Содержание 

1 Простейшие модели  управления запасами 3

2 Вероятностные модели  управления запасами 11

3 Специальные модели  управления запасами 15

Список  использованной литературы 21 
 

 

      

     1 Простейшие модели управления запасами

     Однопродуктовая статическая  модель

     Модель  управления запасами простейшего типа характеризуется тремя свойствами:  постоянным во времени спросом;  мгновенным пополнением запаса;  отсутствием дефицита.

     В этом случае модель с фиксированным  размером заказа и модель с фиксированной  периодичностью ведут себя совершенно одинаково, поскольку интенсивность  спроса и продолжительность заготовительного периода не изменяются.

     На  практике такой модели могут соответствовать  следующие ситуации: использование  осветительных ламп в здании; использование  крупной фирмой канцелярских товаров: бумаги, блокнотов, карандашей и т.д., потребление основных продуктов  питания [2].

     График  движения запаса на складе для подобной ситуации представлен на рисунке 1. На рисунке обозначены:

     q - размер партии;

     Z_ср = q/2 - средний уровень запаса;

       - тангенс соответствующего угла, интенсивность спроса (количество  продукции, потребляемой в единицу  времени);

     S – «точка заказа»;

       – продолжительность заготовительного периода;

     l - продолжительность цикла заказа (планируемого периода).

     

     Рисунок 1– Движение запаса в однопродуктовой  статической модели

      

     где W(t) - суммарное поступление продукта за период [0,t].

     Величина  суммарных поступлений определяется из соотношения:

      

     где n(t) - полное число поставок за период [0,t].

     При этом l =  , т.е. уровень запаса достигнет нуля, спустя   единиц времени после получения заказа размером q.

      

     где [ ] - целая часть числа.

      

     Оптимизация заключается в выборе наиболее экономичного размера партии q. Утверждение иллюстрирует рисунок 2.

     

     Рисунок 2– Экономический смысл оптимального размера партии

     Чем меньше q, тем чаще нужно размещать  новые заказы. Однако при этом средний  уровень запаса будет уменьшаться.

     С другой стороны, с увеличением q уровень  запаса повышается, но заказы размещаются  реже.

     Так как затраты зависят от частоты  заказов и объема хранимого запаса, то величина q должна определяться из условия  обеспечения сбалансированности между  двумя видами затрат [5].

     Итак, с₀, как и прежде, - затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении; b - затраты на хранение единицы продукции в единицу времени; с₁ - закупочная цена единицы продукта; d(t) - общий объем потребленной продукции за период [0,t].

     Выразим суммарные затраты V(t) за период времени [0,t] и зададимся целью отыскать минимум этих затрат:

      

     Заметим, что требованием о целой части  в выражении нам пришлось пренебречь, чтобы получить дифференцируемую функцию.

     Далее найдем производную функции по q и приравняем ее нулю:

      

     Заметим, что вторая производная в точке q^* строго положительна, что говорит о том, что найден именно минимум функции.

     Соотношение принято называть формулой экономичного размера заказа Уилсона. Формула Уилсона занимает центральное место во всей теории управления запасами.

     Таким образом, оптимальная стратегия  модели предусматривает заказ q^* единиц продукта через каждые l^* =   единиц времени [6].

      

     При использовании формул необходимо контролировать, чтобы интенсивность спроса   и стоимость хранения b были отнесены к одному и тому же промежутку времени, например, к году, месяцу или дню.

     В отношении оптимального объема партии q^* необходимо сделать следующее замечание.

     Стоимость хранения и стоимость заказа, а  также предполагаемый спрос, - все  это по своей сути ориентировочные  показатели, их невозможно точно рассчитать. Иногда стоимость хранение не рассчитывается, а просто устанавливается, исходя из каких-то разумных соображений. Соответственно, экономичный объем заказа нужно читать приблизительным, а не точным показателем. Так, вполне допустимо округление полученной величины. Расчеты с точностью до нескольких десятичных знаков могут создать ложное впечатление о точности данного показателя. Возникает вопрос: в какой степени приемлем такой "приблизительный" объем партии с точки зрения минимальных расходов? Ответ состоит в том, что кривая издержек в районе точки q^* относительно пологая, особенно вправо от данной точки (рисунок 3). Следовательно, показатель экономичного объема партии можно считать достаточно устойчивым [3].

     

     Рисунок 3 – Зона оптимального размера партии

     Однопродуктовая статическая  модель, допускающая дефицит

     В рассмотренной выше простейшей модели дефицит продукции не допускается. В общем случае, когда потери от дефицита сопоставимы с расходами  по содержанию запасов, дефицит допустим.

     График  движения запаса для такой ситуации приведен на рисунке 4, где   обозначает количество продукции, потребляемой в течение заготовительного периода.

     

     Рисунок 4 – Движение запаса в однопродуктовой статической модели, допускающей дефицит

     Не  производя подробного вывода формул, скажем следующее.

     В случае, когда вид минимизируемой функции определяется посредством  соотношений, оптимальные значения параметров q^* и S^* имеют следующий вид:

             

     Модель с постепенным  пополнением запасов

     В некоторых случаях, например, когда  предприятие одновременно является производителем и потребителем изделий, запасы пополняются постепенно, а  не мгновенно. То есть, в данном случае одна часть производственной системы  выполняет функцию поставщика для  другой части этой системы, выступающей  в роли потребителя.

     Если  темпы производства и потребления  одинаковы, то запасы создаваться вообще не будут, поскольку весь объем выпуска  сразу же используется. В этом случае вопрос об объеме партии не рассматривается. Чаще бывает, что темп производства превышает темп потребления.

     График  движения запасов в такой системе  будет иметь вид, соответствующий  графику, представленному на рисунке  5. Приведем обозначения необходимых для дальнейшего анализа величин:

     q - объем производимой партии, шт.;

       - интенсивность потребления, шт./ед. времени;

       - темп производства, шт./ед. времени;  соответственно,   -   - темп прироста запасов (шт./ед. времени), на графике - тангенс соответствующего угла;

     Z_max - максимальный уровень запасов;

     b - расходы на хранение единицы  продукции в единицу времени,  ед. стоимости;

     c₀ - затраты на пуско-наладочные работы, ед. стоимости;

       - продолжительность пуско-наладочных  работ, иначе время упреждения  заказа, ед. времени [10].

     

     Рисунок 5 – Движение запасов в модели с постепенным пополнением

     Из  графика видно, что изделия производятся в течение только части цикла, потому что темп производства выше темпа потребления; потребление  же происходит на протяжении всего  цикла. Во время производственной стадии цикла создаются запасы. Их уровень  равен разнице между уровнем  производства и уровнем потребления. Пока продолжается производство, уровень  запасов будет повышаться. Когда  производство прекращается, уровень  запасов начинает снижаться. Следовательно, уровень запасов будет максимальным в момент завершения производственной стадии. Когда наличный запас будет  исчерпан, производство возобновляется, и весь цикл повторяется вновь.

     Когда компания сама производит изделия, то у нее нет как таковых расходов на заказ. Однако для каждой производственной партии существуют расходы на подготовку - это стоимость подготовки оборудования к данному производственному  процессу: наладка, замена инструмента  и т.п. По иному такие расходы  называются затратами на пуско-наладочные работы. Стоимость подготовки в данном случае аналогична стоимости заказа, поскольку она не зависит от размера  партии [1].

     Включим в общие расходы всего два вида издержек: затраты на проведение пуско-наладочных работ и затраты на хранение продукции. Во-первых, как мы видели выше, это слагаемое никак не влияет на итоговые выражения для оптимальных параметров, во-вторых, в условиях, когда предприятие одновременно является и производителем, и потребителем продукции, такие затраты по сути не связаны с функционированием системы хранения запасов.

     Итак, суммарные затраты V(t) за период времени [0,t]:

      

     Используя соотношениe и переходя к затратам в единицу времени (для этого  разделим предыдущее выражение на t), получим:

      

"Точка  заказа" в данном случае представляет  собой уровень запаса, при котором  следует начать пуско-наладочные  работы [7].

     Модель с постепенным  пополнением запасов, допускающая  дефицит

     

     Рисунок 6 – Движение запасов в модели с постепенным пополнением, допускающей дефицит

     Оптимальный размер партии q^* будет равен:

      

     "Точка  заказа" (критический уровень  запаса, при достижении которого  следует начать пуско-наладочные  работы):

      

     Оптимальная продолжительность цикла l^*:

      

     При данных значениях параметров достигается  минимум суммарных затрат в единицу  времени. Его можно рассчитать по формуле:

        

      2 Вероятностные модели управления запасами 

     На  практике в большинстве случаев  потребность является переменной величиной, изменяясь ежедневно. В связи  с эти необходимо иметь и поддерживать так называемый резервный (буферный) запас, обеспечивая определенный уровень  защиты от дефицита изделий.

     Резервный запас - это величина запаса, постоянно поддерживаемая дополнительно к ожидаемой потребности.

     Известны  несколько подходов к установлению величины запаса, обеспечивающего защиту от колебаний спроса. Один из них  основывается на определении ожидаемого количества изделий, которых может  не хватить. Например, можно поставить  задачу так: установить такой уровень  запаса, чтобы можно было удовлетворить  не менее чем 95% заказов на данную продукцию, т.е. дефицит изделий будет  существовать лишь в течение 5% всего  времени. Таким образом, мы подошли  к определению понятия "уровень обслуживания" [9].

     Уровень обслуживания – доля (процент) от общей величины спроса, которую можно реально получить из наличного запаса.

     Концепция уровня обслуживания основана на статистической характеристике, известной как "Ожидаемое z или E(z)". E(z) – это ожидаемое количество изделий, которых будет не хватать на протяжении каждого интервала времени выполнения заказа.

     Концепция предполагает, что потребность в  хранимой продукции является нормально  распределенной случайной величиной.

     Решение такой задачи - дотаточно трудоемкий процесс. Однако в настоящее время  значения E(z) табулированы. Соответствующая  статистическая таблица (так называемая таблица Брауна) показывает зависимость ожидаемого дефицита изделий (E(z)) от резервного запаса, выраженного в стандартных отклонениях спроса (z).

     Модель с фиксированным  размером заказа и уровень обслуживания

     При использовании такой стратегии  уровень запаса отслеживается непрерывно. Опасность исчерпания запаса возникает  здесь только в течение времени  выполнения заказа (в течение заготовительного периода).

     В течение периода   (см. рисунок 7) возможны колебания спроса. Этот диапазон вычисляется либо на основе анализа ретроспективных данных, либо на основе некоторой предположительной оценки (если данные за прошедшие периоды невозможно получить).

     Величина  резервного запаса зависит от требуемого уровня обслуживания. Объем партии заказа q вычисляется обычным способом. Затем устанавливается "точка  заказа", которая учитывает ожидаемую  потребность в течение заготовительного периода, плюс резервный запас, определяемый требуемым уровнем обслуживания.

     

     Рисунок 7 – Диапазон отклонений потребности в модели с фиксированным размером заказа

     Таким образом, важнейшее различие между  моделью, в которой потребность  известна, и моделью, где потребность  является случайной величиной, заключается  в определении "точки очередного заказа". Объем заказа в обоих  случаях одинаков. При этом элемент  неопределенности учитывается в  резервном запасе.

      

     где   - средняя интенсивность спроса;

       - средняя продолжительность заготовительного  периода;

     z - число стандартных отклонений  спроса в резервном запасе  для заданного уровня обслуживания;

       - стандартное отклонение спроса  в течение заготовительного периода.

     В формуле слагаемое  ∙  определяет ожидаемый спрос в течение заготовительного периода, а слагаемое   представляет собой величину резервного запаса [5].

     Остановимся на определении величин z и  .

     Значение   определяется в зависимости от условий задачи. Будем рассматривать три случая.

      

     где   - стандартное отклонение спроса в единицу времени.

      

     где   - стандартное отклонение продолжительности заготовительного периода.

     3. Наконец, если изменяются и  спрос, и заготовительный период, то:

      

     Перейдем  к определению z. Для этого вычисляется E(z) - дефицит изделий, который удовлетворяет  заданному уровню обслуживания, а  затем по таблице Брауна находится соответствующее значение z.

      

     где p - требуемый уровень обслуживания, в долях единицы; соответственно, (1 - p) - неудовлетворенная часть потребности;

     q - экономичный размер заказа (вычисляется  обычным образом);

     E(z) – ожидаемый дефицит изделий  в каждом цикле заказа, выраженный  в стандартных отклонениях спроса.

     Модель с фиксированной  периодичностью заказа и уровень  обслуживания

     Модель  с фиксированной периодичностью предполагает, что размеры заказов  различны для разных циклов. (см. рисунок  8).

     

     Рисунок 8 – Вероятностная модель с фиксированной периодичностью заказа

     Объем заказа в такой модели будет определяться по следующей схеме: 

        

     Соотношение, представленное на схеме, запишем в  виде формулы:

      

     где q - размер очередного заказа;

       - средняя интенсивность спроса;

     l - промежуток времени между подачей  заявок;

       - продолжительность заготовительного  периода;

     z - число стандартных отклонений  спроса в резервном запасе  для заданного уровня обслуживания;

       - стандартное отклонение спроса  в течение цикла заказа и  заготовительного периода;

     Z – текущий уровень запаса.

      

     где   - стандартное отклонение спроса в единицу времени.

      

     3 Специальные модели управления запасами

     Модель, учитывающая  количественные скидки

     Количественные  скидки – снижение закупочной цены при покупке более крупных партий товара [4].

     Скидки  предоставляются с тем, чтобы  убедить потребителей покупать как  можно больше.

     Дальнейшее  изложения материала будем сопровождать рассмотрением примера.

     Общие расходы складываются из трех составляющих:

      

     c₁ - закупочная цена единицы товара.

     В однопродуктовой статической модели при определении q^* закупочная цена не учитывалась, поскольку она не оказывала влияния на величину оптимального объема партии.

     Когда условия предполагают наличие количественных скидок, для каждой закупочной цены имеется отдельная U-образная кривая общих расходов (рисунок 9). Кривые подняты на разный уровень - меньшая закупочная цена поднимает кривую общий расходов на меньший уровень, большая - на больший.

     Однако  ни одна кривая не относится ко всем возможным значениям объема партии; каждая кривая относится только к  части диапазона значений. Реальный показатель общих расходов сначала  находится на кривой с максимальной закупочной ценой, а затем опускается вниз, последовательно, кривая за кривой, в точках изменения цены. Точка  изменения цены - это минимальный  объем партии, необходимый для  получения скидки. В результате получается кривая общих расходов - ступенчатая  в точках изменения цены. На рисунке  9 такая кривая показана жирной линией.