Современная портфельная теория

Министерство  сельского хозяйства  РФ

Вятская государственная  сельскохозяйственная академия

  Экономический факультет

кафедра _____________

№ зачетной книжки 08163/ф 
 
 
 
 
 

Контрольная работа

По  дисциплине «Теоретические основы финансового  менеджмента»

Тема: «Современная портфельная теория» 
 

Выполнила: Заболотских К.В.

Форма обучения: заочная  сокращенная 

Специальность: финансы и кредит

5 курс

Проверила: Снегирева Г.Д. 
 
 
 

Киров 2011г.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..3

1.Выбор наилучшего портфеля и диверсификации………………………...4

2.Средняя доходность портфеля……………………………………………….5

4.Оценка средней доходности и стандартного отклонения на основании исторических данных…………………………………………………………...7

5.Эффект диверсификации……………………………………………………..9

6.Портфель с минимальным риском………………………………………...10

7.Хеджирование………………………………………………………………...12

8.Графическая иллюстрация…………………………………………………13

9.Эффективность инвестиционного портфеля. Эффективное множество……………………………………………………………………….17

10.Безрисковая ставка доходности…………………………………………..20

11.Безрисковая ставка и эффективное множество………………………...22

12. Модель Марковица………………………………………………………...24

13.Портфель, максимизирующий ожидаемую полезность………………..27

Список  используемой литературы…………………………………………...28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

               Современная портфельная теория - принципы, лежащие в основе анализа и оценки рационального выбора инвестиционного портфеля на базе компромиссного соотношения риска и доходности и эффективной диверсификации.

              Начало современной портфельной теории было положено революционной работой Гарри Марковица 1952 года. Результаты Марковица были развиты и дополнены не менее известными работами Джеймса Тобина, Вильяма Шарпа и других исследователей.

Важность  этих разработок для развития современной экономики и финансов подчеркивает Нобелевская премия по экономике, которой были удостоены Гарри Марковиц, Джеймс Тобин и Вильям Шарп, в первую очередь, за развитие современной портфельной теории. 

1.Выбор наилучшего портфеля и диверсификации

            Итак, рассмотрим решения инвестора, располагающего богатством W и стоящего перед решением - каким образом использовать это богатство?

Будем считать, что выбор между текущим  потреблением и инвестициями уже  сделан, соответственно, пусть W - это стоимость, которая не будет потреблена в текущем периоде. Предположим для простоты, что инвестор рассматривает фиксированный плановый горизонт - средства W ему необходимо распределить на некоторый определенный период.

             У нашего инвестора существует n возможностей использования средств, каждая из которых принесет соответственно x1, x2, ...,xn гривен дохода в расчете на 1 гривну вложений. Наиболее существенной проблемой для принятия решения является то, что величины xi в общем случае случайные, то есть каким именно будет доход, заранее неизвестно.

             Главным предположением, которое принял Гарри Марковиц, анализируя эту задачу, являлось то, что для инвестора, при оценке альтернативных решений, важными являются только два параметра каждого из них: первый - ожидаемая доходность инвестиций

,  

(E - математическое  ожидание), второй - стандартное отклонение  доходности, как показатель, характеризующий  риск принимаемого решения

, (D - дисперсия).

Важно, что это предположение в целом  не противоречит теории ожидаемой полезности Неймана - Моргенштерна: для того чтобы  оно выполнялось, необходимо, чтобы  либо доходности активов xi были распределены согласно нормальному закону либо, чтобы функция полезности богатства имела квадратичную форму.

Другим, не менее важным предположением, является следующие: инвестор не обязательно  должен выбрать какое-то одно решение, он может выбрать любую комбинацию возможных инвестиций, распределяя свое богатство по различным направлениям вложений.

Оказывается, что проблема выбора в этом случае существенно упрощается. Пусть xi (i=1,...,n) - это доля от общего объема богатства, инвестируемого в i-й актив. Сформированную таким образом комбинацию инвестиций мы будем называть портфелем. Инвестору необходимо выбрать портфель, ожидаемая доходность mp и стандартное отклонение sp которого были бы для него наилучшими.  

2.Средняя доходность портфеля

             Прежде всего, необходимо установить какова средняя (ожидаемая) доходность портфеля. Доходность портфеля ( ) мы определим как прирост богатства в расчете на единицу вложений, обеспечиваемый данным портфелем к моменту времени, рассматриваемому в качестве планового горизонта

,

где W - сегодняшний размер богатства, WE - размер богатства на конец периода. Доходность портфеля можно рассчитать как взвешенную по объемам инвестиций доходность каждого  входящего в портфель актива

.

Это выражение  можно представить в векторной форме  ,

где ,   .

Ожидаемая доходность портфеля определяется по формуле математического ожидания суммы случайных величин:

Вынося  детерминированные величины , за знак математического ожидания, получим

      (6.1)

или в  векторной форме

, где  .

Таким образом, ожидаемая доходность инвестиционного портфеля - это средневзвешенная по долям инвестиций ожидаемая доходность каждого из активов, входящих в портфель. 

3.Стандартное отклонение портфеля

               Дисперсия доходности портфеля рассчитывается как дисперсия суммы случайных величин. Напомним, что если и - случайные величины, то

где - коэффициент ковариации случайных величин h и z. Таким образом, для портфеля

или, обозначив 

, , ,

получим

.       (6.2)

Стандартное отклонение портфеля sp , тем самым, равно

.        (6.3) 

4.Оценка средней доходности и стандартного отклонения на основании исторических данных

                Одним из методов оценки средней доходности и стандартного отклонения финансового инструмента является использование исторических данных. Необходимо сразу же отметить недостатки этого подхода. Во-первых, исторический метод оценивает параметры финансового актива в прошлом (говорят, что результатом в этом случае являются величины ex post - после наблюдения), тогда как инвестора, принимающего решения, интересуют будущие величины (ex ante). Во-вторых, для расчетов необходимо располагать рядом наблюдений над фактической величиной доходности за ряд периодов - а эта информация часто может либо вовсе не существовать (если речь идет о вновь выпускаемой ценной бумаге), либо быть труднодоступной, либо содержать значительные искажения - это особенно характерно для пока еще недостаточно развитого и информационно закрытого украинского рынка.

                Тем не менее, если существует необходимость оценки средней доходности и риска некоторой ценной бумаги, и невозможно применение более точных методов, исторический подход является полезным.

Обозначим через rt - наблюдавшуюся в периоде t доходность некоторой ценной бумаги. Всего есть T наблюдений (t=1,...,T). Тогда статистическая оценка для показателя средней доходности рассчитывается как

, (6.4)

оценка  дисперсии

. (6.5)

Пусть существует информация о доходности двух видов ценных бумаг - акций АО «Урюпинскспецсталь» и АО «Приморский ЦБК» : 

Используя эти данные и формулы (6.4), (6.5), получим, что оценка средней квартальной  доходности акций «Урюпинскспецсталь»  равна 5%, дисперсия - 0.25%, для Приморского ЦБК соответственно: 7.5% и 1%. Приведем эти величины к годовому измерению:

Для расчета  статистической оценки коэффициента ковариации двух случайных величин используется формула

,       (6.6)

где rt, st - наблюдения, , - средние величины.

В нашем  примере, ковариация доходности в квартальном  измерении равна 0.15%, соответственно в годовом измерении

,

откуда  получим коэффициент корреляции

.

Необходимо  еще раз подчеркнуть, что расчитываемые  по формулам (6.4) - (6.6) показатели представляют собой лишь статистические оценки исторических значений средней доходности, дисперсии  и ковариации. Тем более нельзя считать, что эти оценки сколько-нибудь точно прогнозируют будущие значения рассматриваемых показателей. Вместе с тем, на практике, когда нет возможности более точной оценки показателей доходности и риска ценных бумаг, часто используют именно статистические методы. 

5.Эффект диверсификации

              Напомним, что если s12 - коэффициент ковариации показателей доходности некоторых двух ценных бумаг, то

.

где s1, s2 - стандартные отклонения, r12 - коэффициент корреляции случайных величин доходности 1-го и 2-го активов. Следовательно, формулу для расчета стандартного отклонения портфеля, состоящего из 2-х активов, можно записать

.

            Таким образом, общий риск портфеля зависит от величины риска активов, входящих в портфель si, доли каждого из активов в портфеле xi и коэффициента, характеризующего статистическую взаимосвязь между величинами доходности активов, входящих в портфель r12.

Эффект  диверсификации - распределения инвестиций между различными направлениями, состоит  в том, что, выбирая объемы инвестиций в различные активы, инвестор может регулировать рискованность портфеля - выбирать такую величину из возможных, которая отвечает его предпочтениям.                  Возможности по снижению риска портфеля зависят от тесноты статистической взаимосвязи между доходностью различных инвестиционных решений (в нашем примере - величины r12). Напомним, что величина коэффициента корреляции двух случайных величин может изменяться в пределах от -1 до 1. Величина r12=-1 означает совершенную отрицательную взаимосвязь - если доходность одного актива увеличивается, доходность второго - пропорционально снижается. В случае r12=1 оба актива характеризуются совершенной положительной взаимосвязью: любое увеличение доходности одного из них с необходимостью приводит к пропорциональному увеличению доходности второго. Если же r12=0 - доходность одного актива никак не связана с доходностью второго. 

6.Портфель с минимальным риском

               Пусть целью инвестора является выбор портфеля с минимальным возможным риском, то есть необходимо так выбрать х1 и х2, чтобы величина риска портфеля  была бы наименьшей. Эту задачу можно просто решить аналитически. Прежде всего, заметим, что для портфеля из 2-х активов всегда должно выполняться бюджетное ограничение

,

- сумма  долей равняется единице. Значение  х2 мы можем выразить через  х1

.

Обозначим

Задачу  выбора портфеля с наименьшим риском можно записать

. (6.9)

Запишем условие первого порядка для  данной задачи (возьмем производную по x и приравняем ее к нулю)

,

откуда, при условии, что знаменатель  не равен нулю, получим

.       (6.10)

Формула (6.10) дает возможность определить портфель, риск (стандартное отклонение доходности) которого минимален.

Рассмотрим  некоторые частные случаи.

1. Пусть r12=-1 тогда

,

.

В этом случае риск портфеля равен нулю

.

То есть, если доходность первого актива снизится, для портфеля в целом это будет  полностью компенсировано ростом доходности второго актива.

2. В  случае, когда r12=0, то есть какая-либо взаимосвязь между доходностью первого и второго актива отсутствует, портфель с наименьшим риском выбирается так:

, .

Стандартное отклонение такого портфеля будет равно. Если s1<1 и s2<1, риск портфеля будет меньше, чем риск каждого из отдельно взятых активов.

3. Когда r12=1, оптимальный портфель выбирается следующим образом:

, .

Риск  такого портфеля также равен нулю:

,

но существует важное отличие от случая, когда r12=-1: при совершенной отрицательной корреляции оптимальные объемы инвестиций в каждый из активов были положительными. Здесь же, либо х*, либо 1-х* меньше нуля (причем, если х*<0, то (1-х*)>1, и наоборот). Отрицательный объем инвестиций означает короткую продажу - когда продается актив, взятый в долг с обязательством последующего возврата. Следовательно, в случае положительной корреляции, для того, чтобы получить портфель с минимальным риском, необходимо коротко продать один из активов, и инвестировать все имевшиеся и вырученные за счет короткой продажи средства во второй актив. 

7.Хеджирование

             Полученные выше результаты позволяют сделать очень важный вывод: чем больше степень статистической взаимосвязи между доходностью двух активов, тем больше возможностей по снижению риска путем комбинации инвестиций в эти активы (формирования портфеля), - другими словами тем более эффективна диверсификация, предпринимаемая с целью снижения риска. Данный факт лежит в основе стратегии хеджирования.

             Хеджирование представляет собой стратегию снижения риска, при которой инвестор, для того, чтобы обезопасить себя от возможных потерь, связанных с инвестированием в некоторый актив, одновременно инвестирует в другой актив, доходность которого негативно коррелирована с доходностью первого.

              В качестве примера рассмотрим ту же задачу выбора портфеля, но в несколько измененном виде.

Пусть инвестор владеет одной единицей некоторого актива, который принесет ему  единиц чистого дохода на протяжении планового горизонта. Обозначим через x объем инвестиций в этот актив: .

               Доходность z является случайной вeличиной. Предположим, что она может быть как положительной, так и отрицательной. Пусть инвестор желает обезопасить себя от риска потери стоимости своего актива - тех случаев, когда z окажется отрицательной. Для этого он инвестирует средства в другой актив, доходность которого h также случайна, но связана отрицательной статистической взаимосвязью с доходностью первого актива. Обозначим через h объем инвестиций во второй актив. Суммарная ожидаемая доходность инвестиций (портфеля) будет составлять

.

Риск  портфеля будет равен

.       (6.11)

Риск  будет минимальным, если, исходя из условий первого порядка минимума функции (6.11), выполняется равенство

,

или

,      (6.12)

где rzh - коэффициент корреляции случайных величин z и h.

Величина h, рассчитанная по формуле (6.12) называется коэффициентом хеджирования с минимальным риском. Заметим, что если

rzh=-1,

то h=1, то есть хеджирование будет обеспечивать минимальный риск, если в портфеле каждой единице средств, инвестированных  в первый актив, будет соответствовать ровно одна единица инвестиций в актив, используемый для хеджирования. Хеджирование в пропорции «один к одному» называют еще «наивным хеджем», так как коэффициент хеджирования с минимальным риском равен единице лишь в случае абсолютной отрицательной взаимосвязи между доходностью двух активов. 

8.Графическая иллюстрация

                Предполагая, что инвесторы, принимая решение, ориентируются лишь на среднюю доходность и риск, измеряемый стандартным отклонением доходности, мы можем использовать в качестве иллюстрации портфельных инвестиций диаграмму из главы 3, на которой по вертикали откладывается средняя доходность, а по горизонтали - риск, под которым теперь будем понимать стандартное отклонение случайной величины доходности (рисунок 6-1).

              Точки У и П соответствуют активам, которые мы выбрали в качестве примера (акции «Урюпинскспецсталь» и Приморского ЦБК). Рассчитаем, каким будет средняя доходность и стандартное отклонение нескольких вариантов портфеля.

              Рассматриваемые нами варианты портфеля приведены в таблице (цифры обозначают процент от общего объема средств, инвестируемый в соответствующий актив): 

Доходность  и стандартное отклонение портфелей  рассчитывается по формулам (6.7) и (6.8) соответственно. Результаты приведены на рисунке 6-1 и в таблице: 

Можно сделать вывод, что все возможные  портфели лежат на кривой П-A-Б-В-Г-Д-У. Однако это относится лишь к случаю, когда  и . Мы не накладывали ограничений на неотрицательность величин хУ и хУ, так как предполагается возможность неограниченных коротких продаж. Рассмотрим следующие два портфеля:

                В случае портфеля Е инвестор вкладывает все свое богатство в акции Приморского ЦБК, одновременно коротко продает акции Урюпинска, и все вырученные деньги также вкладывает в акции Приморска. Средний доход портфеля Е 33%, риск 25.26%.

               Для портфеля Ж - ситуация обратная: инвестор коротко продает акции Приморска на сумму, равную половине всех инвестиций, и все деньги (собственное богатство и средства, вырученные от короткой продажи) вкладывает в акции Урюпинска. Средняя доходность этого портфеля равна 15%, стандартное отклонение 15.33%.

В целом, при неограниченных возможностях коротких продаж, все доступные инвестору комбинации доходности и риска можно представить на рисунке в виде кривой Е-П-A-Б-В-Г-Д-У-Ж, которая задана параметрически уравнениями (6.7) и (6.8).

               Допустимые комбинации риска и доходности при разной степени статистической взаимосвязи активов, входящих в портфель