Статика, кинематика, динамика

 

 

 

 

Содержание

 

РАЗДЕЛ 1. СТАТИКА

Задача 101 а

Задача 102

Задача 111

Задача 112

Задача 113

Задача Ф-1

Задача Т-1

Задача 141

РАЗДЕЛ 2. КИНЕМАТИКА

Задача К-1

Задача К-2

Задача К-3

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА

Задача 301

Задача 321

Задача 322

Задача Д-1

Задача Д-2

Задача Д-3

Список литературы

 

 

РАЗДЕЛ 1. СТАТИКА.

 

Задача 101 а

 

Система сходящихся сил (рис.1.) находится  в равновесии. Требуется графическим способом определить реакцию в стержне «ВС» и проверить результат аналитически.

Дано: Схема №2 G=600Н

RBC - ?

 

Решение

1. Заменяем реальную схему действия сил (рис.1) расчетной схемой (рис.2) а их действия заменяем связями.
2. Выбираем систему координат (оху). Решаем задачу графически

 

3.  Выбираем масштаб силы (рис.3).

 

 

Отмечаем произвольную точку «О», проводим вертикальную линию и откладываем G в выбранном масштабе

 

 

Стоим многоугольник  действующих сил. Через произвольную точку «О», линии, параллельные направлениям связей, а именно и (рис.3).

Вычисляем направление и величину реакции  пo масштабу

 

 

4. Проверяем решение задачи аналитически. Составим условия равновесия по осям координат (рис.2)

 

 и

а).

б).

 

5. Решаем систему уравнений.

 

 

Ответ:

6. Определить влияние угла на значения усилий в стержнях и (см. рис.4). результаты расчётов приведены в таблице:

 

, град.	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90
RBC, Н	600	586	563	519	459	386	300	205	104	------
RAC, Н	0	110	206	300	385	459	515	563	590	------

 

 

Задача 102

 

Шар весом  G удерживается в равновесии системой стержней, как показано на рис.7. Требуется определить реакции в стержнях ОС и ВС. Весом стержней пренебречь и считать их абсолютно упругими.

 

Дано: Схема №2 G = 600Н = 700

RBC - ? RОC - ?

Решение:

1. Учитывая заданные углы, определяем другие углы, необходимые для дальнейшего расчета (рис. 5),
2. Расчленяем заданную систему на две ( рис. 6 и рис. 7) с показом внешних сил (реакция N перпендикулярна наклонной плоскости)
3. Система сил рис.6 сходящаяся в одной точке О, поэтому составляем два уравнения равновесия:

 

 

Система сил рис. 7 также сходящаяся в одной  точке, поэтому составляем два уравнения, при этом по 3-му закону Ньютона показываем действительное направление ОС

 

 

 

Ответ:

 

Задача 111

Дано: g=-20 Н/М F=80 H M=330 H*м

Rх - ? Ry - ? M0 - ?

 

Решение:

1. По полученным исходным данным строим консольную балку в выбранном масштабе =0,2м/мм и в заданных точках располагаем внешние усилия g, F и М в соответствии с их знаками. Знак "минус" перед внешними усилиями означает, что нагрузка g и сила F направлены против оси У, а момент «М» по часовой стрелке. Построим схему балки с обозначенными размерами и значениями внешних усилий (рис.8).

 

 

2.  Составляем расчетную схему балки, заменяя жесткую заделку тремя действующими реакциями (R_x, R_y и М_о) и раскладывая наклонную силу F на горизонтальную F_x и вертикальную F_y составляющие (рис.9).

 

Записываем  условия равновесия для рассматриваемой  плоской системы сил. Используем основную форму условий равновесия.

 

 

Вычисляем проекции всех сил на координатные оси и моменты от этих сил относительно точки «О», т.к. в ней пересекаются две неизвестные силы. Результаты расчетов сводим в таблицу :

 

Уравнения	Усилия
	Rx ,Н	Ry, Н	Мо, Н*м	g, Н/м	F, Н	M, Н*м
Fkx	Rx	0	0	0	Fx	0
Fky	0	Ry	0		Fy	0
m0 (F)	0	0	Мо			M

 

Суммируем построчно данные таблицы

 

R_x + F_x =0,

R_y + F_y = 0,

М_о + = 0,

 

3. Решаем уравнения и получаем значения искомых неизвестных.

 

 

4. Исходя из полученных результатов, строим схему балки с нанесенными значениями расчётных величин (рис.10) (внешних усилий и реакций)

 

Задача 112

 

Дана  рама, состоящая из двух горизонтальных участков (ригелей) и одного вертикального (стойки). Требуется построить в масштабе раму и определить реакции в заделке. На схеме показаны положительные направления внешних усилий. Если стойка разделяет распределенную нагрузку, то последняя может быть расположена только на горизонтальных участках.

Дано: g=-20 Н/М F=80 H M=330 H*м

Rх - ? Ry - ? MА - ?

 

Решение:

1. Изобразим схему рамы в масштабе М_е = 0,2 м/мм. Заменяем действие заделки А реакциями R_x, R_y и Mr

 

2. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия, (см. рис.11)

 

 

4. Проверка правильности решения. Составим уравнение равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно точки "С".

 

 

5. Это доказывает правильность определения всех реакций. Но, так как  и имеют отрицательные значения, то на расчётной схеме необходимо поменять направления этих сил на противоположные {см. рис. 12}.

 

 

Задача 113

Дано: g= -30 Н/М F=130 H M=120 H*м

Rх - ? Ry - ? MА - ?

По исходным данным, в масштабе =0,2м/мм, строим схему балки {рис.13}.

 

 

2. Составляем расчетную схему балки, заменяя опоры А и В соответствующими реакциями и раскладывая наклонную силу F на F_x и F_y составляющие. Неподвижную опору заменяем R_ax и R_ay опорными реакциями, а подвижную опору В заменяем R_by реакцией {см. рис.14}.

 

= 0

= 0

= 0

1) R_AX + F_X = 0

2) R_BY(вґ - аґ) – q

3)

1. R_AX = -F_X = - 91,91 Н

1.2)

1.3)

=

 

Проверка.

 

= 0

R_AY + R_BY + F_X –q =0; 0 = 0.

 

3. Это доказывает правильность определения всех реакций. Но, так как  и имеют отрицательные значения, то на расчётной схеме необходимо поменять направления этих сил на противоположные {см. рис. 15}.

 

Задача Ф-1

 

Дано:

Определить реакции опор фермы  от заданной нагрузки, а также во всех её стержнях способом вырезания узлов .

Решение:

1. Определение реакции опор. Покажем внешние силы, приложенные к ферме: активные (задаваемые) силы и реакции опор А и В (рис.16). Так как линия действия реакции опор А неизвестна, определим ее составляющие по координатным осям и .

Опора В  стержневая; линия действия её реакции  известна - она направлена вдоль опорного стержня.

2. По исходным данным в масштабе =0,1 м/мм строим схему фермы.

 

3. Строим расчётную схему фермы (см. рис.17).
4. составим уравнение равновесия сил, приложенных к ферме:

 

; F₁·3h + F₂·2h + RB_y a= 0,

 ; X_A – F₁ – F₂ = 0 ;

; Y_A + R_BY – F₃ = 0 ;

-6,75 кН = -6750 Н

Х_А= F₁ + F₂ = 5,0 кН = 5 000 Н

У_А = F₃ – R_BY = 8,75 кН = 8 750 Н

 

Определим α из ∆ ЕНК: tgα = ; tgα = = 0,75 , т.е. α =

По полученным данным строим расчетную схему фермы, и проставляем все размеры и величины действующих сил (см. рис. 18).

 

Задача Т-1

 

На наклонной  плоскости с углом наклона  =30⁰, большим углом трения, лежит тело Р =10 Н, на него действует сила Q, направленная параллельно наклонной плоскости вверх (см. рис.17). Определить модуль этой силы, при условии, что тело остаётся в равновесии. Коэффициент трения f_тр =0,6.

 

Дано:

Q - ?

Решение:

1. Выбираем систему координат.
2. Обозначим нормальную реакцию (N) веса тела на плоскость.
3. Обозначаем силу трения тела на плоскости, она направлена в противоположную сторону от приложенной силы Q.
 

4. Запишем условие равновесия тела на плоскости.

 

Q = F_TP + P· sin α

F_TP = N · f_TP , где N = P · cos α , значит

F_TP = P · cos α · f_TP ; отсюда

Q = P ·  cos α · f_{TP +} P sin α

Q = P(cos α  f_{TP +} sin α)

Q = 10(0,866 · 0,6 + 0,500) = 10,196 Н

 

Задача 141

 

Дано:

Груз  весом G (рис.20) подвешен через блок на трос, конец которого намотан на барабан радиусом г и удерживается в состоянии покоя силой трения между рычагом и барабаном по радиусу R. Коэффициент трения рычага о барабан – f.

Требуется, пренебрегая весом барабана, троса и рычага, определить минимальное значение силы Р, приложенной к рычагу, и реакцию в опоре А.

Решение:

1. Составляем расчетную схему установки
2. Прикладываем силу трения в месте соприкосновения рычага с поверхностью шкива (точка В).
3. Рассматриваем равновесие шкива (рис. 22).

F_TP – сила трения (тормоза барабана)

N – нормальная реакция барабана

М_G – вращательный момент от груза G

М_ТР – тормозной момент от рычага

Для равновесия установки необходимо

М_ТР = М_G , т.е. F_TP R = G · r. отсюда F_TP = G · r/R

 

F_TP = 500 = 250 H

 

Нормальная  реакция барабана на действие силы Р

 

F_TP = f₁ – N,

 

отсюда

 

N = F_TP / f , N = 250 : 0,45 = 555,(5)

 

4. Определяем силу Р приложенную к рычагу из условия равновесия рычага относительно опоры А. (рис.21).

 

, P cos 60⁰

P 0.5(1.6) -555,6 · 2/3 · 1,6 = 0

P 0,8 – 1,1 · 555,6; Р = = 763,95 Н

 

5. Определяем реакцию в опоре А (2-ое условие равновесия)

 

а)

б) - F_TP – R_X + P · sin 40⁰ = 0

R_X = P · sin 40⁰ - F_TP

R_X = 763,95 · 0,643 – 250 = 241,2 Н

в)

R_y = - = - 244,074863

 

(Значит  направление реакции будет противоположным)

 

R_A = 343,1 Н

 

 

РАЗДЕЛ 2. КИНЕМАТИКА

 

Задача К-1

 

Заданы  уравнения движения точки в двух плоскостях, требуется:

1. Найти уравнение траектории движения точки.
2. Определить начальное положение точки на траектории при t₁ = 0
3. Построить траекторию движения точки в соответствующих координатах и показать участок ее в интервале времени от t₁ до t₂.
4. Определить путь, пройденный точкой за время от t₁ до t₂.
5. Вычислить полную скорость точки, ее проекции на оси координат для времени t₁ и показать их на траектории.
6. Вычислить полное ускорение точки, ее проекции на оси координат для времени t₂ и показать их на траектории.
7. Определить нормальное и касательное ускорения точки для времени t₂, а так же радиус кривизны.

Дано: OXY

 

Решение:

1. Находим уравнение траектории движения точки, исключая параметр t из уравнений X и Y.

В настоящем задании используется координатный способ задания движения точки в двух плоскостях X и Y.

Система уравнений имеет вид:

 

 

где y и x – соответственно абсцисса и ордината, см;

t – время, с.

 

Из первого  уравнения системы (1)имеем:

 

 

подставив его во второе уравнение системы, получаем исходное уравнение траектории:

 

(2)

 

2. Определяем  начальное положение точки на  траектории пои t=0, подставляя нулевое значение времени каждое из уравнений, получим:

 

 

полученная  точка М₀ имеет координаты (4;-5).

3. Строим  траекторию движения точки в  координатах OХY.

Предварительно  находим пределы изменения Х  и Y при изменении времени от t = 0с, до максимального значения, т.е. t₂ = 3,6с.

при t =0с.,Х₀ =4cм, Y₀ =-5см;

при t₂ =3,6с.,Х₂ =42,98см, Y₂ =54,04см.

Подсчитываем  также значения Х и Y при t₁= 1,2с.

Х₁ =8,32см, Y₁ =3,16см.

Задавая значения Х от 4 до 42,88см. получаем по формуле (2) соответствующие значения Y и сводим их в таблицу 1.

 

 

Значение  координат траектории движения точки

Таблица 1

Z	4	5	6	7	8,32	10	20	30	40	42,88
Y	-5	-2,51	-0,7	1	3,16	5,82	20,95	35,55	49,92	54,04

 

4. Определяем  путь, пройденный точкой за время  от t₁ =l,2c. до t₂ =3,6с. 
Для этого разбиваем траекторию движения точки от М₁ до М₂ на несколько 
участков и определяем длину каждого из них по формуле:

 

 

где Z₁,Y₁ – соответственно абсцисса и ордината начальных точек участков, см;

Z_j+1, Y_j+1 – соответственно абсцисса и ордината конечных точек участков, см.

 

 

 

Тогда весь путь, пройденный точкой, может быть подсчитан по формуле:

 

(4)

 

Где n – количество участков.

 

 

В нашем  случае:

L = 9,896 + 328,91 + 313,16 + 306,49 + 25,26 = 983,7317 см.

5. Вычисляем полную скорость точки при t₁=1,2с. Для этого, 
предварительно, подсчитываем проекции скорости на оси координат как 
производные по времени от проекции пути:

 

 

Для t₁ =l,2c численные значения проекций скорости будут:

 

 

Полную  скорость точки подсчитываем по формуле:

 

 

В нашем  случае;

 

 

Для определения  направления полной скорости точки  в рассматриваемой системе координат  удобно пользоваться как графическим, так и аналитическим способами. Сущность графического способа заключается в проведении диагонали прямоугольника, построенного на проекциях скоростей по осям координат.

При аналогичном  способе определения направления  скорости точки необходимо определить значения направляющих косинусов по формулам:

 

 

При t₁ = 1,2c cosα₁ = 0,84; cosα₂ = 0,528

откуда  следует, что α₁ = 32° и α₂ = 58°

В соответствии с полученными значениями проекций скоростей и углов, в выбранном  масштабе , показываем направление полной скорости точки и ее проекций.

6. Определяем  полное ускорение точки при  t₂ =3,6с. Для этого подсчитываем проекции ускорение точки на оси координат как производные по времени от проекций скоростей:

 

 

Для t₂ =3,6с а_Y =8см/с²; а_Z = 6см/с²

Тогда полное ускорение точки определим по формуле:

 

 

Аналогично  предыдущему пункту, значения направляющих косинусов для определения направления  полного ускорения вычисляем  по формулам:

 

 

 

При t2 =3,6с cosβ₁= 0,8; cosβ₂=0,6

откуда  следует, что β₁ = 37° и β₂ = 53°

В соответствии с полученными значениями ускорений  и углов, в выбранном масштабе ускорения , проводим линии, соответствующие направлению полного ускорения точки и ее проекциям.

7. Определяем  нормальное и касательное ускорения  точки. Для этого используем  формулу полной скорости точки.  Известно, что касательное ускорение  точки можно вычислить, взяв  первую производную по времени  от полной скорости точки, поэтому:

 

 

При t₂ = 3,6c;

 

 

Нормальное  ускорение точки подсчитываем по формуле:

 

 

8. Определяем радиус кривизны движения точки при t₂ =3,6с по формуле:

 

 

Задание К-2

 

Кривошип  ОА вращается в указанном направлении  с постоянной угловой скоростью  ω₁. Для двух положений механизма при заданных углах φ₁ и φ₂ требуется:

1. Путем построения планов скоростей определить линейные скорости точек А, В, К, Д, Е и угловые скорости звеньев 2, 3, 4.
2. Путем построения планов ускорений определить ускорения вышеназванных точек и угловые ускорения тех же звеньев. Для построения схемы механизмов следует взять следующие размеры звеньев: ОА=0,3 м; АВ=1,4 м; ВС=1,0 м; ДЕ=1,2м; Н=1,5м.

Дано:   ОА = 0,3м АВ = 1,4м ВС = 1,0м ДЕ = 1,2м Н = 1,5м

 

Решение:

1. Строим схему механизма для двух положений ведущего звена. Для этого определяем масштаб схемы по формуле: , где l_OA=20 мм – длина кривошипа ОА на чертеже.

 

 

В полученном масштабе и в соответствии с заданными  соотношениями линейных размеров пересчитываем  длины всех звеньев механизма:

2. Строим  планы скоростей механизма. Для  этого определяем линейную скорость  точки А ведущего звена по  формуле

 

(1)

 

где ω₁-угловая скорость ведущего звена, рад/с; ОА - длина звена, м. Выбираем за полюс плана скоростей произвольную точку и обозначаем ее буквой Р.

Подсчитаем  масштаб плана скоростей по формуле:

 

(2)

 

Где = 39 мм - длина вектора на плане скоростей, мм.

Скорость  точки В определяем графическим  решением системы уравнений

 

  (3)

 

Для положения 1: V_B = 8,9 · 0,1 = 0,89 м/с, а для положения 2: V_B = 38 ∙ 0,1 = 3,8м/с.

Скорость точки Д определяем построением на плане скоростей треугольника, подобного треугольнику АВД на схеме механизма. Положение точки (к) на плане скоростей определяем из пропорции:

 

откуда . (4)

 

Для положения 1 - (ак) = 20,4 мм

Для положения 2 - (ак) = 21,6 мм

По пропорциям, аналогичным (4), определяем значения отрезка (кд) на плане скоростей

 

откуда . (5)

 

Для положения 1 - (кд) = 3,4 мм

Для положения 2 - (кд) = 3,6 мм

Скорость  точки Е определяем графическим  решением системы векторных уравнений:

 

 

Для определения  скоростей интересующих нас точек  измеряем векторы этих точек на планах скоростей, умножаем их на масштаб планов и сводим полученные результаты в  таблицу 2. Кроме точек А,В,К,Д, и  Е в таблицу сводим результаты вычисления относительных скоростей  звеньев 2 и 4, значения которых будут  необходимы в дальнейшем при определении  угловых скоростей.

 

Значения  скоростей точек механизма для  положений 1 и 2.

Таблица 2.

№ положения	Скорости точек, м/с
	А	В	Д	К	Е	(ак)	(де)
1	3,6	0,89	1,9	1,7	0,69	2,04	1,98
2	3,6	3,8	3,6	3,3	0,1	2,2	3,6