Сложение, умножение матриц

Дана матрица В =

[ 3  4 -3]

[-5  6  5]

[ 4 -9 -3]

. Найдем матрицу C=В^T - транспонированную матрицу В

c_{1 1} = a_{1 1} = 3;

c_{2 1} = a_{1 2} = 4;

c_{3 1} = a_{1 3} = -3;

c_{1 2} = a_{2 1} = -5;

c_{2 2} = a_{2 2} = 6;

c_{3 2} = a_{2 3} = 5;

c_{1 3} = a_{3 1} = 4;

c_{2 3} = a_{3 2} = -9;

c_{3 3} = a_{3 3} = -3;

Итак, C =

[ 3 -5  4]

[ 4  6 -9]

[-3  5 -3]

Дана матрица A =

[ 3  6  5]

[ 5  9  7]

[ 6 12 13]

. Найдем матрицу C=A^T - транспонированную матрицу A

c_{1 1} = a_{1 1} = 3;

c_{2 1} = a_{1 2} = 6;

c_{3 1} = a_{1 3} = 5;

c_{1 2} = a_{2 1} = 5;

c_{2 2} = a_{2 2} = 9;

c_{3 2} = a_{2 3} = 7;

c_{1 3} = a_{3 1} = 6;

c_{2 3} = a_{3 2} = 12;

c_{3 3} = a_{3 3} = 13;

Итак, C =

[ 3  5  6]

[ 6  9 12]

[ 5  7 13]

Даны матрицы A =

[3,  6,  5]

[5,  9,  7]

[6, 12, 13]

и B^Т =

[ 3, -5,  4]

[ 4,  6, -9]

[-3,  5, -3]

. Найдем произведение A*B^Т

Рассмотрим  произведение A*B. Число столбцов в первом сомножителе A равен 3, число строк во втором сомножителе B тоже равно 3. Числа совпали, следовательно, произведение определено.

Результатом умножения  будет матрица C = A*B, у которой строк столько, сколько их в первом сомножителе, то есть 3, а столбцов столько, сколько их во втором сомножителе, то есть 3. Итак, матрицы C имеет размеры 3 x 3

Элемент c_{1 1}. В его вычислении участвует 1-ая строка [[3 6 5]] первого сомножителя A и 1--й столбец

[[3]

[4]

[-3]]

второго сомножителя B:

c_{1 1} = (3) * (3) + (6) * (4) + (5) * (-3) = 18;

Элемент c_{1 2}. В его вычислении участвует 1-ая строка [[3 6 5]] первого сомножителя A и 2--й столбец

[[-5]

[6]

[5]]

второго сомножителя B:

c_{1 2} = (3) * (-5) + (6) * (6) + (5) * (5) = 46;

Элемент c_{1 3}. В его вычислении участвует 1-ая строка [[3 6 5]] первого сомножителя A и 3--й столбец

[[4]

[-9]

[-3]]

второго сомножителя B:

c_{1 3} = (3) * (4) + (6) * (-9) + (5) * (-3) = -57;

Элемент c_{2 1}. В его вычислении участвует 2-ая строка [[5 9 7]] первого сомножителя A и 1--й столбец

[[3]

[4]

[-3]]

второго сомножителя B:

c_{2 1} = (5) * (3) + (9) * (4) + (7) * (-3) = 30;

Элемент c_{2 2}. В его вычислении участвует 2-ая строка [[5 9 7]] первого сомножителя A и 2--й столбец

[[-5]

[6]

[5]]

второго сомножителя B:

c_{2 2} = (5) * (-5) + (9) * (6) + (7) * (5) = 64;

Элемент c_{2 3}. В его вычислении участвует 2-ая строка [[5 9 7]] первого сомножителя A и 3--й столбец

[[4]

[-9]

[-3]]

второго сомножителя B:

c_{2 3} = (5) * (4) + (9) * (-9) + (7) * (-3) = -82;

Элемент c_{3 1}. В его вычислении участвует 3-ая строка [[6 12 13]] первого сомножителя A и 1--й столбец

[[3]

[4]

[-3]]

второго сомножителя B:

c_{3 1} = (6) * (3) + (12) * (4) + (13) * (-3) = 27;

Элемент c_{3 2}. В его вычислении участвует 3-ая строка [[6 12 13]] первого сомножителя A и 2--й столбец

[[-5]

[6]

[5]]

второго сомножителя B:

c_{3 2} = (6) * (-5) + (12) * (6) + (13) * (5) = 107;

Элемент c_{3 3}. В его вычислении участвует 3-ая строка [[6 12 13]] первого сомножителя A и 3--й столбец

[[4]

[-9]

[-3]]

второго сомножителя B:

c_{3 3} = (6) * (4) + (12) * (-9) + (13) * (-3) = -123;

Итак, C =

[18,  46,  -57]

[30,  64,  -82]

[27, 107, -123]

Даны матрицы A^Т =

[3, 5,  6]

[6, 9, 12]

[5, 7, 13]

и B =

[ 3,  4, -3]

[-5,  6,  5]

[ 4, -9, -3]

. Найдем произведение A*B

Рассмотрим  произведение A*B. Число столбцов в первом сомножителе A равен 3, число строк во втором сомножителе B тоже равно 3. Числа совпали, следовательно, произведение определено.

Результатом умножения  будет матрица C = A*B, у которой строк столько, сколько их в первом сомножителе, то есть 3, а столбцов столько, сколько их во втором сомножителе, то есть 3. Итак, матрицы C имеет размеры 3 x 3

Элемент c_{1 1}. В его вычислении участвует 1-ая строка [[3 5 6]] первого сомножителя A и 1--й столбец

[[3]

[-5]

[4]]

второго сомножителя B:

c_{1 1} = (3) * (3) + (5) * (-5) + (6) * (4) = 8;

Элемент c_{1 2}. В его вычислении участвует 1-ая строка [[3 5 6]] первого сомножителя A и 2--й столбец

[[4]

[6]

[-9]]

второго сомножителя B:

c_{1 2} = (3) * (4) + (5) * (6) + (6) * (-9) = -12;

Элемент c_{1 3}. В его вычислении участвует 1-ая строка [[3 5 6]] первого сомножителя A и 3--й столбец

[[-3]

[5]

[-3]]

второго сомножителя B:

c_{1 3} = (3) * (-3) + (5) * (5) + (6) * (-3) = -2;

Элемент c_{2 1}. В его вычислении участвует 2-ая строка [[6 9 12]] первого сомножителя A и 1--й столбец

[[3]

[-5]

[4]]

второго сомножителя B:

c_{2 1} = (6) * (3) + (9) * (-5) + (12) * (4) = 21;

Элемент c_{2 2}. В его вычислении участвует 2-ая строка [[6 9 12]] первого сомножителя A и 2--й столбец

[[4]

[6]

[-9]]

второго сомножителя B:

c_{2 2} = (6) * (4) + (9) * (6) + (12) * (-9) = -30;

Элемент c_{2 3}. В его вычислении участвует 2-ая строка [[6 9 12]] первого сомножителя A и 3--й столбец

[[-3]

[5]

[-3]]

второго сомножителя B:

c_{2 3} = (6) * (-3) + (9) * (5) + (12) * (-3) = -9;

Элемент c_{3 1}. В его вычислении участвует 3-ая строка [[5 7 13]] первого сомножителя A и 1--й столбец

[[3]

[-5]

[4]]

второго сомножителя B:

c_{3 1} = (5) * (3) + (7) * (-5) + (13) * (4) = 32;

Элемент c_{3 2}. В его вычислении участвует 3-ая строка [[5 7 13]] первого сомножителя A и 2--й столбец

[[4]

[6]

[-9]]

второго сомножителя B:

c_{3 2} = (5) * (4) + (7) * (6) + (13) * (-9) = -55;

Элемент c_{3 3}. В его вычислении участвует 3-ая строка [[5 7 13]] первого сомножителя A и 3--й столбец

[[-3]

[5]

[-3]]

второго сомножителя B:

c_{3 3} = (5) * (-3) + (7) * (5) + (13) * (-3) = -19;

Итак, C =

[ 8, -12,  -2]

[21, -30,  -9]

[32, -55, -19]

Даны матрицы A =

[  18   46  -57]

[  30   64  -82]

[  27  107 -123]

и B =

[  8 -12  -2]

[ 21 -30  -9]

[ 32 -55 -19]

Найдем cумму A+B

Результатом сложения будет матрица C = A+B, размеры которой 3 x 3

Элемент c_{1 1} = a_{1 1} + b_{1 1} = (18) + (8) = 26

Элемент c_{1 2} = a_{1 2} + b_{1 2} = (46) + (-12) = 34

Элемент c_{1 3} = a_{1 3} + b_{1 3} = (-57) + (-2) = -59

Элемент c_{2 1} = a_{2 1} + b_{2 1} = (30) + (21) = 51

Элемент c_{2 2} = a_{2 2} + b_{2 2} = (64) + (-30) = 34

Элемент c_{2 3} = a_{2 3} + b_{2 3} = (-82) + (-9) = -91

Элемент c_{3 1} = a_{3 1} + b_{3 1} = (27) + (32) = 59

Элемент c_{3 2} = a_{3 2} + b_{3 2} = (107) + (-55) = 52

Элемент c_{3 3} = a_{3 3} + b_{3 3} = (-123) + (-19) = -142

Итак, C =

[  26   34  -59]

[  51   34  -91]

[  59   52 -142]

Найдем det A.

det A =

5

9

-2

=

2

-3

4

-5

-7

2

К элементам  строки 1 прибавляем соответствующие  элементы строки 3 .

=

0

2

0

=

2

-3

4

-5

-7

2

Разлагаем определитель по элементам первой строки.

= ( -2) * ( 2 * 2 - 4 * ( -5) ) =

= ( -2) * 24

= -48

Дана матрица А=

[1, 2,  3]

[2, 3,  7]

[3, 5, 11]

[1, 2,  3]

[2, 3,  7]

[3, 5, 11]

=

+ (1) *(

[3,  7]

[5, 11]

)

- (2) *(

[2,  7]

[3, 11]

)

+ (3) *(

[2, 3]

[3, 5]

)

[3,  7]

[5, 11]

=

+ (3) *(

[11]

)

- (7) *(

[5]

)

[2,  7]

[3, 11]

=

+ (2) *(

[11]

)

- (7) *(

[3]

)

[2, 3]

[3, 5]

=

+ (2) *(

[5]

)

- (3) *(

[3]

)

получаем det(A) = det(

[1, 2,  3]

[2, 3,  7]

[3, 5, 11]

) =

[1, 2,  3]

[2, 3,  7]

[3, 5, 11]

= -1

Given the number q = 5 - степень

и матрица В =

[ 1  2  3]

[ 2  3  7]

[ 3  5 11]

. Произведем  возведение в степень C = В^q = В⁵

Elevates to the level 2:

(В) ² =

[ 14  23  50]

[ 29  48 104]

[ 46  76 165]

=

[ 1  2  3]

[ 2  3  7]

[ 3  5 11]

*

[ 1  2  3]

[ 2  3  7]

[ 3  5 11]

Elevates to the level 3:

(В) ³ =

[ 210  347  753]

[ 437  722 1567]

[ 693 1145 2485]

=

[ 14  23  50]

[ 29  48 104]

[ 46 76 165]

*

[ 1  2  3]

[ 2  3  7]

[ 3  5 11]

Elevates to the level 4:

(В) ⁴ =

[ 3163  5226 11342]

[ 6582 10875 23602]

[10438 17246 37429]

=

[ 210  347  753]

[ 437  722 1567]

[ 693 1145 2485]

*

[ 1  2  3]

[ 2  3  7]

[ 3  5 11]

Elevates to the level 5:

(В) ⁵ =

[ 47641  78714 170833]

[ 99138 163799 355493]

[157217 259759 563755]

=

[ 3163  5226 11342]

[ 6582 10875 23602]

[10438 17246 37429]

*

[ 1  2  3]

[ 2  3  7]

[ 3  5 11]

В⁵ =

[ 47641  78714 170833]

[ 99138 163799 355493]

[157217 259759 563755]

det A =

1

2

3

=

2

3

7

3

5

11

Разлагаем определитель по элементам первой строки.

Введем  обозначения элементов ( a _{i j} ) нашего определителя A . Первый индекс ( i ), всегда обозначает номер строки, где располагается элемент. Второй индекс ( j ) - номер столбца, где располагается элемент.

det A =

a₁₁

a₁₂

a₁₃

a₂₁

a₂₂

a₂₃

a₃₁

a₃₂

a₃₃

Формула разложения определителя A по строке 1, выглядит следующим образом :

det A = ( -1 ) ¹⁺¹ * a₁₁ * M₁₁ + ( -1 ) ¹⁺² * a₁₂ * M₁₂ + ( -1 ) ¹⁺³ * a₁₃ * M₁₃ ,

где M _{1 i} - миноры соответствующих элементов строки 1.

Подставим элементы строки 1 в формулу разложения. Очевидно, если элемент равен нулю, то его минор находить нет никакой необходимости, но для наглядности процесса разложения, мы их рассмотрим.

det A = ( -1 ) ¹⁺¹ * 1 * M₁₁ + ( -1 ) ¹⁺² * 2 * M₁₂ + ( -1 ) ¹⁺³ * 3 * M₁₃

·  Рассмотрим, как образуется минор M₁₁ элемента a₁₁ = 1 .  
В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 1 .

·  Рассмотрим, как образуется минор M₁₂ элемента a₁₂ = 2 .  
В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 2 .

·  Рассмотрим, как образуется минор M₁₃ элемента a₁₃ = 3 .  
В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 3 .

Подставим в формулу разложения рассмотренные  миноры.

= 1* ( 3 * 11 - 7 * 5 ) +

( -2) * ( 2 * 11 - 7 * 3 ) +

3* ( 2 * 5 - 3 * 3 ) =

= 1 * ( -2) +

( -2) * 1 +

3 * 1

= -1

det A =

1

2

3

=

2

3

7

3

5

11

Разлагаем определитель по элементам первого столбца.

Введем  обозначения элементов ( a _{i j} ) нашего определителя A . Первый индекс ( i ), всегда обозначает номер строки, где располагается элемент. Второй индекс ( j ) - номер столбца, где располагается элемент.

det A =

a₁₁

a₁₂

a₁₃

a₂₁

a₂₂

a₂₃

a₃₁

a₃₂

a₃₃

Формула разложения определителя A по столбцу 1, выглядит следующим образом :

det A = ( -1 ) ¹⁺¹ * a₁₁ * M₁₁ + ( -1 ) ²⁺¹ * a₂₁ * M₂₁ + ( -1 ) ³⁺¹ * a₃₁ * M₃₁ ,

где M _{i 1} - миноры соответствующих элементов столбца 1.

Подставим элементы столбца 1 в формулу разложения. Очевидно, если элемент равен нулю, то его минор находить нет никакой  необходимости, но для наглядности  процесса разложения, мы их рассмотрим.

det A = ( -1 ) ¹⁺¹ * 1 * M₁₁ + ( -1 ) ²⁺¹ * 2 * M₂₁ + ( -1 ) ³⁺¹ * 3 * M₃₁

·  Рассмотрим, как образуется минор M₁₁ элемента a₁₁ = 1 .  
В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 1 .

·  Рассмотрим, как образуется минор M₂₁ элемента a₂₁ = 2 .  
В нашем определителе вычеркиваем строку 2 и столбец 1 .