Средние показатели
Содержание
1. Понятие среднего показателя………
2. Средняя арифметическая и ее свойства………………………………………6
3. Другие виды средних
показателей…………………………………………...
4. Структурные средние……………………………
Задача………………………………………………………………
Список используемой литературы……………………………………………...
1. Понятие среднего показателя
Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности. Средняя величина дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Она отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.
Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в целом определяется ее финансовым положением. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием основных факторов. Это позволяет средней абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.
Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. Так, если мы рассчитаем средний курс по акциям всех предприятий, реализуемых в данный день на данной бирже, то получим фиктивную среднюю. Это объясняется тем, что используемая для расчета совокупность является крайне неоднородной. В этом и подобных случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность неоднородна - общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, т. е. средними, рассчитанными по качественно однородным группам.
Категорию средней можно раскрыть через понятие ее определяющего свойства. Согласно этому понятию средняя, будучи обобщающей характеристикой всей совокупности, должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности/Эту величину можно представить в виде функции:
Так как данная величина в большинстве случаев отражает реальную экономическую категорию, понятие определяющего свойства средней иногда заменяют понятием определяющего показателя.
Если в приведенной выше функции все величины x1, x2…xn заменить их средней величиной , то значение этой функции должно остаться прежним:
Исходя из данного
равенства, и определяется
Так, например, для расчета средней заработной платы работников предприятия необходимо общий фонд заработной платы разделить на число работников:
Числитель исходного соотношения средней представляет собой ее определяющий показатель. Для средней заработной платы таким определяющим показателем является фонд заработной платы. Независимо от того, какой первичной информацией мы располагаем - известен ли нам общий фонд заработной платы или заработная плата и численность работников, занятых на отдельных должностях, или какие-либо другие исходные данные - в любом случае среднюю заработную плату можно получить только через данное исходное соотношение средней.
Для каждого показателя, можно составить только одно истинное исходное соотношение для расчета средней. Если, например, требуется рассчитать средний размер вклада в банке, то соотношение будет следующим:
ИСС = Сумма всех вкладов (тыс. руб.)
число вкладов
Если же необходимо определить среднюю процентную ставку по кредитам, выданным на один и тот же срок, то потребуется следующее исходное соотношение:
ИСС = Общая сумма выплат по процентам (тыс. руб.)
Общая сумма представленных кредитов (тыс. руб.)
От того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней, зависит, каким именно образом будет реализовано ее исходное соотношение. В каждом конкретном случае для реализации исходного соотношения потребуется один из видов средней величины. Это может быть средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, кубическая и т. д.
Перечисленные средние объединяются в общей формуле средней степенной (при различной величине с):
где хi, - i - й вариант рассматриваемого признака (i = :); m, - удельный вес i-ro варианта.
Помимо степенных средних в экономической практике также используются средние структурные, среди которых наиболее распространены мода и медиана. При осреднении уровней динамических рядов применяются различные виды средней хронологической.
2. Средняя арифметическая и ее свойства
Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.
Средняя арифметическая простая. Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным. Предположим, пять торговых центров фирмы имеют следующий объем товарооборота за месяц:
Экономический показатель |
Торговый центр (i) | ||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
Товарооборот (млн. руб.) х. |
132 |
142 |
125 |
164 |
127 |
Для того, чтобы определить средний месячный товарооборот в расчете на один центр, необходимо воспользоваться следующим исходным соотношением:
ИСС =
Формула средней: (i = ):
= =
С учетом имеющихся данных получим:
= = 137,6 млн руб.
В этом примере мы использовали формулу средней арифметической простой (невзвешенной).
Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.
Рассмотрим следующий условный пример:
Таблица 1
Результаты торгов акциями АО
|
Сделка |
Количество проданных акций, шт. (уи.) |
Курс продажи, руб. (х.) |
1 2 3 |
500 300 1100 |
1080 1050 1145 |
Определим по данному дискретному вариационному ряду средний курс продажи одной акции, что можно сделать, только используя следующее исходное соотношение:
Чтобы получить общую сумму сделок, необходимо по каждой сделке курс продажи умножить на количество проданных акций и полученные произведения сложить. В конечном итоге мы будем иметь следующий результат:
= 1080 · 500 + 1050 · 300 + 1145 · 1100 = 1112,9 руб.
Расчет среднего курса продажи произведен по формуле средней арифметической взвешенной:
где k - число вариантов (i = 1, 2, ..., k).
В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Так, в приведенном выше примере количество проданных в ходе каждой сделки акций соответственно составляет 26,3% (0,263); 15,8% (0,158) и 57,9% (0,579) от их общего числа. Тогда, с учетом несложного преобразования приведенной выше формулы получим:
или = 1080 · 0,263 + 1050 · 0 ,158 + 1145 · 0,579= 1112,9 руб.
На практике наиболее часто
встречаемая при расчете
Таблица 2
Средние цены оптовых рынков на товар А
Оптовый рынок |
Средняя цена (руб./шт.) |
1 2 |
43 42 |
Можно ли по имеющимся данным определить среднюю цену данного товара по двум рынкам, вместе взятым? Можно, но только в том случае, когда объемы реализации этого товара на двух рынках совпадают. Тогда средняя цена реализации составит 42 руб. (доказательство этого правила будет приведено ниже). Однако на первом рынке может быть реализовано, к примеру, 100 единиц товара, а на втором - 1000 единиц. Тогда для расчета средней цены потребуется уже средняя арифметическая взвешенная:
= 43 · 100 + 41 · 1000 = 41,2 руб.
100 + 1000
Общий вывод заключается в следующем: использовать среднюю арифметическую невзвешенную можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.
При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. Рассмотрим следующий пример (табл. 3):
Таблица 3
Распределение предприятий отрасли по объему годовой прибыли
Прибыль, млн руб. |
Число предприятий |
До 20 |
7 |
20-30 |
13 |
30-40 |
38 |
40-60 |
42 |
60-80 |
16 |
80 и более |
5 |
Итого |
121 |
Для определения средней прибыли в расчете на одно предприятие найдем середины интервалов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учетом этого середины интервалов будут следующими:
15, 25, 35, 50, 70, 90.
Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим среднюю прибыль предприятий отрасли:
= = 44,9 млн. руб.
Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность. В ряде случаев они используются при ее расчете. Рассмотрим эти свойства.
1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие частоты (/-и группы):
·
Действительно, если мы обратимся к приведенному выше примеру расчета среднего курса продажи акций, то получим следующее равенство (за счет округления среднего курса правая и левая части равенства в данном случае будут незначительно отличаться):
1112,9 · 1900 = 1080 · 500 + 1050 · 300 + 1145 · 1100.
2. Сумма отклонений
Для нашего примера:
(1080 · 1112,9) · 500 + (1050 · 1112,9) · 300 + (1145 · 1112,9) ·1100 = 0.
3. Сумма квадратов отклонений
индивидуальных значений
Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину
На использовании этого свойства базируется расчет центральных моментов, представляющих собой характеристики вариационного ряда при
С = .
где k определяет порядок момента (центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию).
4. Если все осредняемые
варианты уменьшить или
Так, если все курсы продажи акций увеличить на 100руб., то средний курс также увеличится на 100 руб.:
5. Если все варианты значений признака изменить в ,4 раз, то средняя также изменится в 4 раз:
Предположим, что курс продажи в каждом случае возрастет в 1,5 раза. Тогда и средний курс также увеличится в 1,5 раза:
= 1112,9 · 1,5 = 1669,4 руб.
Необходимо также отметить, что если все веса равны между собой, то средняя арифметическая взвешенная совпадает со средней арифметической простой.
3. Другие виды средних показателей
При расчете статистических показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако в каждом конкретном случае, в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следствием реализации его исходного соотношения.
Средняя гармоническая взвешенная. Данная форма используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель. Рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности сельскохозяйственного производства (табл. 4).
Таблица 4
Валовой сбор и урожайность подсолнечника по центрально-черноземному району (в хозяйствах всех категорий)
Область |
Валовый сбор, тыс. т |
Урожайность, ц/га |
Белгородская |
97 |
16,1 |
Воронежская |
204 |
9,5 |
Курская |
0,5 |
4,8 |
Липецкая |
16 |
10,9 |
Тамбовская |
69 |
7,0 |
Средняя урожайность любой сельскохозяйственной культуры по нескольким территориям, агрофирмам, фермерским хозяйствам и т. п. может быть определена только на основе следующего исходного соотношения:
ИСС =
Общий валовой сбор мы получим простым суммированием валового сбора по областям. Данные же о посевной площади отсутствуют, но их можно получить, разделив валовой сбор по каждой области на урожайность. С учетом этого определим искомую среднюю, предварительно переведя для сопоставимости тонны в центнеры:
Таким образом, общая посевная площадь подсолнечника по Центрально-Черноземному району составляла 389,3 тыс. га, а средняя урожайность - 9,9 ц с одного гектара.
В данном примере расчет произведен по формуле средней гармонической взвешенной:
Данная формула используется
для расчета средних
Средняя гармоническая невзвешенная. Эта форма средней имеет следующий вид:
Для иллюстрации области ее применения воспользуемся условным примером. Пусть упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника фирмы, специализирующейся на торговле по почте. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 8 мин., второй - 14 мин. Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?
На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. (8 + 14): 2= 11 мин. Проверим обоснованность такого подхода на примере одного часа работы. За этот час первый работник обрабатывает 7,5 заказов (60 : 8), второй - 4,3 заказа (60 : 14). В сумме
это составляет 1 1,8 заказа. Если же заменить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится:
60 : 11 + 60 : 11 = 10,9
Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя работниками заказов:
Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то общее количество обработанных за 1 час заказов не изменится:
60 : 10,2 + 60 : 10,2 = 11,8
Таким образом, средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения wi-для единиц совокупности равны (рабочий день у сотрудников одинаковый).
Средняя геометрическая. Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего показателя, является средняя геометрическая. Сначала обратимся к формуле невзвешенной средней геометрической. Она выглядит следующим образом:
Соответственно средняя геометрическая взвешенная приобретает следующее выражение:
Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста.
Средняя квадратическая. В основе вычислений ряда сводных расчетных показателей лежит средняя квадратическая. Формула невзвешенной средней квадратической достаточно проста:
Взвешенная средняя
Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.
В статистическом анализе также применяются степенные средние 3-го порядка и более высоких порядков.
4. Структурные средние
Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными характеристиками являются мода и медиана. Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Основное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:
Определим моду и медиану по несгрупированным данным.
Предположим, что 9 торговых фирм города реализуют товар А по следующим оптовым ценам (тыс. руб.): 4,4; 4,3; 4,4; 4,5; 4,3; 4,3; 4,6; 4,2; 4,6. Как видим, чаще всего встречается цена 4,3 тыс. руб. Она и будет модальной. Для определения медианы необходимо провести ранжирование приведенного цифрового ряда: 4,2; 4,3; 4,3; 4,3; 4,4; 4,4; 4,5; 4,6; 4,6.
Центральной в этом ряду является цена 4,4 тыс. руб. Следовательно, данная цена и будет медианой. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.
Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана выполняет функции средней для неоднородной совокупности. В этих случаях средняя не позволяет объективно оценить исследуемую совокупность вследствие сильного влияния аномальных максимальных или минимальных значений. Проиллюстрируем сказанное следующим примером.
Допустим, нам необходимо дать обобщающую характеристику среднедушевых доходов группы людей, насчитывающей десять человек, из которых девять имеют доходы в интервале от 1 до 2 тыс. руб. в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50 тыс. руб.:
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Доход, |
1000 |
1000 |
1100 |
1200 |
1400 |
1500 |
1500 |
1700 |
2000 |
50000 |
руб. |
Если мы воспользуемся средней арифметической, то получим средний доход, равный примерно 6240 руб., что не только почти в 8 раз меньше дохода 10-го человека, но и имеет мало общего с доходами остальной части группы. Медиана же, равная в данном случае 1450 руб., позволит дать объективную характеристику уровня доходов 90% данной совокупности людей.
Теперь рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения). Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид:
Цена, руб. |
Число торговых предприятий |
52 |
12 |
53 |
48 |
54 |
56 |
55 |
60 |
56 |
14 |
Итого |
190 |
Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет большого труда - наибольшую частоту (60 предприятий) имеет цена 55 руб., следовательно, она и является модальной.
Для определения медианного
значения признака по следующей формуле
находят номер медианной
где n - объем совокупности.
В нашем случае = 95,5.
Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 95 и 96 предприятиями. Необходимо определить, в какой группе находятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 12 торговых предприятий, нет их и во второй группе (12 + 48 = 60). Что касается 95-го и 96-го предприятий, то они находятся в третьей группе (12 + 48 + 56 - 116) и, следовательно, медианой является цена 54 руб.
В отличие от дискретных вариационных рядов определение моды и медианы по интервальным рядам требует проведения определенных расчетов на основе следующих формул. Первая из них:
где хо - нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);
h - ширина модального интервала;
-частота модального интервала; -частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным.
Вторая:
где x0 - нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);
h - ширина медианного интервала;
накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
- частота i-ro интервала, i = 1, 2, ..., k;
- частота медианного интервала.
Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные табл. 5.
Информация, подобная представленной в этой таблице, необходима для получения обоснованного представления об уровне жизни населения страны и региона, о его покупательной способности, для оценки эластичности спроса и, в конечном итоге, для выбора того или иного метода ценообразования и обоснования окончательной цены на товар.
Таблица 6.5
Распределение населения РФ по уровню среднедушевых денежных доходов в 1998 г.
Среднедушевой |
Численность населения, |
денежный доход |
|
(в среднем за месяц), руб. |
Млн. чел. |
До 400 |
22,1 |
400-600 |
27,8 |
600-800 |
25,2 |
800-1000 |
19,6 |
1000-1200 |
14,3 |
1200-1600 |
17,6 |
1600-2000 |
9,0 |
2000 и более |
НД |
Итого |
146,7 |
Интервал с границами 400-600 в данном распределении будет модальным, так как он имеет наибольшую частоту. Используя формулу, определим моду:
Мо = 400 + == 537,3 руб.
Для определения медианного интервала необходимо рассчитывать накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит 1/2 суммы накопленных частот (в нашем случае - 73,35):
Таким образом, медианным является интервал с границами 600-800. Тогда медиана равна:
Интервал |
Накопленная частота, млн. чел. |
До 400 400-600 |
22,1 49,9 |
600-800 |
75,1 |
