Структурные средние: мода и медиана
СОДЕРЖАНИЕ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ВОПРОС №26 3
ТЕМА: «СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ» 8
ЗАДАЧА №14 8
ТЕМА: «ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ» И «ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ» 10
ЗАДАЧА №1 10
ТЕМА: «РЯДЫ ДИНАМИКИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ» 13
ЗАДАЧА №3 13
ЗАДАЧА №7 15
ЗАДАЧА №16 16
ЗАДАЧА №19 17
ТЕМА: «ИНДЕКСЫ» 19
ЗАДАЧА №3 19
ЗАДАЧА №7 20
ЗАДАЧА №16 21
ЗАДАЧА №19 22
ТЕМА: «КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МЕТОД ИЗУЧЕНИЯ СВЯЗИ» 25
ЗАДАЧА №4 25
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 28
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ВОПРОС №26
СТРУКТУРНЫЕ СРЕДНИЕ: МОДА И МЕДИАНА
Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности. Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е., в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами.
Вычисление среднего – один из распространенных приемов обобщения: средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.
Характеристика признака в совокупности будет более или менее типической, если средняя будет определяться для совокупности, состоящей из:
- качественно однородных единиц;
- достаточно большого числа единиц;
- единиц, которые находятся в нормальном, естественном состоянии.
Средние
величины делятся на два больших
класса: степенные средние и
К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.
В качестве структурных средних, используемых для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака, рассматриваются мода и медиана.
Мода (Мо) – чаще всего встречающийся вариант. Модой называется значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений. Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение. В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант интервала, который имеет наибольшую частоту (частность).
Медиана (Me) – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие. Медиана – это элемент, который больше или равен и одновременно меньше или равен половине остальных элементов ряда распределения. Следует помнить, что ряд должен быть упорядочен (ранжирован), данные необходимо расположить либо в порядке убывания признака, либо — его возрастания.
Основные свойства медианы:
1. Медиана не
зависит от тех значений
2. Аналитические
операции с медианой весьма
ограничены, поэтому при объединении
двух распределений с
3. Медиана обладает свойством минимальности. Его суть заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений xi от медианы представляет собой минимальную величину по сравнению с отклонением xi от любой другой величины ai.
Нахождение моды и медианы нередко происходит путем обычного просматривания ряда частот. В нем находят наибольшее число, характеризующее наибольшую частоту. Ей соответствует определенное значение признака, которое и является модой. Для нахождения медианы нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда. Для этого сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:
в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда).
Например, имеются наблюдения по стажу рабочих в бригаде: 4 года, 4 года, 5 лет, 7 лет, 10 лет. Мода в данном случае (средний стаж) равна 4 года, т.к. такой стаж встретился у двоих рабочих. Медиана же равна 5 лет.
При вычислении моды для
интервального вариационного
где:
– значение моды;
– нижняя граница модального интервала;
– величина интервала;
– частота модального интервала;
– частота интервала, предшествующего модальному;
– частота интервала, следующего за модальным.
При вычислении медианы для
интервального вариационного
где:
– искомая медиана;
– нижняя граница интервала, который содержит медиану;
– величина интервала;
– сумма частот или число членов ряда;
– сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному;
– частота медианного интервала.
К примеру, найдем
моду и медиану для следующего
интервального вариационного
Возрастные группы |
Число студентов |
Сумма накопленных частот |
до 20 лет |
346 |
346 |
20 – 25 |
872 |
1218 |
25 – 30 |
1054 |
2272 |
30 – 35 |
781 |
3053 |
35 – 40 |
212 |
3265 |
40 – 45 |
121 |
3386 |
45 лет и более |
76 |
3462 |
Итого |
3462 |
В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25–30 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (1054).
Рассчитаем величину моды:
Это значит, что модальный возраст студентов равен 27 годам.
Вычислим медиану. Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах этого интервала расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части . Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:
Это значит, что одна половина студентов относится к возрастной группе до 27,4 года, а другая – свыше 27,4 года.
Кроме моды и медианы могут быть использованы такие показатели, как квартили, делящие отсортированный (ранжированный) ряд на 4 равные части, децили – на 10 частей и перцентили – на 100 частей.
ТЕМА: «СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ»
ЗАДАЧА №14
Имеются следующие данные по отдельным фирмам АО "Азот" о выручке от реализации и среднем остатке оборотных средств:
Фирмы АО "АЗОТ" |
II квартал |
III квартал | ||
Количество оборотов оборотных средств |
Выручка от реализации, тыс. руб. |
Количество оборотов оборотных средств |
Средние остатки оборотных средств, тыс. руб. | |
1 |
314 |
12880 |
3,5 |
4240 |
2 |
278 |
10200 |
2,6 |
3670 |
3 |
291 |
13500 |
2,87 |
3210 |
Определить среднее количество оборотов оборотных средств по АО "Азот":
а) во II квартале;
б) в III квартале.
Укажите, какие виды средних использовались в задаче.
Решение:
Расчет среднего количества оборотов оборотных средств по АО «Азот»:
а) во II квартале. Применяется средняя гармоническая взвешенная, т.к. известны численные значения числителя (выручка от реализации), а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой (выручка от реализации делится на количество оборотов оборотных средств).
б) в III квартале. Применяется средняя арифметическая взвешенная, т.к. известны численные значения знаменателя (средние остатки оборотных средств), а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей (количества оборотов оборотных средств и средних остатков оборотных средств).
ТЕМА: «ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ» И «ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ»
ЗАДАЧА №1
В результате 4%-го выборочного обследования коммерческих банков о размере прибыли за год получено следующее распределение:
Размер прибыли, млн. руб. |
Число банков |
4,7-5,6 |
3 |
5,6-6,5 |
2 |
6,5-7,4 |
4 |
7,4-8,3 |
5 |
свыше 8,3 |
6 |
Итого |
20 |
По данным выборочного наблюдения определите:
- средний размер прибыли банка, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
- коэффициент вариации;
- с вероятностью 0,997 возможные пределы, в которых ожидается средний размер прибыли банка;
- с вероятностью 0,997 возможные пределы удельного веса банков с размером прибыли свыше 7,4 млн. рублей.
Решение:
Построим вспомогательную таблицу:
Размер прибыли, млн. руб. |
Число банков f (n) |
Середина интервала, x |
f | ||
4,7-5,6 |
3 |
5,15 |
-2,205 |
4,86203 |
14,59 |
5,6-6,5 |
2 |
6,05 |
-1,305 |
1,70303 |
3,41 |
6,5-7,4 |
4 |
6,95 |
-0,405 |
0,16402 |
0,66 |
7,4-8,3 |
5 |
7,85 |
0,495 |
0,24503 |
1,23 |
свыше 8,3 |
6 |
8,75 |
1,395 |
1,94603 |
11,68 |
ИТОГО |
20 |
- |
- |
- |
31,57 |
1) Для определения средней длительность пользования кредитом по выборочной совокупности (), дисперсии (σ2) и среднего квадратического отклонения (σ) произведем следующие расчеты:
s
ss
2) Коэффициент
вариации рассчитаем по
s
3) Возможные пределы, в которых ожидается средний размер прибыли банка рассчитаем следующим образом:
m,
Средняя ошибка выборки (μ) рассчитывается по формуле:
ms
s2 – средний квадрат отклонения (дисперсия) в выборке;
n – численность выборки;
N – численность генеральной совокупности.
В нашем примере при условии, что проведено 4%-ное обследование, N=500.
m
Размер возможной (допустимой) или предельной ошибки выборки рассчитывается по формуле: m, где t = 3 при p = 0,997.
Следовательно:
Итак, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний размер прибыли банка будет находиться в пределах:
4. Возможные пределы (границы), в которых находится удельный вес банков с размером прибыли свыше 7,4 млн. рублей, можно рассчитать таким образом:
mm
Условные обозначения:
W – доля данного признака в выборке;
(1-W) – доля противоположного признака в выборке;
m – количество единиц данного признака в выборке.
Итак, или 55%
m
Рассчитаем предельную ошибку выборки для доли по формуле: m где t = 3 при р = 0,997.
Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что удельный вес банков с размером прибыли свыше 7,4 млн. рублей, находится в пределах:
ТЕМА: «РЯДЫ ДИНАМИКИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ»
ЗАДАЧА №3
Внешнеторговый оборот области характеризуется следующими данными:
Год |
Внешнеторговый оборот, млн. руб. |
2005 |
998,6 |
2006 |
1040,1 |
2007 |
1215,5 |
2008 |
981,4 |
2009 |
1065,8 |
2010 |
1167,0 |
При анализе ряда динамики производства продукции исчислите:
-абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста – цепные и базисные: содержание одного процента прироста; полученные показатели представьте в таблице;
-среднегодовое производство продукции;
-среднегодовой темп роста и прироста;
-изобразите
динамику внешнеторгового
Сделайте краткие выводы.
Решение:
Год |
Производство продукции тыс. руб. |
Абсолютный прирост |
Темп роста |
Темп прироста |
Содержание одного процента прироста | |||
А% | ||||||||
2005 |
998,6 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
2006 |
1040,1 |
41,5 |
41,5 |
104,16% |
104,16% |
4,16% |
4,16% |
9,986 |
2007 |
1215,5 |
175,4 |
216,9 |
116,86% |
121,72% |
16,86% |
21,72% |
10,401 |
2008 |
981,4 |
-234,1 |
-17,2 |
80,74% |
98,28% |
-19,26% |
-1,72% |
12,155 |
2009 |
1065,8 |
84,4 |
67,2 |
108,60% |
106,73% |
8,60% |
6,73% |
9,814 |
2010 |
1167,0 |
101,2 |
168,4 |
109,50% |
116,86% |
9,50% |
16,86% |
10,658 |
S |
6468,4 |
168,4 |
||||||
Абсолютный прирост
Цепной
Базисный
Темп роста
Цепной
Базисный
Темп прироста
Цепной
Базисный
Абсолютное значение (содержание) одного процента прироста
Среднегодовое производство продукции:
Среднегодовой темп динамики (роста или снижения) исчисляется по формуле средней геометрической:
Средний темп прироста:
Согласно графику внешнеторговый оборот области за период 2005-2010 гг. ежегодно растет, но в 2008-ом произошел резкий спад.
ЗАДАЧА №7
Остатки продукции на складе на начало месяца составили (тыс. руб.)
1 января
80,2
1 февраля
85,4
1 марта
100,6
1 апреля 90,0
Вычислите среднемесячные остатки готовой продукции на складе:
1) за I квартал;
2) за II квартал;
3) за полугодие.
Решение:
Ряд динамики является моментным, т.к. уровни этого динамического ряда показывают остатки продукции на складе на определенную дату, в данном случае – на начало месяца.
Тогда среднемесячные
остатки готовой продукции
За 1 квартал (январь, февраль и март):
За 2 квартал (апрель, май и июнь):
За полугодие:
ЗАДАЧА №16
Динамика экспортных цен на сахар-песок (за тонну) из Воронежской области характеризуется следующими данными (в долл. США):
Январь |
Февраль |
Март |
Апрель |
Май |
Июнь |
Июль |
2760,9 |
2751,4 |
2614,3 |
2609,2 |
2520,0 |
2200,7 |
1910,5 |
Для изучения общей тенденции изменения цен на сахар-песок:
- произведите аналитическое выравнивание уровней ряда по прямой и выразите общую тенденцию снижения цен соответствующим математическим уравнением
- определите выравненные (теоретические) уровни ряда динамики и нанесите их на график с исходными (эмпирическими) данными;
- сделайте выводы.
Решение:
Для выравнивания ряда динамики по прямой используют уравнение:
Показателям времени t придают условное значение таким образом, чтобы их сумма была равна нулю, т.е.: = 0
В данном примере число исходных уровней ряда – нечетное (n=7), условный отсчет (t) в решении производим следующим образом:
месяцы |
Январь |
Февраль |
Март |
Апрель |
Май |
Июнь |
Июль |
t |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
+1 |
+2 |
+3 |
Далее произведем расчет необходимых значений.
Месяцы |
Эмпирические уровни ряда |
Условное обозначение времени |
|||
1 |
2760,9 |
-3 |
-8283 |
9 |
2882,5 |
2 |
2751,4 |
-2 |
-5503 |
4 |
2748,6 |
3 |
2614,3 |
-1 |
-2614 |
1 |
2614,8 |
4 |
2609,2 |
0 |
0 |
0 |
2481 |
5 |
2520,0 |
1 |
2520 |
1 |
2347,2 |
6 |
2200,7 |
2 |
4401,4 |
4 |
2213,4 |
7 |
1910,5 |
3 |
5731,5 |
9 |
2079,5 |
Итого |
17367 |
0 |
-3747 |
28 |
17367 |
Определим параметры:
Уравнение общей тенденции ряда динамики:
Правильность расчета уровней выравниваемого ряда динамики может быть проверена следующим образом: сумма значений эмпирического ряда должна быть близкой или совпадать с суммой вычисленных уровней выравниваемого ряда.
Построим график, на который нанесем исходные (эмпирические) данные и полученные выравненные (теоретические) уровни ряда динамики.
Выравненный уровень ряда показывает, что динамика экспортных цен на сахар-песок (за тонну) из Воронежской области в период с января по июль стабильно падает.
ЗАДАЧА №19
Динамика урожайности зерновых культур в хозяйствах области за 2004–2011 гг. описывается линейной функцией следующего вида:
Объясните смысл полученных параметров. Предполагая, что выявленная закономерность изменения урожайности зерновых культур сохранится, определите ожидаемые уровни этих показателей в 2013 году.
Решение:
Экстраполируя выявленную тенденцию с помощью аналитического выравнивания динамического ряда по прямой, т.е., с помощью формулы:
подставим значения t так, чтобы сумма этих значений была равна нулю. Тогда:
2004 |
-4 |
2005 |
-3 |
2006 |
-2 |
2007 |
-1 |
2008 |
1 |
2009 |
2 |
2010 |
3 |
2011 |
4 |
Итого |
0 |
В данной таблице был получен выравненный по прямой динамический ряд (теоретический уровень ряда), т.е. предполагаемые значения урожайности зерновых культур в каждом году.
Для того чтобы спрогнозировать ожидаемый уровень показателя урожайности в 2013 г. нужно принять за t (условные годы) цифру 6 как продолжение теоретического уровня ряда и подставить ее в линейную функцию. Тогда:
Т.о., ожидаемое значение урожайности зерновых культур в хозяйствах области в 2005 году равна 23,726 условных единиц измерения.
ТЕМА: «ИНДЕКСЫ»
ЗАДАЧА №3
Объем произведенной продукции и ее себестоимость характеризуется следующими данными:
Изделия |
Себестоимость единицы, руб. |
Выработано продукции, тонн | ||
квартал |
квартал | |||
1 |
2 |
1 |
2 | |
А |
140,0 |
120,0 |
5,0 |
7,0 |
Б |
90,0 |
80,0 |
4,0 |
4,5 |
Определите:
- общий индекс себестоимости продукции;
- общий индекс физического объема продукции;
- общий индекс затрат на производство продукции.
Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами.
Сделайте выводы.
Решение:
1) Общий индекс себестоимости продукции:
За счет изменения себестоимости затраты на производство продукции уменьшились на 13,36%.
2) Общий индекс физического объема продукции:
За счет изменения объемов продукции затраты на ее производство увеличились на 30,66%.
3) Общий индекс
затрат на производство
Затраты на производство продукции в отчетном периоде увеличились на 13,21% по сравнению с базисным.
4) Взаимосвязь между индексами:
ЗАДАЧА №7
Имеются следующие данные о продаже товаров:
Товарные группы |
Продано товаров во II квартале, тыс. руб. |
Изменение количества проданных товаров в III квартале по сравнению со II кварталом, % |
Ткани полушерстяные |
360 |
-5 |
Трикотажные изделия |
240 |
+20 |
Обувь резиновая |
280 |
Без изменения |
Вычислите общий индекс физического объема товарооборота.
Используя взаимосвязи индексов, определите, изменение цен в III квартале по сравнению со II, если известно, что товарооборот в фактических ценах вырос на 12%.
Решение:
1) Общий индекс
физического объема
Данные в процентах можно выразить с помощью индивидуальных индексов количеств (): 0,95; 1,2 и 1. Тогда мы можем найти общий индекс физического объема товарооборота, преобразовав его в средний арифметический индекс:
Таким образом,
стоимость продукции в
2) Общий индекс цен имеет вид:
Для того чтобы
воспользоваться средним
Тогда средний гармонический индекс цен равен:
Таким образом,
стоимость продукции в
ЗАДАЧА №16
По одному из коммерческих магазинов города имеются следующие данные:
Товарная группа |
Выручка от реализации продукции, тыс. руб. |
Изменение цены единицы продукции в августе по сравнению с июлем, % | |
Июль |
Август | ||
Мясо и мясопродукты |
100.0 |
108.9 |
+2,0 |
Бакалейные товары |
35.6 |
38.7 |
без изменений |
Молоко и молочные продукты |
44.4 |
40.2 |
+1.2 |
Определите:
- общий индекс товарооборота;
- общий индекс цен
и сумму экономии (перерасхода) в связи
с
изменением цен;
- общий индекс физического объема товарооборота.
Сделайте выводы.
Решение:
1) Общий индекс товарооборота:
Индекс показывает, что товарооборот в текущем периоде увеличился по сравнению с базисным на 4,33%.
2) Общий индекс цен:
Полученный индекс говорит о том, что в среднем цены поставляемой продукции повысились на 2,89%.
Абсолютную величину экономии (перерасход) денежных средств определяют как разницу числителя и знаменателя:
Знак плюс означает, что имеется перерасход – стоимость товаров в ценах базового периода ниже фактической.
3) Общий индекс физического объема товарооборота:
Исходя из полученного индекса, можно сделать вывод, что количество продукции увеличилось на 1,41%.
ЗАДАЧА №19
Продажа картофеля на рынках двух городов характеризуется следующими данными:
Города |
Средняя цена 1 кг, руб. |
Продано картофеля, тыс. кг. | ||
Базисный период |
Отчетный период |
Базисный период |
Отчетный период | |
А |
8,0 |
12,0 |
100,0 |
140,0 |
В |
9,5 |
11,0 |
120,0 |
300,0 |
Вычислите:
- индекс цен переменного состава;
- индекс цен постоянного состава;
- индекс структурных сдвигов (используя взаимосвязь индексов 1, 2, 3).
Поясните различия между полученными индексами.
Решение:
1) Относительную
величину, характеризующую динамику
двух средних показателей для
однородной совокупности, называют
индексом переменного состава.
Индекс цен переменного
Средняя цена реализации в отчетном периоде увеличилась на 28,35%.
2) Индекс, показывающий
динамику средних величин при
одной и той же фиксированной
структуре совокупности, называют
индексом постоянного состава.
Индекс цен постоянного
Средняя цена реализации в отчетном периоде увеличилась на 25,44%.
3) Относительную величину, получающуюся в результате деления индекса переменного состава на индекс постоянного состава, называют индексом структуры. Т.е., индекс структурных сдвигов:
