Статистическая обработка данных. 2

Задание 1. Дана статистическая совокупность, характеризующая длину нити в пряже (в метрах):

1. Построить по этим данным интервальный вариационный ряд случайной величины X с равными интервалами (первый интервал 51,55 - 56,55 и т.д.) и начертить гистограмму.
2. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
3. Вычислить среднее арифметическое выборки, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, размах вариации, начальные и центральные моменты до третьего порядка включительно, величину асимметрии и эксцесс, ошибки асимметрии и эксцесса.
4. Используя критерий – Пирсона по данному вариационному ряду при уровне значимости a =0,05, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение:

Расположим  данные величины в порядке возрастания, чтобы удобно было делить на группы:

Построим  интервальный ряд распределения  частот, относительных частот и накопленных частот. Количество интервалов примем равным 7.

Определяем размах варьирования признака х.

х_min = 51,55;    х_max = 86,55;   R = х_max – х_min = 86,55 – 51,55 = 35.

Найдем величину интервала: h = R : m = 35 : 7 = 5.

Вычислим частоты, относительные  частоты найдем, разделив частоты  на общий итог. Вычислим накопленные  частоты.

Получаем  следующий интервальный ряд:

Построим  по полученным данным гистограмму относительных  частот.

Запишем эмпирическую функцию распределения  и построим ее график.

Построим график эмпирической функции распределения F(x).

Для нахождения среднего арифметического,  дисперсии, асимметрии и эксцесса воспользуемся расчетной таблицей.

Размах  варьирования признака: R = х_max – х_min = 86,55 – 51,55 = 35.

Среднее арифметическое будет равно:

= 7080,2 : 100  = 70,8.

Дисперсию вычислим по формуле 

= 6468,76 : 100 = 64,69.

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

= 8,04.

Вычислим  коэффициент вариации:

= 11,4%.

Для расчета  начальных моментов составим таблицу.

Вычислим  начальные моменты:

= 70,8;  = 507732,7 : 100 = 5077,33.

= 36846081,9 : 80 = 368460,82.

Вычислим центральные моменты.

= 64,69.

= -17371,9 : 100 = -173,72.

= 1063677 : 100 = 10636,77.

Асимметрия:  = -0,334.

Эксцесс:  = -0,454.

Вычислим  ошибки асимметрии и эксцесса.

= 0,24.

=

= 0,478.

На основании полученных результатов  можно сделать вывод о том, что данное распределение генеральной совокупности является нормальным.

Проверим  гипотезу о нормальном распределении. Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона:

,  где  - эмпирические частоты, - теоретические частоты нормального закона распределения. , где n - объем выборки, h - длина частичного интервала.

Составим  таблицу:

Получаем  = 8,982.

Найдем число степеней свободы  7 - 1 - 2 = 4.

По таблице критических точек  распределения  по уровню значимости, равному 0,05 и числу степеней свободы, равному 7 найдем = 9,488.

Поскольку наблюдаемое значение критерия меньше критического значения, то степень расхождения теоретических и эмпирических частот незначима и гипотезу о нормальном распределении случайной величины необходимо принять.

Построим  на одном чертеже гистограмму  эмпирического распределения и  соответствующую нормальную кривую.

Как видно  из гистограммы, нормальная кривая имеет колоколообразную форму. Эта форма является отличительной чертой нормального распределения.

Задание 2. Для исследования зависимости  объема производства (Y) от основных фондов (X) получены статистические данные по 55 предприятиям за год.

а) Вычислить  групповые средние  и , построить корреляционные поля;

б) предполагая, что между х и у существует линейная корреляционная зависимость

• найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на корреляционных полях;
• вычислить коэффициенты корреляции и детерминации, сделать выводы о тесноте и направлении связи;
• вычислить среднюю абсолютную процентную ошибку; для коэффициента корреляции генеральной совокупности; определить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности a = 0,05.

Решение:

Найдем групповые средние и .

Вычислим середины интервалов Y и составим расчетную таблицу.

Вычислим  по корреляционной таблице условные средние y.

x₁ =12,5; y₁ = 255;

x₂ = 17,5; y₂ = (265×3 + 275×1) : 4 = 267,5;

x₃ = 22,5; y₃ = (275×2 + 285×3) : 5 = 281;

x₄ = 27,5; y₄ = (285×3 + 295×8 + 305×2) : 13 = 294,23;

x₅ = 32,5; y₅ = (285×1 + 295×9 + 305×7) : 17 = 298,53;

x₆ =37,5; y₆ = (305×6 + 315×2 + 325×1) : 9 = 309,44;

x₇ =42,5; y₇ = 325×3 : 2 = 325;

x₈ =47,5; y₈ = 335×2 : 2 = 335;

x₉ =52,5; y₉ = 345×1 : 1 = 345.

Найдем

= (12,5×1 + 17,5×4 + 22,5×5 + 27,5×13 + 32,5×17 + 37,5×9 + 42,5×3 +

+ 47,5×2 + 52,5×1) : 55 = 31,23;

= (12,5²×1 + 17,5²×4 + 22,5²×5 + 27,5²×13 + 32,5²×17 + 37,5²×9 + 42,5²×3 +

+ 47,5²×2 + 52,5²×1) : 55 = 1037,16;

  = (255×1 + 265×3 + 275×3 + 285×7 + 295×17 + 305×15 + 315×2 + 325×4 +

+ 335×2 + 345×1) : 55 = 298,27;

 = (255²×1 + 265²×3 + 275²×3 + 285²×7 + 295²×17 + 305²×15 + 315²×2 +

+  325²×4 +  335²×2 + 345²×1) : 55 = 89279,55;

= 7,864;

= 17,736.

Рассчитаем  .

=(12,5×255×1 + 17,5×265×3 + 17,5×275×1 + … + 47,5×335×2 + 52,5×345×1) : 55 =

= 9444,77.

Коэффициент корреляции найдем по формуле:

= 0,9306.

Коэффициент корреляции положителен близок к единице, это говорит о том, что между что между указанными признаками существует тесная прямая корреляционная зависимость.

Подставим найденные  значения в формулу уравнения  регрессии Y по X.

Получим:  Þ y_x = 2,1x + 232,7.

Рассчитаем по этому уравнению  значения .

x₁ =12,5; y₁ = 2,1× 12,5 + 232,7 = 258,94;

x₂ =17,5; y₂ = 2,1× 17,5 + 232,7 = 269,44;

x₃ =22,5; y₃ = 2,1× 22,5 + 232,7 = 279,94;

x₄ =27,5; y₄ = 2,1× 27,5+ 232,7 = 290,44;

x₅ =32,5; y₅ = 2,1× 32,5 + 232,7 = 300,94;

x₆ =37,5; y₆ = 2,1× 37,5 + 232,7 = 311,44;

x₇ =42,5; y₇ = 2,1× 42,5 + 232,7 = 321,94.

x₈ =47,5; y₇ = 2,1× 47,5 + 232,7 = 332,44.

x₉ =52,5; y₇ = 2,1× 52,5 + 232,7 = 342,94.

Подставим найденные значения в  формулу уравнения регрессии X по Y.

Получим:  Þ x_y = 0,41y – 91,06.

Построим  графики прямых регрессии и эмпирические точки регрессии.

Вычислим  коэффициент детерминации:

R² = 0,9306² = 0,8661.

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 56,6% вариации объема производства (Y) обусловлено вариацией размера основных фондов (X).

Вычислим  среднюю абсолютную процентную ошибку.

С этой целью  составим вспомогательную таблицу.

Таким образом, средняя абсолютная процентная ошибка A_ср составляет 1,52%. Отсюда делаем вывод, что построенное уравнение регрессии Y на X очень хорошо аппроксимирует исходные данные.

Определим для коэффициента корреляции генеральной совокупности доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности a = 0,05.

Применим  формулу:

где - квантиль нормального распределения. Для вероятности 1 – a = 0,95 он равен 1,96.

Получим: