Статикат, динамика , кинематика

Контрольное задание  С-1

Жесткая изогнутая балка  с консольным участком установлена  на двух опорах А и В. Опора А - это неподвижный шарнир; Опора В - подвижный шарнир на катках.

На балку действует  пара сил с моментом М=100 Нм; равномерно распределенная нагрузка q₁ =15Н/м, сила F₄, приложенная в точке К на конце консоли и сила F₁, приложенная в точке D. Расстояние l=0,5 м. Определить реакции в опорах А и В.

Рисунок 1.1

Дано: М = 100 Н·м, F₁ = 10 Н, F₄ = 40 Н, а = 0,5 м, α₁=60º, α₄=60º; q = 15 Н/м, l=0,5 м

Определить: реакции в точках А  и В, вызываемые заданными нагрузками.

Решение:

Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси х,y и изобразим действующие на раму силы: силы , , распределенную нагрузку q, пару сил с моментом М и реакции связей , и (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках  В направлена перпендикулярно опорной плоскости).

Рисунок 1

Для полученной плоской  системы сил составим три уравнения  равновесия. При вычислении момента  силы относительно точки А воспользуемся  теоремой Вариньона, т. е. разложим силы и на составляющие , и , ( , , , ) и учтем, что и

Получим:

            (1)

       (2)

    (3)

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Из уравнения (3) выразим R_B

Из уравнения (2) выразим Y_A

Из уравнения (1) выразим Х_A

Ответ: , , ,  знаки минус указывают на то, что действительные направления сил противоположны показанным на рисунке.

 

 

Контрольное задание С-2

Массивная однородная прямоугольная плита весом закреплена в трех точках: в т. А - сферическим шарниром; в т. В цилиндрическим шарниром; невесомым стержнем СС' в т. С. Размеры плиты: длина – 2l, ширина -l, толщина - 0,2l.

В точке Е приложена сила , в точке К приложена сила . Точки находятся в углах или серединах соответствующих сторон плиты. На плиту действуют пара сил с моментом М. Момент М = 8 Н∙м; Р = 20 Н; l = 1м. Определить реакции в шарнирах А, В и в стержне СС'.

Дано: F₃ = 30 Н; F₄ = 40 Н; α₃ = 30°; α₄ = 0°; М = 8 Н∙м; Р = 20 Н; l = 1м

Рисунок 2.1.

 

Решение:

Решение: Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют:

а) Активные силы Р, F₃ , F₄ и пара сил, момент которой М;

б) реакции связей: реакцию сферического шарнира А разложим на три  составляющие Х_А, Y_А, Z_A, цилиндрического шарнира В – на две составляющие Х_В, Z_В, реакцию N стержня направляем вдоль стержня СС’ предполагая что он растянут.

Рисунок 2.2

Для определения шести  неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия:

             (1)

         (2)

       (3)

        (4)

      (5)

       (6)

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин

и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Из уравнения (6) выразим  Х_B

 

Из уравнения (5) выразим N

Из уравнения (4) выразим Z_B

Из уравнения (3) выразим Z_A

Из уравнения (2) выразим Y_A

Из уравнения (1) выразим X_A

Ответ: , , , , , ,  знаки минус указывают на то, что действительные направления реакций противоположны показанным на рисунке.

 

 

 

Контрольное задание К-1

Точка С движется по плоскости  хОу. Замой движения точки С задан двумя уравнениями (координатный способ задания движения точки):

;

Где х и у выражены в сантиметрах, t - в секундах.

Определить уравнение  траектории точки С, определить скорость, ускорение точки С, а также касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в точке С для момента времени t₁ = 1 с и все изобразить графически.

Дано: ; ; t₁ = 1

Решение:

Для определения уравнения  траектории точки исключим из заданных уравнений движения время .

Из уравнения    выразим величину

Из уравнения    выразим величину

Согласно тригонометрической формуле:

 

Отсюда

- траектория движения точки  В. 

Данная траектория является эллипсом с центром в точке (0;0) и с полуосями равными 6 и 8 соответственно.

Изобразим траекторию движения точки на рисунке 3.1.

Определим координаты точки  при t₁ = 1 c

Изобразим положения  точки В в момент времени t₁ = 1 c на рисунке 3.1.

Скорость точки найдем по ее проекциям на оси координат:

при t₁ = 1 c имеем

Рисунок 3.1.

 Аналогично найдем  ускорение точки

при t₁ = 1 c имеем

Касательное ускорение  найдем, дифференцируя по времени равенство . Получим:

откуда

при t₁ = 1 c имеем

 

Нормальное ускорение  точки

при t₁ = 1 c имеем

 

Радиус кривизны траектории

при t₁ = 1 c имеем

Ответ: ; ; ; ; ;

 

 

 

Контрольное задание К-2

Плоский механизм состоит из четырех стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В. Все стержни и ползуны соединены с помощью плоских шарниров А, В, D, Е, а стержни 1 и 4, называемые кривошипами, соединены с неподвижно закрепленными на основании конструкции плоскими шарнирами О₁ и О₂. Кривошипы 1 и 4 совершают вращательные движения вокруг шарниров О₁ и О₂ соответственно. Ползун - это тело, движущееся прямолинейно вперед и назад по направляющей - цилиндрической или профильной рейке. Функция ползуна аналогична функции поршня - тела, находящегося внутри направляющего канала, например, цилиндрического профиля. Шатуны 2 и 3 участвуют в плоском движении, то есть движутся поступательно и, одновременно, вращательно. Длины стержней: l₁ = 0,3 м; l₂ = 1,2 м; l₃ = 1,5 м; l₄ = 0,5 м. На рис. 4.1 углы α, β, γ, φ, θ определяют конкретные положения механизмов для каждого задания. Построение механизма следует начинать со звена, определяемого углом α и далее в последовательности, указанной стрелками углов α, β, γ, φ, θ. Если угловые скорости ω₁ или ω₂ указаны со знаком минус (-), то вращение ведущего кривошипа 1 или 4 следует считать происходящим по часовой стрелке, и наоборот, если ω₁ или ω₂ со знаком плюс (+), то - против часовой стрелки. Если известна скорость ползуна В, то на схеме ее следует направить от точки В по направляющей к точке b.

Врезанные шарниры D расположены строго в середине соответствующего стержня. Построение механизма рекомендуется выполнять в масштабе 1:200 (то есть на чертеже l₁ = 0,3 м представлена отрезком 1,5 см: l₁ = 1,2 м - 6 см и т.д.).

Дано: α = 90°; β = 120°; γ = 120°; φ = 90°; θ = 60°; ω₄ = 2 1/с; l₁ = 0,3 м; l₂ = 1,2 м; l₃ = 1,5 м; l₄ = 0,5 м

Рисунок 4.1

Найти: V_В - ?; V_E - ?; ω₂ - ?

Решение:

Строим положение механизма  в соответствии с заданными углами.

Определяем V_В Точка В принадлежит стержню ВЕ. Чтобы найти v_В надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление. По данным задачи можем определить скорость точки Е:

Скорость точки Е будет направлена перпендикулярно стержню 4 и совпадать, по направлению, с направлением угловой скорости этого стержня.

Направление V_В найдем, учтя, что точка D принадлежит одновременно ползуну В, движущемуся вдоль прямой Вb. Теперь, зная V_E и направление V_B, воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня BE) на прямую, соединяющую эти точки (прямая BE). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор V_B (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

Рисунок 4.2

Определяем ω₂. Для этого, зная направление V_A ( ) и V_B построим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня AB; это точка С₂, лежащая на пересечении перпендикуляров к V_А и V_B, восставленных из точек А и В. По направлению вектора V_B определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС С₂.

Чтобы вычислить С₂B, заметим, что треугольник АС₂B — прямоугольный, тогда . В результате имеем

Ответ: ; ; .

 

 

Контрольное задание Д-1

Тело D массой m движется по изогнутой трубе АВС. Участок АВ наклонный ( ); участок ВС наклонен к горизонту под углом 30°. В точке А тело D получает начальную скорость V₀ = V_0A.

На участке АВ на тело действуют кроме силы тяжести, постоянная сила и сила трения . Далее тело D переходит на участок ВС, где на него также действует сила трения , сила тяжести , сила - переменная сила, проекция которой на оси х F_х, задана.

Считая тело D материальной точной, определить закон движения тела D на участке ВС, т.е. х = f (t).

Дано: m = 5 кг; V_0A = 22 м/с; Q = 25 Н; t = 4 с; F_х = 8cos(3t)

Рисунок 5.1.

Решение:

1. Изображаем груз в произвольном положении (рис. 1.2) и действующие на него силы , ,

2. Запишем второй закон Ньютона применительно к данной задаче:

 или      (1)

3. Проведем ось Ax₁, совпадающую с направлением движения груза и с началом координат в точке А. из которой начинается движение.

4. Запишем векторное выражение (1) в проекции на проведенную ось Аx₁:

    (2)

С учетом того, что  , , , , Проекция силы трения скольжения определится виде , где . Для нахождения N спроектируем векторное выражение (1) на ось Ay₁ Так как , получим , откуда . Следовательно, , уравнение (2) примет вид:

   (3)

 

Рисунок 5.2

5. Проинтегрируем дифференциальное  уравнение (3) методом разделения  переменных, умножая его на  и применяя операцию неопределенного интегрирования к обеим частям уравнения:

       (4)

где введено обозначение

После вычисления интегралов в уравнении (4) получим:

        (5)

где - постоянная интегрирования

6. Для нахождения постоянной  интегрирования С₁ запишем начальные условия:

при   

(первое условие при рассмотрении движения груза на участке АВ использовать не будем).

7. Найдем постоянную  интегрирования  , для чего подставим в выражение (5) начальное значение времени и соответствующее ему в начальных условиях начальное значение скорости , получим: , откуда . Тогда выражение (5) примет вид:

       (6)

В момент времени  груз будет находится в точке В и соответственно его скорость будет равна , то есть

Рассмотрим движение груза на участке ВС трубы

1. Изображаем груз  в произвольном положении (рис. 5.2) и действующие на него силы , , ,

2. Запишем второй закон  Ньютона применительно к данной  задаче:

 или      (7)

3. Проведем ось Bx, совпадающую с направлением движения груза и с началом координат в точке B, из которой начинается движение.

4. Запишем векторное  выражение (7) в проекции на проведенную ось Bx:

     (8)

5. Преобразуем выражение (8). Для этого вычислим проекции сил на ось . Очевидно, что , , Проекция силы трения скольжения определится виде , где . Для нахождения N спроектируем векторное выражение (7) на ось Вy. Так как , получим , откуда . Следовательно, , кроме того и уравнение (8) примет вид:

 или   (9)

6. Проинтегрируем уравнение (9), умножив обе его части на , и получим

    (10)

Далее проинтегрируем уравнение (10). Учитывая, что  , перепишем его в виде:

   (11)

Умножая здесь обе  части на и снова и интегрируя, найдем:

  (12)

7. Определим постоянные  интегрирования  , . Для этого запишем начальные условия для участка ВС, считая, что в момент нахождения груза в точке В - .

при   

Подставляя первое из этих условий в выражение (12), получим:

, откуда найдем, что 

Подставляя второе условие в выражение (10), найдем:

, то есть 

8. Определим закон  движения груза на участке  ВС. Для этого вычислим величину  и , и найденные значения и подставим в формулу (12),

,

где х – в метрах, t – в секундах.

 

 

 

 

Контрольное задание Д-2

Механическая система  состоит из сплошного катка, ступенчатого шкива 2 и груза соединенных в  единую систему тел с помощью невесомых нитей, намотанных на ручьи шкива 2.

Из положения равновесия систему выводит сила . Определить один из кинематических параметров движения системы, когда система под действием силы передвинулась на расстояние S₁ (соответствующую перемещению тела 1).

Дано: m₁ = 8 кг; m₂ = 2,5 кг; m₃ = 5 кг; М₂ = 0,4 Нм; F = 20(2+3S); S₁ = 1,2 м; ; R₂ = 0,3 м; r₂ = 0,2 м

 

Рисунок 6.1.

Найти: ω₁ - ?

Так как тело 1 движется поступательно, то найти угловую скорость ω₁ не предоставляется возможным, поэтому определим линейную скорость V₁ тела 1.

Решение:

1. Выберем неизменяемую  механическую систему, движение  которой будем рассматривать

В данном случае целесообразно  выбрать неизменяемую механическую систему, состоящую из весомых тел 1, 2, 3 соединенных нитями.

2. Изобразим действующие  на систему внешние силы: активные  , , , , реакции , , силы трения , .

3. Для определения  воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии для неизменяемой системы:

      (1)

4. Вычислим кинетическую  энергию системы  в начале движения. Так как в начальный момент система находилась в покое, то .

Рисунок 6.1.

5. Вычислим кинетическую  энергию системы  в конечном положении системы (когда центр тела 1 переместится на расстояние )

Величина  будет равна сумме кинетических энергий всех весомых тел, входящих в систему:

      (2)

Учитывая, что тело 1 движется поступательно; тело 3 - плоскопараллельно, а тело 2 вращается вокруг неподвижной оси, получим:

; ;     (3)

6. Выразим все входящие  в формулы (3) скорости через  искомую  .

Предварительно заметим, что точка - мгновенный центр скоростей катка 3, радиус которого обозначим . Тогда

; ;    (4)

7. Вычислим моменты  инерции, входящие в выражения  (3)

;      (5)

8. Выразим кинетическую энергию через искомую величину .

Подставив все величины (4) и (5) в равенства (3) и далее в формулу (2), окончательно получим:

 (6)

9. Найдем сумму работ  всех действующих внешних сил при том перемещении, которое 6удет иметь система, когда тело 1 пройдет путь

Введя обозначения: - перемещение центра катка 3; - угол поворота шкива 2, получим

;

;

;

Работы остальных сил  равны нулю, так как точка , где приложены силы , - мгновенный центр скоростей (неподвижная точка); точки, где приложены силы , неподвижны; а и перпендикулярны перемещению груза 1.

Величину надо выразить через заданное перемещение ; для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями (в этом можно убедиться, интегрируя неизменные зависимости между соответствующими скоростями). Тогда, поскольку , то и , соответственно. При найденных значениях и для суммы всех вычисленных работ получим

    (7)

Подставляя выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что  , приведем к равенству

 (8)

Из равенства (8), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость .

Ответ: .

 

 

Контрольное задание Д-3

Вертикальный невесомый вал вращается с постоянной угловой скоростью ω = 5 1/с. Вал имеет две опоры: подпятник А и цилиндрический подшипник В. К валу жестко прикреплен невесомый стержень 1 длинной l₁ = 0,6 м с сосредоточенной массой m₁ = 6 кг на его конце, а так же однородный стержень 2 длинной l₂ = 0,8 м с массой m₂ = 8 кг. Пренебрегая весом вала и считая b = 0,3 м, определить реакции опор: подпятника А и шарнира В.

Дано: ω = 5 1/с; m₁ = 6 кг; m₂ = 8 кг; l₁ = 0,6 м; l₂ = 0,8 м; b = 0,3 м; α = 45°; β = 90°

Рисунок 7.1

Решение:

1. Изображаем вал и  прикрепленный к нему стержень  в соответствии с заданными углами (рис. 7.2).

Веса  стержней 1 и 2 соответственно равны:

, ,    (1)

2. Для определения  искомых реакций рассмотрим движение стержней и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси так, чтобы стержень лежал в плоскости .

3. Изобразим действующие  на систему внешние силы (рис. 5.2): силы тяжести , ,  составляющие ,  реакции подпятника А и реакцию подшипника В.

4. Присоединим к этим  силам силы инерции элементов  стержня и шарика. Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения направленные к оси вращения, а численно где - расстояние элементов от оси вращения. Тогда силы инерции , будут направлены от оси вращения, а численно , где - масса элемента.

Рисунок 7.2

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции  заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как модуль главного вектора сил инерции имеет значение , где  m - масса тела, ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим

,      (2)

Принимая сосредоточенную на конце стержня 1 массу за точку, модуль ее силы инерции определим по формуле

      ( )

где -  ускорение шарика.

Но центры масс частей стержня, как его элементы, а также ускорение шарика, имеют нормальные ускорения, равные

,

где , - расстояния от центров масс частей стержня и шарика до оси вращения. В результате из равенств (2), (2') и (1) получим:

;  

;    (3)

При этом линии действия равнодействующей и силы инерции на расстояниях и , от оси , где

;

;       (4)

5. Применим принцип  Даламбера для механической системы.

Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой плоской системы сил три уравнения равновесия, получим

, ;

, ;          (5)

Подставив сюда значения соответствующих величин из равенств (1), ( ), (3), (4) и решив затем систему уравнений, найдем искомые реакции.

Реакция подпятника А:

Ответ: ;