Статистическая обработка данных. 4

Вариант 1

По исходным данным табл.1:

1. Проверить первичную информацию по факторному признаку (средняя стоимость основных фондов) на однородность и нормальность распределения. Исключить резко выделяющиеся единицы.
2. Постройте статистический ряд распределения организаций по факторному признаку. Число групп определить по формуле Стерджесса.
3. Построить графики полученного ряда распределения (гистограмму, кумуляту).
4. Рассчитайте характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, определить значения моды и медианы.
5. Построить график кривой Лоренца. Сделать выводы о степени концентрации единиц по изучаемому признаку.
6. Полагая, что данные представляют собой 10% простую случайную выборку, с вероятностью 0,954 определить доверительные интервалы, в которых будет находиться средняя величина факторного признака в генеральной совокупности.
7. Проанализировать зависимость результативного признака от факторного. Анализ выполнить в следующей последовательности:

• установить факт наличия корреляционной зависимости и ее направление с использованием групповой корреляционной таблицы, дать графическое изображение эмпирической линии связи;

• проверить правило сложения дисперсий. Сформулировать вывод о степени влияния факторного признака на величину результативного с помощью эмпирического корреляционного отношения;
• измерить степень тесноты связи с помощью линейного коэффициента корреляции. Проверить возможность использования линейной функции в качестве формы уравнения;
• рассчитать параметры уравнения парной зависимости, оценить возможность ее практического применения с использованием средней квадратической ошибки. Дать оценку результатов исследования взаимосвязи в целом.

Таблица 1

Статистическая информация о результатах

производственной деятельности организаций

Для проверки первичной информации на однородность, построим точечную диаграмму  зависимости Y(X), т.е. зависимости объема продукции от стоимости ОПФ (рис.1).

Рисунок 1 Зависимость Y(X)

Как видим, совокупность не имеет «выпадающих» точек, поэтому может использоваться для выполнения задания.

Чтобы разбить предприятия на группы, определим сначала их количество по формуле Стерджесса:

n = 3,322*lgN, где

N – число единиц изучаемой совокупности, N = 30.

n = 3,322*lg30 = 3,322*1,477 = 4,9

Примем n = 5. Найдем величину интервала по формуле:

                      h = (СОФ^max - СОФ^min)/5  , где

 СОФ^max , СОФ^min - максимальное и минимальное значения стоимости основных фондов:

                     h = (345 – 108)/5 = 47,4 (млн.руб.)

Примем величину интервала, равной 48 млн.руб. Получим следующие размеры интервальных групп:

1 группа: 108 - 156 млн.руб.

2 группа: 156 - 204 млн.руб.

3 группа: 204 – 252 млн.руб.

4 группа: 252 - 300 млн.руб.

5 группа: более 300 млн.руб.

Построим ряд распределения  предприятий по интервалам (табл.2).

Таблица 2 

Группировка предприятий по стоимости основных фондов

Полученный ряд  распределения показывает, что две группы предприятий (по 8 из 30) имеют значение стоимости основных фондов в интервалах 108-156 и 204-252 млн.руб., а самая малочисленная группа              ( 3 из 30) имеет стоимость основных фондов более 300 млн.руб.

Построим графики  полученного ряда распределения: гистограмму и кумуляту (рис.2, 3).

Рисунок 2 Гистограмма

Рисунок 3 Кумулята ряда распределения

Гистограмма строится для интервальных вариационных рядов, для ее построения по оси абсцисс откладывают варианты, а по оси ординат – частоты, затем на отрезках, соответствующих интервалам строят прямоугольники. По данной гистограмме видно, что форма распределения предприятий в изучаемой совокупности отличается от вида нормального распределения (велико значение количества предприятий в первой группе).

Кумулята строится по накопленным частотам (последняя графа табл.2). Для интервального ряда она начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината – нулю. Абсциссы других точек соответствуют концам интервалов, а ординаты – накопленным частотам.

Мода – это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте) – у нас два таких интервала – 1 и 3, возьмем 3 интервал 204-252 млн.руб. и определим значение модальной величины признака по формуле:

где x₀ – нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту), равна 204 ;

i – величина модального интервала, равна 48;

f_Mo – частота модального интервала, равна 8;

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному, равна 6;

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным, равна 5.

(млн.руб.)

Обычно значение моды показывает, что большинство предприятий имеет такую величину  основных фондов, но так как в данном случае имеем два одинаковых по частоте интервала (1 и 3), то полученное значение просто является одним из средних показателей.

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана (у нас это интервал 205-252 млн.руб.), а затем — значение медианы по формуле:

где x₀ – нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот – у нас это третий интервал), равна 204;

i – величина медианного интервала, равна 48;

S_Me-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному, равна 14;

f_Me – частота медианного интервала, равна 8.

(млн.руб.)

Эта величина делит ряд на две  равные части по числу предприятий.

Медиану можно найти и по графику  кумуляты, если опустить перпендикуляр из точки пересечения кривой с ординатой у = 15 (половина совокупности), видим, что медиана равна примерно 210 млн.руб.

2. Числовыми характеристиками ряда  распределения являются: средняя  арифметическая (взвешенная), дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Среднюю арифметическую найдем по формуле:

x_i, f_i – соответственно варианты и частоты признаков.

Дисперсию найдем по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии.

Коэффициент вариации равен:

Для удобства вычислений составим расчетную  таблицу (табл.3).

Таблица 3

Расчетная таблица для определения  параметров

ряда распределения предприятий по объему выпуска продукции

Средняя арифметическая равна:

Дисперсия равна:

Среднее квадратическое отклонение равно:

(млн.руб.)

Коэффициент вариации равен:

Этот показатель используют для  сравнения колеблемости одного и  того же признака в нескольких совокупностях  с разной средней арифметической, а также как характеристику однородности данной совокупности, которая считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Выводы:

 Полученное значение средней  арифметической показывает, что  среди 30 предприятий данной отрасли промышленности средняя величина производственных фондов составляет 210,4 млн.руб. Среднее квадратическое отклонение составляет 62,6 млн.руб., т.е. большинство предприятий имеют объем выпуска продукции в пределах от 148  до 273 млн.руб. Коэффициент вариации равен 29,7%, что говорит об однородности изучаемой совокупности.

Для построения кривой Лоренца, характеризующую  степень концентрации предприятий по стоимости основных фондов, рассчитаем суммарную стоимость ОФ по группам (в % от общей суммы ОФ по всей совокупности) и количество предприятий в группах (в % от общего размера совокупности), данные представим в виде таблицы (табл.4).

Таблица 4

Данные для построения кривой Лоренца

По оси абсцисс будем откладывать % предприятий, по оси ординат % суммы  ОФ – оба показателя нарастающим  итогом (рис.5).

Рисунок 5 Кривая Лоренца

Соединив начало координат и  последнюю точку кривой прямой линией, т.н. линией равенства, (обозначена пунктиром), можно выяснить характер распределения стоимости ОФ в изучаемой совокупности. Отношение площади полученного сегмента к площади треугольника (пунктирного) называется коэффициентом Джинни. Чем меньше этот коэффициент, тем меньше неравномерность распределения. Видно, что величина коэффициента Джинни значительно меньше 1,0, поэтому можно сделать вывод о небольшом различии в групповых суммах ОФ.

Считая выборку 10%, простой, случайной, определим с вероятностью 0,954 доверительные интервалы, в которых будет находиться средняя величина факторного признака (стоимости ОФ) для генеральной совокупности.

Для случайного бесповторного отбора расчетная формула ошибки выборки для выборочной средней имеют вид:

где  S² – выборочная дисперсия;

        n – объем выборки;

        N – объем генеральной совокупности;

Предельные  ошибки выборки, по которым находится  доверительный интервал, вычисляют  по формулам:

t – коэффициент доверия, равный аргументу функции Лапласа для заданной вероятности (для g = 0,954 t = 2,0).

По условию выборка 10%, значит

Выборочная  дисперсия определена ранее: S² = 3914,2.

Найдем  ошибку выборки (для средней):

Предельная ошибка:

Доверительный интервал для генеральной  средней:

210,4±21,6 = 188,8..232,0

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что генеральная средняя выпуска продукции на указанных предприятиях лежит в пределах 188,8..232,0 млн.руб.

Установим наличие и характер связи между признаками среднегодовая стоимость основных фондов и выпуск продукции, образовав пять групп с равными интервалами по обоим признакам, методами:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

Примем объем среднегодовой стоимости основных фондов  за факторный признак (х),  по  которому будем группировать предприятия, а выпуск продукции будет результативным признаком (у). Используем полученную ранее разбивку предприятий на группы по величине ОФ.

Для определения наличия зависимости  между факторным признаком– х, и результативным признаком – у, проведем аналитическую группировку, образовав пять групп с равными интервалами.

По каждой группе и всей совокупности в целом определим: число предприятий, среднегодовую стоимость основных фондов – всего и в среднем на одно предприятие, объем выпуска продукции – всего и в среднем на одно предприятие. Результаты оформим в рабочей (табл.5) и в аналитической (табл.6) таблицах.

                                                                          Таблица 5

Рабочая таблица группировки предприятий по среднегодовой стоимости

основных фондов

Таблица 6

Аналитическая таблица группировка предприятий 

Аналитическая группировка показала наличие прямой связи между  среднегодовой стоимостью ОФ и объемом выпуска продукции  (в расчете на одно предприятие) – чем больше среднегодовая стоимость ОФ, тем больше объем выпуска продукции: от 127,9 до 330,0 млн.руб. основных фондов и от 429,3 до 1459,2 млн.руб. объема выпуска продукции.

Для проверки наличия корреляционной связи между этими признаками, составим рабочую (табл.7) и корреляционную таблицу (табл.7а). Для составления рабочей таблицы используем полученные интервалы разбивки предприятий по среднегодовой стоимости ОФ, а величину интервалов по объему выпуска продукции рассчитаем по формуле:

h_ОВП = (ОВП_max  - ОВП_min )/5 = (1509 – 336)/5 = 235 (млн.руб.)

        Таблица 7

Рабочая таблица

Заполним таблицу следующим  образом: просматривая показатели всех 30 предприятий, будем отмечать «*», если данные какого-то предприятия попадают в соответствующую клетку табл.7. Обозначим количество предприятий, отмеченных в клетках, цифрами (табл.7а).

Таблица 7а

Корреляционная таблица

Характер расположения количества предприятий в клетках табл.7а позволяет утверждать, что между факторами Х и Y имеется прямая корреляционная связь.

1. Измерим тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

4. Для определения тесноты связи  между среднегодовой стоимостью ОПФ и объемом выпуска продукции  найдем эмпирическое корреляционное отношение по формуле:

 где

s_х² - межгрупповая дисперсия результативного признака Y (стоимости ОФ), характеризующая его вариацию за счет группировочного признака Х (объема выпуска продукции) и определяемая по данным таблицы 8 по формуле:

 где

групповая средняя результативного  признака Y;

общая средняя (по всем группам) результативного признака Y;

  ¦ - число предприятий в группе;

s_у² - общая дисперсия результативного признака Y, определяемая по формуле:

 где

 объем выпуска продукции на каждом предприятии, млн.руб.;

 объем выпуска продукции по всем предприятиям, млн.руб.;

n - общее число предприятий.

Для нахождения межгрупповой дисперсии  составим расчетную таблицу (табл.8). Значения групповых средних и общей средней результативного признака у возьмем из таблицы 6.

Таблица 8

Расчетная таблица для  нахождения межгрупповой дисперсии s²_х

Расчет межгрупповой дисперсии  результативного признака.

Для расчета общей дисперсии  результативного признака составим расчетную таблицу 9.

      Таблица 9

Расчет общей дисперсии  результативного признака

Общая дисперсия результативного  признака равна:

Находим коэффициент детерминации:

Найдем эмпирическое корреляционное соотношение:

Анализ показателей группировочной таблицы и выводы.

   1. В результате разбивки  предприятий по среднегодовой стоимости ОФ на 5 групп с равными интервалами  получены следующие данные:

• корреляционная таблица указывает на наличие прямой корреляционной связи между факторным и результативным признаками;
• величина эмпирического корреляционного отношения довольно близка к 1,0, что свидетельствует о достаточно высокой тесноте связи между группировочным и результативным признаками, т.е. между среднегодовой стоимостью ОПФ и объемом выпуска продукции (связь считается тесной при величине этого показателя в пределах 0,7..1,0.

Линейный коэффициент корреляции  может принимать любые значения в пределах от –1 до +1. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Знак при линейном коэффициенте корреляции указывает на направление связи – прямой зависимости соответствует плюс, а обратной зависимости – знак минус. Считают, что если коэффициент корреляции более 0,9, то связь между исследуемыми признаками тесная. Степень тесноты связи определяется шкалой Чеддока:

Расчет линейного коэффициента корреляции производится по следующей  формуле:

,

где ,  – индивидуальные значения факторного и результативного признаков; ,  – средние значения признаков.

Расчет значений для определения  линейного коэффициента корреляции будем вести в табличной форме, табл.10.

Таблица 10

Определение линейного коэффициента корреляции