основанию (например, десятичной называется система счисления так потому, что ее основание равно 10, т.е. используется десять цифр). 

  Давайте рассмотрим  число 55. Из двух написанных рядом цифр левая выражает число, в десять раз большее, чем правая. Таким образом, для написания цифр в десятичной системе имеет значение не только сама цифра, но и ее место, позиция. Именно поэтому такую систему счисления называют позиционной. 
 

Определение. Система счисления называется позиционной, если значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа. 

  Итак, мы сказали, что в позиционных  системах счислениях имеет значение позиция, которую цифра занимает в записи числа. Так, запись 23 означает, что это число можно составить  из 3 единиц и 2 десятков. Если мы поменяем позиции цифр, то получим совсем другое число – 32. Это число содержит 3 десятка и 2 единицы. «Вес» двойки уменьшился в десять раз, а «вес» тройки в десять раз возрос.

N5. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

  В каждой системе счисления цифры  упорядочены в соответствии с  их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и  т.д.  

  Продвижением  цифры называют замену её следующей по величине.  

  Продвинуть  цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

  Целые числа в любой системе счисления  порождаются с помощью Правила  счета:  

  Для образования целого числа, следующего за любым данным целым  числом, нужно продвинуть самую правую цифру  числа; если какая-либо цифра после продвижения  стала нулем, то нужно  продвинуть цифру, стоящую  слева от неё.  

  Применяя  это правило, запишем первые несколько  целых чисел   

  В десятичной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,19,20,21,…   

  в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;   

  в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.   

  В шестнадцатеричной  системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F, 10,11,12,…,1А,1В,..  

  1. Запишите первые 35 чисел троичной  системы 

  2. Запишите первые 25 чисел двоичной  системы

N6. Системы счисления, используемые в компьютерах.

  Двоичная  система счисления. Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0.

  Благодаря таким особенностям двоичная система  стала стандартом при построении ЭВМ. 

  Восьмеричная  система счисления. Для записи чисел используется восемь  чисел  0,1,2,3,4,5,6,7. 

  Шестнадцатеричная система счисления. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе необходимо располагать уже шестнадцатью символами, используемыми как цифры. В качестве первых десяти используются те же, что и в десятичной системе. Для обозначения остальных шести цифр (в десятичной они соответствуют числам 10,11,12,13,14,15) используются буквы латинского алфавита – A,B,C,D,E,F. 
 

     Таблица соответствия систем счисления. 

Перевод чисел  из одной системы  счисления в другую.

n1. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другую.

Правило перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1. Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных  на q  до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.
2. Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления q – записать в обратном порядке (снизу вверх).

Пример1. Перевести 26₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:  
 
 
 

Ответ: 26₁₀=110102 
 
 

Пример2. Перевести 19₁₀ в троичную систему счисления. А₁₀→А₃

Решение:

Ответ: 19₁₀=201₃ 

Пример3. Перевести 241₁₀ в восьмеричную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:  
 
 

Ответ: 241₁₀=361₈ 

Пример4. Перевести 3627₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления. А₁₀→А₁₆

Решение:  

Т.к. в шестнадцатеричной системе  счисления 14 – Е, а 11 – В, то получаем ответ Е2В₁₆. 

Ответ: 3627₁₀=E2B₁₆

 Переведите  числа из десятичной системы счисления  в другую.

 а) 245₁₀→А2                        д) 404₁₀→А8

 б) 1987₁₀→А₂                      е) 673₁₀→А₁₆

 в) 161₁₀→А₃                             ж) 45348₁₀→А₁₆

 г) 333₁₀→А₅                           з) 444₁₀→А₇

n2. Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в другую.

Правило перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1. Последовательно выполнять умножение исходного числа и получаемых дробные части  на q  до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не достигнем требуемую точность.
2. Полученные при таком умножении целые части - числа в системе счисления q – записать в прямом порядке (сверху вниз).

Пример1. Перевести 0,5625₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:          
 
 
 
 
 
 

                                          Ответ: 0,5625₁₀=0,1001₂ 
 
 

Пример2. Перевести 0,5625₁₀ восьмеричную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:          
 
 
 

  Ответ: 0,5625₁₀=0,52₈ 
 

Пример3. Перевести 0,665₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:          

Процесс умножения  может продолжаться до бесконечности. Тогда  его прерывают  на некотором шаге, когда считают, что  получена требуемая  точность представления  числа

Ответ: 0,665₁₀=0,10001₂

 Переведите  числа из десятичной системы счисления  в другую.

 а) 0, 65625₁₀→А₁₆

 б) 0,7₁₀→А₂ с точностью до 4 знаков после запятой

 в) 0,4125₁₀→А₈  с точностью до 6 знаков 
 
 

n3. Перевод произвольных чисел из десятичной системы счисления в другую.

  Перевод произвольных чисел, то есть чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляют в два этапа. Отдельно переводится  целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа  целая часть отделяется от дробной  запятой. 

Пример1. Перевести 26,25₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:

переводим целую часть            переводим дробную часть

Ответ: 26,25₁₀=11010,01₂

Пример2. Перевести 123,5625₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:

переводим целую часть            переводим дробную часть

Ответ: 123,5625₁₀=173,44₈ 
 

 Перевести из десятичной системы  счисления следующие  числа:

 а) 173,5625₁₀→А₂

 б) 404,65625₁₀→А₁₆

 в) 125,25₁₀→А₈

n4. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную.

Правило Для того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления. 

Пример1. Перевести число 110110₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       5  4  3  2  1 0

      1 1 0 1 1 0 ₂ = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰ =32+16+4+2=54₁₀

Ответ: 110110₂ = 54₁₀ 

Пример2. Перевести число 101,01₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       2  1  0 -1 -2

      1 0 1,0 1  ₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2 =4+0+1+0+0,25=5,25₁₀

Ответ: 101,01₂ = 5,25₁₀

Пример3. Перевести число 122100₃ из троичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       4  3  2 1  0

1 2 2 0 1 ₃=1*3⁴ +  2*3³ + 2*3² + 0*3¹ + 1*3⁰ = 81+54+18+1 = 154₁₀

Ответ: 12201₃ = 154₁₀ 

Пример4. Перевести число 163₇ из семеричной системы счисления в десятичную.

Решение:     163₇ = 1*7² + 6*7¹ + 3*7⁰  = 49+42+3= 94₁₀.

Ответ: 163₇ = 94_10. 

Пример5. Перевести число 234,6₈ из восьмеричной системы в десятичную:

         Решение:

       2  1  0 -1

2 3 4, 6₈ = 2*8² +3*8¹ + 4*8⁰ +6*8^-1= 2*64+3*8+4+6*0,125= 128+24+4+0,75 =156,75₁₀

Ответ: 234,6₈ = 156,75_10. 

Пример6. Перевести число 2Е₁₆ в десятичную систему счисления.

        Решение:

       2  1

2 Е₁₆ = 2*16¹ +14*16⁰ = 32 +14 = 46₁₀.

Ответ: 2Е₁₆ = 46_10. 

 Перевести из различных систем счисления в десятичную:

 а) 111100111₂                   г) 367,2₈