Ситуационный анализ в экономике

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Федеральное государственное  образовательное учреждение высшего  профессионального образования  «Сибирский федеральный университет»

Институт экономики, управления и природопользования

Контрольная работа № 1

Ситуационный  анализ

в экономике

по дисциплине «Исследование  операций в экономике»

(вариант 20)

Красноярск, 2010

Условия ситуации № 20

Фабрика по производству игрушек выпускает  кукол и мишек. Для их производства используются поролон и ткань. Нормы  расхода этих материалов, а также  цены готовой продукции приведены  в таблице.

Таблица 1. Исходные условия

При этом установлено, что суточный спрос на кукол не превышает 300 шт.

Задача № 1 и ее решение

Определить план производства фабрики игрушек, обеспечивающий максимальный доход от реализации.

Решение. Построим математическую модель. Поскольку требуется определить объемы производства, то переменными в модели являются: 
  — объем производства кукол в сутки, шт.;

 — объем производства мишек в сутки, шт.

При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход производственных факторов (ткани  и поролона), а также ограничения по спросу на готовую продукцию (на кукол). Это приводит к следующим ограничениям:

1. (I ограничение, по ткани)
2. (II ограничение, по поролону)
3. (III ограничение, по спросу на первое изделие)

Объемы производства продукции не могут принимать отрицательные значения, то есть . Цель нашего анализа заключается в максимизации дохода, количественным выражением которого является выражение: . Итак, имеем задачу линейного программирования:

Решение можно получить графическим  способом (рис. 1). 

Рис. 1. Графическое изображение  пространства решений задачи

Искомым пространством решений, в  котором одновременно выполняются все ограничения модели, является многоугольник ABCDE. Для того чтобы найти оптимальное решение, следует перемещать прямую, характеризующую доход (прямая F на рис. 1), в направлении возрастания целевой функции до тех пор, пока она не сместится в область недопустимых решений. На рис. 1 показано, что оптимальным решениям соответствует отрезок BC, причем точки B и C также соответствуют оптимальному решению. Точка B служит точкой пересечения прямой первого ограничения (по ткани), а также прямой . Определим координаты точки B:

Решение указанной системы уравнений  дает . Полученное решение означает, что фабрика может¹ в сутки производить по 0 кукол и 600 мишек для достижения максимальной выручки.

Точка C служит точкой пересечения прямых первого ограничения (по ткани) и второго ограничения (по поролону). Определим координаты точки C:

Решение указанной системы уравнений дает . Полученное решение означает, что фабрика также может производить в сутки по 150 кукол и 500 мишек для достижения все той же максимальной выручки. Доход в обоих случаях равен:

 руб.

Но, как было отмечено выше, не только точки B и C являются «оптимальными», но и точки, которые лежат на отрезке BC. Однако не все точки нам подходят (то есть мы имеем не бесконечное количество оптимальных планов производства), так как должно выполняться условие: (где N — множество всех натуральных чисел), так как мы не можем производить дробное число кукол или мишек.

Для нахождения всех решений, принадлежащих отрезку BC, которые также дадут максимально возможный доход (180 000 руб.) напишем и запустим программу на языке программирования Basic (рис. 2).

Option Explicit

Private Sub Command1_Click()

    Dim i As Integer

    Dim j_av As Double

    Dim j_min As Integer

    Dim j As Integer

    Dim res As Integer

    Cls

    ' i = x1

    ' j = x2

    For i = 0 To 150

        j_av = (900 / 1.5) - (i / 1.5)

        j_min = j_av - 5

        For j = j_min To (j_min + 10)

            If i >= 0 And j >= 0 Then ' план не может быть отрицательным

                If ((1 * i) + (1.5 * j)) <= 900 Then ' первое ограничение

                    If ((2 * i) + (1 * j)) <= 800 Then ' второе ограничение

                        If (1 * i) <= 300 Then ' третье ограничение

                            res = ((2 * i) + (3 * j)) ' вычисляем полученный доход

                            ' (в 100 раз меньше для удобства  подсчета)

                            If res = 1800 Then ' если он равен полученному  максимальному,

                                               ' то выводим еще одно оптимальное решение

                                Print "x1 = " & i & "; ", "x2 = " & j & ";"

                            End If

                        End If

                    End If

                End If

            End If

        Next

    Next

End Sub

Рис. 2. Листинг программы, производящей поиск других решений, также претендующих на оптимальность.

В результате работы программы  получены и другие возможные решения, которые также обеспечивают нам максимальный доход при заданных ограничениях. Приведем их все в таблице 2 (с учетом уже найденных двух оптимальных планов производства, которые в таблице 2 обозначены как № 1 и № 51 соответственно порядку их рассмотрения выше).

Таблица 2. 51 возможный оптимальный план производства

Все вышеперечисленные планы производства (51 план) обеспечивают для фабрики максимальный доход от реализации руб., а также удовлетворяют наложенным ограничениям по суточному запасу ткани и поролона и по суточному спросу на куклы.

Окончательное решение по плану  производства, выбирая из предложенных и указанных в таблице 51 плана производства, управленческий персонал делает на основе дополнительной информации. Любой из них (из 51 указанного плана производств) обеспечит максимальный доход от реализации и будет подходящим под ограничения, и соответственно, будет оптимальным.

Задача № 2 и ее решение

Если спрос на кукол  возрастет до 350 шт. в сутки, как  изменится решение и почему?

Решение. Данная задача относится к Первой² задаче постоптимального анализа решения линейных моделей с использованием двойственных оценок: на сколько сократить или увеличить запасы ресурсов.

Ресурс «спрос на куклы» является недефицитным (то есть имеющимся в  некотором избытке). Ему соответствует несвязывающее (неактивное) ограничение. При анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений относятся предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение; а также предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденного ранее оптимального значения целевой функции.

Увеличивать³ количество недефицитного ресурса не имеет смысла, так как ограничение, соответствующее данному ресурсу, и так является неактивным, а при увеличении активным оно не станет.

Ограничение III (спрос на куклы) является избыточным, поэтому суточный спрос на куклы может быть уменьшен, и в определенных случаях это не отразится на оптимальном решении.

Допустим, что управленческим персоналом было выбрано определенное оптимальное решение из возможных, которое на графике представлено точкой , что означает, что фабрика производит кукол и мишек. При этом точка S⁴ в том числе может быть и точкой B, и точкой C. (Точку S может характеризовать только один из 51 возможного плана производства, представленного в таблице 2.)

Графически сокращение суточного спроса на куклы изображается как перемещение прямой ограничения (III) до точки S (чтобы это уменьшение не повлияло на оптимальность ранее полученного решения) параллельно самой себе. Оптимальный план по-прежнему определяется точкой S с координатами и . По графику мы видим, что максимально спрос на куклы может быть снижен до точки B. Подставим координаты точки B в ограничение (III). Получим . Таким образом, спрос на куклы снизится на кукол. Величина дохода в этом случае не меняется.

Соответственно, ресурс «спрос на куклы» может варьироваться в пределах (то есть, грубо говоря, быть любым, даже совсем отсутствовать), в любом случае будет получен максимальный доход от реализации произведенной продукции. Однако план производства при этом, возможно, должен будет быть измененным (то есть фабрика должна будет перейти с одного оптимального при начальных условиях плана производства на другой оптимальный план производства).

Если мы хотим сказать точно, до какого предела может сократиться «спрос на куклы», чтобы при этом любой из 51 оптимального плана производства не перестал существовать, мы должны снижать спрос на куклы только до точки C. Подставим координаты точки C в ограничение (III). Получим . Таким образом, спрос на куклы снизится на кукол. Величина дохода в этом случае также не меняется и остается максимальной. Соответственно, ресурс «спрос на куклы» может варьироваться в пределах , чтобы был получен максимальный доход, и любой из 51 оптимального плана производства остался осуществимым.

Так как  ⁵, то можно сделать вывод, что при возрастании до 350 шт. суточного спроса на куклы решение не изменится, оптимальным останется прежний план производства, максимальный доход будет также прежним (180 тыс. руб.).

Задача № 3 и ее решение

Если суточный запас поролона увеличить  до 900 кг, как изменится решение?

Решение. Ресурс «поролон» является дефицитным⁶ ресурсом, так как с ним связано связывающее (активное) ограничение (II).

Обычно при рассмотрении дефицитных ресурсов ставится вопрос: на сколько  можно увеличить запас некоторого дефицитного ресурса для улучшения  полученного оптимального значения целевой функции F?

Однако, в нашем случае первое ограничение  параллельно целевой функции  F. Мы столкнулись с этим обычно не встречающимся явлением и при решении Задачи № 2, и в данном случае это также заставит нас изменить стандартный вопрос при рассмотрении изменения запаса дефицитного ресурса на следующий вопрос: на сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для увеличения количества оптимальный решений (при этом оптимальное (максимальное) значение целевой функции останется прежним)?

Изменение суточного запаса поролона графически будет выражаться в перемещении прямой ограничения (II) параллельно самой себе до точки M (дальнейшее увеличение запаса нецелесообразно, так как тогда ресурс станет недефицитным). В результате перемещения прямой ограничения (II) пространство допустимых решений увеличится на треугольник CMD, одному из оптимальных решений при этом соответствует точка M. Таким образом, запас поролона не следует увеличить сверх того предела, когда соответствующее ограничение (II) становится избыточным и уже не влияет ни на пространство решений, ни на хотя бы одно из оптимальных решений. Предельный уровень изменения запаса поролона определяется следующим образом: устанавливаются координаты точки M (она образована пересечением прямыми ограничений I и III). В результаты получаем . Затем путем подстановки координат точки M в левую часть ограничения определяется максимально допустимый суточный запас поролона: кг. Таким образом, возможно, целесообразно увеличить суточный запас поролона на кг. Величина прироста дохода от реализации в этом случае, однако, составит 0 руб., но зато увеличится набор возможных оптимальных решений на 50 новых оптимальных решений. Их список определен с помощью измененной программы и представлен в таблице 3.

Таблица 3. 50 возможных дополнительных оптимальных планов производства

Ресурс поролон вообще можно  рассматривать как недефицитный ресурс в том случае, если, допустим, будет выбран план производства, соответствующий  точке B (в сутки производится 0 кукол и 600 мишек). В данном случае ограничение II можно сдвигать до точки B, то есть минимально допустимый суточный запас поролона может равняться кг поролона. В данном случае максимально возможный доход останется прежним (180 тыс. руб.), однако мы сможем сократить запас ресурса поролон до 600 кг на фабрике, что особенно может быть полезно в тех ситуациях, когда излишки ресурса могут быть использованы для других целей.

Соответственно, если суточный запас  ресурса поролон будет увеличен до 900 кг, все прежние оптимальные решения останутся оптимальными, добавится еще 50 возможных оптимальных решений, но в любом из них выручка будет составлять 180 000 рублей, то есть в данном случае прямой необходимости переходить к другому решению не будет.

Задача № 4 и ее решение

В каких пределах может колебаться цена одной куклы, чтобы оптимальный  план производства остался прежним?

Решение. Изменение коэффициентов целевой функции оказывает влияние на наклон прямой, которая представляет эту функцию в системе координат. В нашем случае коэффициентами как раз являются цены, в том числе цена на одну куклу. Определение конкретной угловой точки⁷ пространство допустимых решений в качестве оптимума зависит, прежде всего, от наклона этой прямой. Это означает, что вариации коэффициентов целевой функции могут привести к изменениям совокупности связывающих ограничений и, следовательно, статуса того или иного ресурса. Мы должны ответить на вопрос: каков диапазон изменения того или иного коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменения оптимального решения. Обозначим доход от реализации одной куклы и одного мишки как и соответственно. Тогда целевая функция будет выглядеть следующим образом: .

При увеличении прямая, представляющая целевую функцию F, вращается вокруг точки начала координат по часовой стрелке. Если же уменьшается, эта прямая вращается в противоположном направлении, против часовой стрелки.

Оптимальное решение в курсе  ИСО было определено как допустимый план, при котором целевая функция  задачи линейного программирования принимает свое минимальное (максимальное)⁸ значение. В нашем случае мы говорим о группе таких планов, которая формирует решение.

Соответственно, при ответе на вопрос мы можем говорить о двух критических  ситуациях:

1. когда набор оптимальных решений станет иным,
2. когда любое оптимальное решение из набора перестанет быть оптимальным.

Обозначим данные критические ситуации как К-1 и К-2.

Сначала начнем работу с ситуацией К-1. Набор оптимальных решений (51 оптимальный план производства) сохранится до тех пор, пока наклон прямой останется прежним. Как только цена одной куклы изменится хотя бы на одну копейку, оптимальным решением будет являться либо только точка B (при уменьшении цены; фабрика должна производить 0 кукол и 600 мишек), либо только точка C (при увеличении цены; фабрика должна производить 150 кукол и 500 мишек). Доход в первом случае останется неизменным, во втором — увеличится.

Теперь перейдем к рассмотрению ситуации К-2. При уменьшении цены точка B будет оставаться оптимальной до тех пор, пока наклон прямой не выйдет за предел, определяемый наклоном прямой (так как иначе подразумевается, что цена одной куклы стала отрицательной, чего быть не может)⁹. Когда наклон прямой F станет равен наклону прямой , оптимальной точкой все еще будет оставаться B.

При увеличении цены точка C будет оставаться оптимальной до тех пор, пока наклон прямой не выйдет за предел, определяемый наклоном прямой ограничения (II). Если наклон прямой F станет равным наклону прямой для ограничения (II), будем иметь альтернативные оптимальные угловые точки C и D (и часть точек на отрезке CD). Как только наклон прямой F выйдет за пределы указанного интервала при дальнейшем увеличении цены одной куклы, получим некоторое новое оптимальное решение (точку D).

Вычислим границы интервалов возможных колебаний  , при которых любая точка, принадлежащая отрезку BC, остается оптимальной. Зафиксируем . Крайние значения коэффициента можно определить из равенства наклонов прямой целевой функции F и прямой и прямой ограничения (II). Тангенс угла наклона для прямой F равен , а для прямых и (II), соответственно, 0 и 2.

Минимальное значение определяем из равенства , тогда минимальное значение рублей, а максимальное значение находим из равенства , тогда максимальное значения рублей. (С учетом, что .) Таким образом, интервал изменения , в котором хотя бы одна из точек, принадлежащих отрезку BC, остается оптимальным решением, определяется неравенством .

Соответственно, можно сделать  следующие выводы:

1) весь набор всевозможных оптимальных  планов производства в совокупности (всего 51 план) останется в целом оптимальным только в том случае, если цена одной куклы не изменится, то есть будет составлять 200 руб. за единицу при прочих равных;

2) оптимальный план производства, при котором на фабрике производится 0 кукол и 600 мишек в сутки, который обеспечивает максимальный доход в 180 тыс. руб., а также соответствующий точке B на графике, останется оптимальным в том случае, если цена одной куклы будет колебаться в пределах руб. (от 0 до 200 руб.) при прочих равных (доход не будет варьироваться в связи с тем, что планируется производить в сутки 0 кукол, только стоимость которых как раз и меняется);

3) оптимальный план производства, при котором на фабрике производится 150 кукол и 500 мишек в сутки, который обеспечивает определенный максимальный доход (минимум в 180 тыс. руб. при цене одной куклы, равной 200 руб.; максимум в 240 тыс. руб. при цене одной куклы, равной 600 руб.), а также соответствующий точке C на графике, останется оптимальным в том случае, если цена одной куклы будет колебаться в пределах руб. (от 200 до 600 руб.) при прочих равных;

4) соответственно, как уже было  обозначено в первом пункте, любой  другой оптимальный план производства (№№ 2-50 из таблицы 2), обеспечивающий максимальный доход в 180 тыс. руб., останется оптимальным только в том случае, если цена одной куклы не изменится (составит 200 руб.) при прочих равных.

Краткие ответы на поставленные вопросы

Вопрос № 1

Определить план производства фабрики игрушек, обеспечивающий максимальный доход от реализации.

Максимальный возможный доход  от реализации при обозначенных в  задаче условиях составляет 180 тыс. руб., ему соответствует 51 оптимальный  план производства (см. таблицу 2). Перечислим два возможных из них:

1. на фабрике в сутки необходимо производить 0 кукол и 600 мишек.
2. на фабрике в сутки необходимо производить 150 кукол и 500 мишек.

Вышеперечисленные два плана и  оставшиеся 49 оптимальных планов производства обеспечивают максимальный доход, составляющий 180 000 руб.

Вопрос № 2

Если спрос на кукол  возрастет до 350 шт. в сутки, как  изменится решение и почему?

Найденное решение ситуации не изменится, то есть найденные 51 план производства останутся оптимальными. Это происходит в связи с тем, что ресурс «спрос на куклы» является недефицитным, и при его увеличении решение не изменяется (более подробно см. выше).

Вопрос № 3

Если суточный запас  поролона увеличить до 900 кг, как  изменится решение?

Если суточный запас ресурса поролон будет увеличен до 900 кг, все прежние оптимальные решения (51 ед.) останутся оптимальными, добавится еще 50 возможных оптимальных решений, но в любом из них выручка будет составлять 180 000 рублей, то есть в данном случае прямой необходимости переходить к другому решению не будет.

Вопрос № 4

В каких пределах может  колебаться цена одной куклы, чтобы  оптимальный план производства остался  прежним?

1) Весь набор всевозможных оптимальных  планов производства в совокупности (всего 51 план) останется в целом оптимальным только в том случае, если цена одной куклы не изменится, то есть будет составлять 200 руб. за единицу при прочих равных;

2) оптимальный план производства, при котором на фабрике производится 0 кукол и 600 мишек в сутки, который обеспечивает максимальный доход в 180 тыс. руб., а также соответствующий точке B на графике, останется оптимальным в том случае, если цена одной куклы будет колебаться в пределах руб. (от 0 до 200 руб.) при прочих равных (доход не будет варьироваться в связи с тем, что планируется производить в сутки 0 кукол, только стоимость которых как раз и меняется);

3) оптимальный план производства, при котором на фабрике производится 150 кукол и 500 мишек в сутки,  который обеспечивает определенный максимальный доход (минимум в 180 тыс. руб. при цене одной куклы, равной 200 руб.; максимум в 240 тыс. руб. при цене одной куклы, равной 600 руб.), а также соответствующий точке C на графике, останется оптимальным в том случае, если цена одной куклы будет колебаться в пределах руб. (от 200 до 600 руб.) при прочих равных;

4) соответственно, как уже было  обозначено в первом пункте, любой  другой оптимальный план производства (№№ 2-50 из таблицы 2), обеспечивающий  максимальный доход в 180 тыс. руб., останется оптимальным только в том случае, если цена одной куклы не изменится (составит 200 руб.) при прочих равных.

Содержание

¹ Слово «может» вместо слова «должна производить для достижения максимального дохода» здесь и далее употребляется по той причине, что мы имеем группу оптимальных планов производства, соответственно, фабрика может выбирать, какой из оптимальных планов производства данного решения ей выбрать

² Название приведено в соответствии с курсом лекций по дисциплине, изложенных в [1] (Зандер Е. В. Исследование операций в экономике: Учеб. Пособие / Краснояр. гос. ун-т; Е. В. Зандер, В. П. Злодеев, Л. И. Мошкович, А. Р. Семёнова. — Красноярск, 2005. — 294 с.)

³ В данном случае под словами «увеличить» и «уменьшить» ресурс имеется в виду то, что ресурс «спрос» «увеличится» или «уменьшиться» на рынке, так как предприятию невозможно напрямую «увеличить» или «уменьшить» такой ресурс, как «спрос».

⁴ Данное здесь определение точки S, как принадлежащей отрезку BC и имеющей натуральные координаты, будем использовать и далее в работе.

⁵ Очевидно, что условия задачи № 2 к ситуации были конкретно обозначены: что произойдет с ситуацией, если спрос увеличиться. Рассмотрение другой части вопроса о том, что будет, если спрос уменьшиться, была произведено для того, чтобы более полно описать ситуацию.

⁶ Опять же, однозначно определить ресурс поролон как дефицитный нельзя, так как если оптимальным решением будет выбрана точка B (производится в сутки 0 кукол и 600 мишек), то ресурс «поролон» не будет дефицитным (тоже самое произойдет и при выборе любой другой точки, кроме точки C). Однако, так как ограничение (II) по ресурсу поролон пересекает одну из точек, которая в том числе является оптимальным решением, будем называть ресурс поролон «дефицитным».

⁷ Не обязательно только одной, и не обязательно угловой, как в том числе в ситуации № 20.

⁸ В источнике [1] сказано только о минимальном значении, но подразумеваем, что имеется в виду максимальное значение в части задач; это зависит от условий задачи.