Статистические методы. 3

Имеются следующие выборочные данные за период по предприятиям розничной торговли одной из областей региона (выборка 2%-ная механическая):

Таблица 1 – Исходные данные

Задание № 1

По исходным данным:

1.Постройте  статистический ряд распределения  организаций    (предприятий) Признак – торговая площадь

Число групп – пять.

2.Найдите моду  и медиану построенного интервального  ряда распределения графическим  и расчетным методами.

3.Рассчитайте характеристики интервального  ряда распределения: среднюю арифметическую, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Сделайте выводы по результатам  выполнения пунктов 1, 2, 3 задания.

4. Найдите среднюю арифметическую  простую по исходным данным.

Решение:

1. Построение интервального  ряда распределения  предприятий по признаку торговая площадь

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле

Определение величины интервала  при заданных k = 5,

x_max = 340 м², x_min = 140 м².

При h = 40 м² границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число предприятий, входящих в каждую группу (частоты групп).

Процесс группировки  единиц совокупности по признаку торговая площадь представлен во вспомогательной (разработочной) таблице.

Таблица 3

Разработочная таблица для построения интервального  ряда распределения

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируем итоговую таблицу 4, представляющую интервальный ряд распределения предприятий  по размеру торговой площади.

Таблица 4

Распределение предприятий по размеру торговой площади

Помимо частот групп в абсолютном выражении  в анализе интервальных рядов используем ещё три характеристики ряда. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле

Таблица 5

Структура предприятий  по размеру торговой площади

Вывод.  Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по размеру торговой площади не является равномерным: преобладают предприятия с торговой площадью 220 – 260 м²  (это 10 предприятий, доля которых равна 33 %);  27% предприятий имеют площадь 260-300 м² (это 8 предприятий); 27% предприятий имеют площадь 180 – 220 м² (это 8 предприятий).

1.2. Нахождение  моды и медианы полученного  интервального ряда распределения графическим методом и  путем расчетов

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Конкретное  значение моды для интервального  ряда рассчитывается по формуле:

                                               (3)

Согласно табл.1.3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 220-260 м², так как его частота максимальна (f₃ = 10).

Расчет моды по формуле (3):

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий  наиболее распространенный размер торговой площади  характеризуется средней величиной  240 м².

Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).

Конкретное  значение медианы для интервального  ряда рассчитывается по формуле:

,                                       (4)

Для расчета  медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее  (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

В нашем случае  медианным интервалом является интервал    220-260 м², так как именно в этом интервале накопленная частота S_j = 20 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности     ( = ).

Расчет значения медианы по формуле (4):

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина предприятий  имеют в среднем размер торговой площади  не более 240 м², а другая половина – не менее 240 м².

1.3. Расчет  характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик  ряда распределения  , σ, σ², V_σ на основе табл. 5 строится вспомогательная таблица 6 ( – середина j-го интервала)

Таблица 6

Расчетная таблица  для нахождения характеристик ряда распределения

Расчет средней  арифметической взвешенной:

                                   (5)

Расчет среднего квадратического отклонения:

(6)

Расчет дисперсии:

σ² =41,31²=1706,52

Расчет коэффициента вариации:

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средний размер торговой площади составляет 240 м², отклонение от среднего размера в ту или иную сторону составляет в среднем 41,31 м² (или 17,21%), наиболее характерные значения размера торговой площади находятся в пределах от 198,69 м² до 281,31м² (диапазон ).

Значение V_σ = 17,21% не превышает 33%, следовательно, вариация торговых площадей  в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна.

1.4.Вычисление  средней арифметической по исходным  данным

Для расчета применяется  формула средней арифметической простой:

,                             (8)

Причина расхождения  средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что  по формуле (8) средняя определяется по фактическим  значениям  исследуемого  признака  для  всех  30-ти предприятий, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

Задание №2.

По исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер связи между признаками торговая площадь и розничный товарооборот на 1 квадратный метр торговой площади (определяется делением товарооборота на торговую площадь предприятия) методом аналитической группировки;
2. Измерьте тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.
3. Оцените статистическую значимость коэффициента детерминации

Сделайте выводы по результатам выполнения Задания 2.

Выполнение  Задания 2

Целью выполнения данного Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи и измерение ее тесноты.

Факторным является признак Торговая площадь (X), результативным – признак Товарооборот на 1 квадратный метр (Y).

1. Установление  наличия и характера связи  между признаками Торговая площадь Товарооборот на 1 квадратный метр методом аналитической группировки

В таблице 7 представим расчет розничного товарооборота на 1 квадратный метр площади.

Таблица 7

Расчет товарооборота  на 1 квадратный метр площади

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х (торговая площадь предприятия) и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y (розничный товарооборот на 1 квадратный метр). Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Макет аналитической  таблицы представлен в таблице 8.

Таблица 8

Макет зависимости товарооборота  на 1 кв. метр от размера

торговой площади

Группы предприятий  по размеру торговой площади были определены в Задании 1.

Среднее значение результативного признака по каждой группе   (товарооборот на 1 квадратный метр торговой площади)  определяем по логической формуле:

Для расчета  показателей строим вспомогательную  таблицу 9:

Таблица 9

Вспомогательная таблица для построения аналитической группировки

Построенную аналитическую  группировку представляет табл. 10.

Таблица 10

Зависимость товарооборота  на 1 кв. метр от размера

торговой площади

Вывод. Анализ графы 2 и 5 табл. 10 показывает, что с увеличением торговой площади предприятий от группы к группе возрастает и розничный товарооборот на 1 кв. метр площади по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2. Измерение тесноты корреляционной связи

Показателями  тесноты связи являются эмпирическое корреляционное отношение  и эмпирический коэффициент детерминации .

Эмпирический  коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием факторного признака. Рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

, где

– общая дисперсия признака Y;

– межгрупповая (факторная) дисперсия  признака Y.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов. Этот показатель вычисляется по формуле:

, где

y_i – индивидуальные значения результативного признака;

 – общая средняя значений  результативного признака;

Общий средний  товарооборот на 1 квадратный метр по всем предприятиям выборочной совокупности рассчитываем по логической формуле:

(тыс. руб./м²)

Для расчета  общей дисперсии  строится таблица 11.

Таблица 11

Вспомогательная таблица для расчета общей  дисперсии