Статистика. Задачи. 2

Задача 1

      В приложении А приведены данные о выручке (нетто) от продажи товаров, продукции, работ, услуг (без НДС, акцизов и других аналогичных платежей) микропредприятий одной из отраслей экономики региона. Используя таблицу случайных чисел1 или их генератор, включенный в различные статистические (математические) пакеты программ обработки данных на ПЭВМ, сформируйте массив случайных чисел и произведите 30-процентную простую случайную бесповторную выборку.

      По  выборочным данным:

    1. постройте интервальный ряд распределения, образовав четыре группы с равными интервалами, представьте его в табличной и графической форме;
    2. исчислите средний размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг одного микропредприятия, а также долю микропредприятий с размером выручки более 20 млн руб.;
    3. с вероятностью 0,954 определите доверительные интервалы, в которых можно ожидать генеральные параметры: а) средний размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг одного микропредприятия; б) долю микропредприятий с размером выручки более 20 млн руб.; в) общий размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг микропредприятий региона; г) число микропредприятий с размером выручки более 20 млн руб.

      Подтвердите достоверность полученных оценок расчетом генеральных характеристик.

      Сделайте выводы. 
 
 
 
 
 

     Решение

1) 100 предприятий * 30% = 30 предприятий в выборке

По таблице  случайных чисел выбираем 30 предприятий. Номер зачетной книжки 02, значит в  таблице случайных чисел на пересечении  строки 0 и столбца 2 расположено  число 3156. Так как генеральная совокупность состоит из 100 предприятий, возьмем первые 2 цыфры – 31. Далее берем номера предприятий вниз по столбцу.  

РЕЗУЛЬТАТЫ  ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

МИКРОПРЕДПРИЯТИЙ  РЕГИОНА за отчетный период

(данные  условные)

Номер

предпри-ятия

 Выручка от продажи  товаров, продукции, работ, услуг, млн  руб.
31 14
78 20
25 12
50 22
33 3
53 15
88 33
17 5
21 16
76 10
63 24
59 4
45 38
98 8
23 25
52 24
36 13
48 27
80 13
08 10
11 8
69 5
60 18
61 16
47 14
95 7
70 10
82 6
34 2
29 19

 

(Хmax – Xmin)/n  

(38 – 2) / 4 = 9 млн.руб.  

Х, млн. руб. (выручка) f, (число предприятий  в выборке)
2 –  11 12
11 –  20 10
20 –  29 6
29 - 38 2

 
 

Наибольшее число  предприятий с объемом выручки  от 2 до 11млн.руб.

2)

Х, млн. руб. (выручка) f, (число предприятий  в выборке) Среднее значение, т.е. середина интервала `x 
2 –  11 12 6,5
11 –  20 10 15,5
20 –  29 6 24,5
29 - 38 2 33,5
Итого 30  

 

Определим средний размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг одного микропредприятия. 

                   S хf

      `x    = ¾¾¾¾,

                     Sf 
 

             6,5*12 + 15,5*10 + 24,5*6 + 33,5*2 

     `x = ---------------------------------- = 14,9 млн. руб

                             30

     8 предприятий имеет размер выручки более 20 млн. руб, что составляет 0,27 или 27%

3) а) Средняя ошибка равна µ=σ /

Рассчитаем среднее  квадратическое отклонение (взвешенное): 
 
 
 
 

  =8.36млн.руб 

Следовательно, средний размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг одного микропредприятия колеблется в пределах:

14,9млн.руб ±  8,36млн.руб, т.е. от 6,54млн.руб до23,26млн.руб 

     µ=8.36  / =1.53млн.руб

     При применении выборочного метода определим пределы за которые не выйдет величина конкретной ошибки выборочного наблюдения.

     Ошибка  выборки, исчисленная с заданной степенью вероятности, представляет предельную ошибку выборки.

     При значении  t, равном 2, вероятность  равна 0,954

     Определим предельную ошибку при заданной степени вероятности:

     Δ = µ * t = 1,53 * 2 =±3,06

     Это означает, что если бы из одной и  той же генеральной совокупности было произведено большое число  случайных выборок одинаковой численности, то в среднем на 1000 выборок приходилось  бы 954 таких, в которых отклонение выборочной средней от генеральной не превышало бы 3,06, и только в двух выборках отклонение могло бы выйти за эти пределы.

     Отклонение  выборочной средней от средней генеральной  составило ±3,06млн. руб. Чем меньше величина отклонения, тем точнее выборочная средняя воспроизводит генеральную среднюю.

     б) Для определения доли (удельного  веса), изучаемого признака используют формулу средней ошибки выборки, которая имеет следующий вид:

     µ =

     Доля  данного признака в выборочной совокупности равна:

     8 / 30 =0,27

     Отсюда  средняя ошибка доли равна:

     µ = =±0,08106

     При заданной степени вероятности (0,954) предельная ошибка доли равна:

     Δp = t = ±0,08106*2 = ±0.16212

     в) Пределы генеральной доли определяем по формуле:

     P = ω± Δp

     Отсюда  P = 0,27 ± 0.16212 

      г)

      n =

      n = = 52 предприятия

      Чтобы с вероятностью 0,954 можно было утверждать, что предельная ошибка доли микропредприятий с размером выручки более 20 млн руб. не превышала 0,16212 необходимо из 100 предприятий отобрать 52. 

Задача 2

     Используя статистическую информацию, размещенную  в сети Интернет на официальном сайте  Федеральной службы государственной  статистики в Центральной базе статистических данных (ЦБСД) или официальных публикациях Росстата (режим удаленного доступа http://www.gks.ru), постройте временной ряд за последние 8 – 10 лет по любому из заинтересовавших Вас показателей. Проанализируйте данные. Для этого:

  1. определите все возможные цепные, базисные и средние показатели анализа ряда динамики;
  2. произведите сглаживание уровней временного ряда методами укрупнения интервалов, скользящей средней, а также аналитического выравнивания (интервал укрупнения и период скольжения определите самостоятельно).
  3. осуществите аналитическое выравнивание уровней анализируемого динамического ряда, проведите на его основе экстраполяцию показателя на среднесрочную длину прогнозного горизонта (2-3 года).

     Для визуализации анализируемых, расчетных и прогнозируемых данных используйте табличный и графический методы.

      Сделайте выводы. 

      Решение:

      1)

Динамика  среднедушевых доходов  населения по Российской Федерации 

    Годы рублей в  месяц 
    2001 3 062,0
    2002 3 947,2
    2003 5 170,4
    2004 6 410,3
    2005 8 111,9
    2006 10 196,0
    2007 12 602,7
    2008 14 948,0
    2009 17 008,6
    2010 18 881,3

 

В среднем среднедушевой доход за период с 2001 по 2010 год можно определить по формуле средней арифметической простой: 

=10033,84 рублей в месяц

Рассчитаем абсолютный прирост, он характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный период времени.

а) цепной абсолютный прирост:

Δyц = Δyi – Δyi-1

б) базисный абсолютный прирост:

Δyб = Δyi – Δy0

За базу возьмем 2001 год

Обобщением цепных абсолютных приростов за период является средний абсолютный прирост:

=1757.7 

Следовательно, в среднем за каждый год среднедушевой доход возрастал на 1757,7 рублей в месяц

Темп роста - это отношение двух уровней ряда:

а) цепной темп роста:

Тц =

б) базисный темп роста:

Тб =

Обобщением цепных темпов роста за период является средний темп роста, который исчисляется по формуле:

= = =1.23 

Темп прироста определяется по формуле:

а) цепной:

ΔТц = Тц - 1

б) базисный:

ΔТб = Тб - 1

Средний темп прироста может быть найден вычитанием единицы  из среднего темпа роста:

= -1=1.23-1=0.23 *100%=23%

Следовательно, в среднем за каждый год среднедушевой доход возрастал на 23%

Годы рублей в  месяц  Δyц Δy0 Тц Тб ΔТц ΔТб А1%
2001 3 062,0 - - - - - - -
2002 3 947,2 885.2 885,2 1,29 1,29 0,29 0,29 30,52
2003 5 170,4 1223.2 2108,4 1,31 1,69 0,31 0,69 39,46
2004 6 410,3 1239.9 3348,3 1,24 2,09 0,24 1,09 51,66
2005 8 111,9 1701.6 5049,9 1,27 2,65 0,27 1,65 63,02
2006 10 196,0 2084.1 7134 1,26 3,33 0,26 2,33 80,16
2007 12 602,7 2406.7 9540,7 1,24 4,12 0,24 3,12 100,28
2008 14 948,0 2345.3 11886 1,19 4,88 0,19 3,88 123,44
2009 17 008,6 2060.6 13946,6 1,14 5,55 0,14 4,55 147,19
2010 18 881,3 1872.7 15819,3 1,11 6,17 0,11 5,17 170,25

 

Абсолютное значение 1% прироста определяется по формуле: 

А1% =

Каждый процент  прироста среднедушевого дохода в 2010 году составляет 170,25 руб в месяц. 

2) При выравнивании  способом скользящей средней  укрупняется интервал средней  и вместо каждого уровня заданного  ряда берутся средние из окружающих  его уровней с той и другой  стороны.  

Годы рублей в  месяц  Расчет скользящей средней Скользящие  средние среднедушевого дохода, руб. в месяц
2001 3 062,0 -  
2002 3 947,2 (3062+3947,2+5170,4)/3 4059,87
2003 5 170,4 (3947,2+5170,4+6410,3)/3 5175,97
2004 6 410,3 (5170,4+6410,3+8111,9)/3 6564,2
2005 8 111,9 (6410,3+8111,9+10196)/3 8239,4
2006 10 196,0 (8111,9+10196+12602,7)/3 10303,53
2007 12 602,7 (10196+12602,7+14948)/3 12582,23
2008 14 948,0 (12602,7+14948+17008,6)/3 14853,1
2009 17 008,6 (14948+17008,6+18881,3)/3 16945,97
2010 18 881,3 - -

 

Скользящие средние, освобожденные от случайных колебаний, неуклонно возрастают, характеризуя явную тенденцию к росту.

Аналитическое выравнивание позволяет оформить тренд  какого-либо вида функцией, например, прямой линией yt=a0+a1t как наиболее простой случай. Задача состоит в определении параметров уравнения а0 и а1 методом наименьших квадратов отклонений выравненных (трендовых) уровней ряда от фактических. Если показатель времени обозначается так, что Σt=0 (-2, -1, 0, +1, +2 и т.д.), то параметры исчисляются по формулам:

а0 = = 10033,84 рублей в месяц

а1=  

Годы рублей в  месяц (y) t t2 yt
2001 3 062,0 -9 81 -27558 7297.3
2002 3 947,2 -7 49 -27630,4 7905.42
2003 5 170,4 -5 25 -25852 8513.54
2004 6 410,3 -3 9 -19230,9 9121.66
2005 8 111,9 -1 1 -8111,9 9729.78
2006 10 196,0 +1 1 10196,0 10337.9
2007 12 602,7 +3 9 37808,1 10946.02
2008 14 948,0 +5 25 74740 11554.14
2009 17 008,6 +7 49 119060,2 12162.26
2010 18 881,3 +9 81 169931,7 12770.38
Сумма 100338,4 0 330 303352,8 -

 

По приведенным  выше формулам найдем а0 и а1.

а1= = 304,06

Уравнение прямой будет иметь вид 

= 10033,84+304,06t

Таким образом, выравненный по прямой динамический ряд среднедушевого дохода будет: 2001 год - 7297.3руб. в месяц, 2002 год - 7905.423руб. в месяц, 2003 год - 8513.543руб. в месяц, 2004 год - 9121.663руб. в месяц, 2005 год - 9729.783руб. в месяц, 2006 год - 10337.93руб. в месяц, 2007 год - 10946.023руб. в месяц, 2008 год - 11554.143руб. в месяц, 2009 год - 12162.263руб. в месяц, 2010 год - 12770.383руб. в месяц.

Представим  фактические и выравненные значения графически. 

Фактические и выравненные значения среднедушевых доходов населения

 по  Российской Федерации 

3) Полученные при анализе динамических рядов характеристики используются для получения статистических прогнозов, под которыми понимаются статистические оценки состояния в будущих периодах. Статистическое прогнозирование основано на предположении, что закономерность развития, основная тенденция, действующая в прошлом  (внутри ряда динамики), сохранится и в будущем. Такое предположение называется экстраполяцией. Прогнозирование на основе аналитического выравнивания является распространенным методом прогнозирования. Для получения прогноза используется аналитическое выравнивание тренда. Чтобы получить прогноз, достаточно в модели продолжить значение условного показателя времени ti до tn+l.

Если  уравнение прямой имеет вид:

= 10033,84+304,06t

то для 2011 года t=+11 тогда =13378,5

    для 2012 года t=+13 тогда =13986,62

Таким образом прогнозные значения среднедушевого дохода составят: 2011 год – 13378,5 руб. в месяц, 2012 год – 13986,62 руб. в месяц. 

Задача 3

     На  отчетную дату имеются данные по микрорайону города (данные условные).

Номер дома Число

этажей  в доме

 Общая площадь  дома, м2 Процент жилой  площади

в доме

 Процент жилой  площади, требующей ремонта Среднее число  жителей на одном этаже, чел.
1 2 1500 70 50 40
2 3 3000 80 30 65
3 4 8000 90 20 50

 

     Определите средние значения по каждому признаку. Напишите формулы расчета, введя условные буквенные обозначения признаков.

     Укажите виды использованных средних величин.

     Сделайте выводы.

Решение:

Среднее число этажей в доме обозначим и определим по формуле средней арифметической простой:

,

где x- отдельные  значения варьирующего признака;

n –  число единиц совокупности.

этажа

Среднюю площадь дома обозначим  определим по формуле средней арифметической взвешенной:

,

=4889м2

Средний процент жилой площади в доме обозначим  и определим по формуле средней арифметической взвешенной:

где х  – это процент жилой площади  в доме;

f –  общая площадь дома.

Средний процент жилой площади, требующей  ремонта обозначим  и определим по формуле средней арифметической взвешенной:

где х  – это процент жилой площади, требующей ремонта;

f –  процент жилой площади в доме.

 

Среднее число жителей на одном этаже  обозначим и определим по формуле средней арифметической взвешенной:

где х  – это среднее число жителей  на одном этаже;

f –  число этажей в доме.

чел

Из полученных расчетов можно сделать вывод, что  среднее число этажей в трех домах  составило 3 этажа, средняя площадь  дома составила 4889м2, средний процент жилой площади составил 85,2%, средний процент жилой площади требующей ремонта 32% и в среднем на одном этаже проживает 52 человека.


Статистика. Задачи. 2