Статистическая обработка опытных данных

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования

«Российская Экономическая Академия имени Г.В.Плеханова»

Уральский филиал

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Статистическая обработка опытных данных

вариант №2

Проверила                                                                    Выполнила

Старший преподаватель                                             студентка группы 5ФК20Д

Перминова  Елена Анатольевна                                Озорнина Татьяна Анатольевна                          

Екатеринбург, 2011

Содержание

1)     Цель работы………………...……………………………………………………….3

2)     Теоретические сведения………………...………………………………………….4

3)     Построение диаграммы распределения точек…………………...………………. 5

4)     Составление интервального и дискретного статистических рядов…………..…6

5)     Построение гистограммы и полигона частот…...………………………………. .7

6)     Вычисление основных выборочных характеристик………...……………………8

7)     Определение типа теоретического распределения методом моментов…...….. 10

8)     Проверка правдоподобия гипотезы по критерию Пирсона………………...…. 11

9)     График теоретической кривой……………………………………………...…….12

10) Список литературы……………………………….…………………………… ..13

Цель работы

     В ходе работы необходимо научиться обрабатывать статистические данные, используя методы математической статистики.

     Перед нами стоят следующие основные задачи:

1)                 уметь составлять дискретные и интервальные статистические ряды;

2)                 строить гистограмму и полигон частот;

3)                 вычислять основные выборочные характеристики;

4)                 уметь определять тип теоретического распределения, используя метод моментов;

5)                 уметь проверять достоверность выдвинутой гипотезы с помощью критерия согласия Пирсона;

6)                 уметь строить график теоретической кривой.

Теоретические сведения

     Исходным материалом статистических исследований является совокупность результатов наблюдений, представляющих собой первичный статистический материал.

     Объект статистического наблюдения – совокупность объединенных общим признаком явлений или предметов, подвергаемых наблюдению.

     Статистические данные – это сведения о том, какие значения принял интересующий исследователя признак.

Статистический ряд – это перечень всех возможных значений варианты, соответствующих им частот и относительных частот.

     Если варианты расположенные в порядке возрастания или убывания, то они образуют вариационный ряд.

     Если наблюдение организованно так, что исследованию подлежат все элементы совокупности, то такая статистическая совокупность называется генеральной.

     Если исследованию подлежит только часть элементов генеральной совокупности, то такая совокупность называется выборочной или выборкой.

     Числа mi ,показывающие сколько раз различные варианты встречаются в ряду, называются частотами.

     Отношение частот к объему выборки называется относительной частотой.

     Полигон – ломаная, проходящая через точки (x1 ; m1), (x2 ; m2), …, если это полигон частот, и проходящая через точки (x1;p1*), (x2;p2*), …, если это полигон относительных частот.

     Гистограмма – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы длины h. А высота ступеньки – H=pi*/h.

Построение Диаграммы распределения точек

Даны статистические данные из 100 точек.

X min = 0,1

X max = 49,4

(0;50)

h = (Xmin - Xmax )/k,  h = 5

k = 10

..

…..

…..

…..

…..

…..

…..     …

…..     …..            .

…..     …..   …..   …..     .                  …

…..     …..   …..   …..     …..             …..

Составление интервального и дискретного статистических рядов

     Построим интервальный статистический ряд, при этом вводим следующие обозначения: X – возможные значения случайной величины;

                        mi – частоты;

                        pi* – относительные частоты;

                        H – высота ступени.

pi* = mi/n

H = pi*/h

Интервальный статистический ряд

     Построим дискретный статистический ряд, для этого находим каждое Xi , как среднее арифметическое конца и начала интервала.

Построение гистограммы и полигона частот

Интервальный вариационный ряд изображается в виде гистограммы

              Дискретный вариационный ряд изображается в виде полигона частот.

Вычисление основных выборочных характеристик

Числовые характеристики вариационного ряда.

I.                    Начальные моменты

Общая формула вычисления начальных моментов

αm = ∑xim pi, где k – число интервалов (k = 10)

α1 = ∑xi pi ,  α2 = ∑xi2 pi ,  α3 = ∑xi3 pi ,  α4 = ∑xi4 pi

II.  Центральный момент распределения

µ2 = α2 – α12

µ2 = 228,375 – 10,452 = 119,1725

µ3 = α3 – 3α1α2 + 2α13

µ3 = 6829,6875 – 7159,556 + 2282,33225 = 1952,464

µ4 = α4 – 4α1α3 + 6α12α2 – 3α14

µ4 = 241614,8– 289660,9 +149634,7 – 35775,558 = 65813,07

Вычислим выборочные характеристики:

1)     Х = α1   – выборочная средняя

2)     S2 = α2 – α12   – дисперсия

3)     S = S2   – среднеквадратическое выборочное

4)     V = S/X * 100%   – коэффициент вариантности

5)     AS = µ3/S3 – коэффициент асимметрии

6)     ES = µ4/S4 – 3   – эксцесс

1)     X = 10,45

2)     S2 = 228,375 – 10,452 = 119,1725

3)     S = 10,91661578

4)     V = 10,91661578/10,45 * 100% = 104,4652%

5)     AS = 1952,464/1300,96 = 1,500786

6)     ES = 65813,07/14202,08 – 3 = 4,62336 – 3 =1,634043

        Вывод: в результате вычисления выборочных характеристик, учитывая значение коэффициента вероятности V,который близок к 100% (104,4652%), я выдвигаю гипотезу о том, что случайная величина распределена по показательному закону.

Определение типа теоретического распределения методом моментов

      Следующим этапом статистической обработки является подбор теоретического распределения, которое было бы достаточно близко к построенной гистограмме. В качестве теоретической кривой распределения

возьмем             λе-λe, х≥0      

                f(x)      0,   х<0

После этого осуществляем наилучший подбор параметров распределения,

показательное распределение имеет один параметр λ.

      Для наилучшего подбора параметров распределения будем руководствоваться методом моментов, который состоит в том, что мы предполагаем, что наилучшими значениями параметра теоретического распределения являются те, для которых теоретические значения первых двух моментов распределения, совпадают с выборочными характеристиками. λ = 1/X = 1/10,45 = 0,095694

Проверка правдоподобия гипотезы по критерию Пирсона

     Проверка достоверности выдвинутой гипотезы о теоретическом распределении по критерию согласия Пирсона (χ2). График функции f(х) может очень сильно отличаться от гистограммы или полигона относительных частот. Для того чтобы оценить это расхождение существует критерий Пирсона.

     Пирсон предложил экспериментально полученные данные (площади столбиков гистограммы) сравнивать с площадями соответствующих криволинейных трапеции. За меру рассогласованности Пирсон предложил взять величину χ2расчет. (суммируем последний столбик таблицы).

χ2расчет=

Для этого вычисляем число степеней свободы r = k – 2 = 6 – 2 = 4

     По таблице «Критические точки распределения» вычисляем уровень значимости α.

χ2расчет.= 9,15819118, r = 4, α > 0,05  Следовательно, выдвинутая нами гипотеза о том , что случайная величина распределена по показательному закону с параметром λ, является правдоподобной, что доказывает критерий Пирсона ( т.к. α > 0,05).

График теоретической кривой