Теорії ймовірностей та математичної статистики

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ Й НАУКИ УКРАЇНИ

 НАЦІОНАЛЬНИЙ  ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ 
 
 
 

КАФЕДРА:  «МАТЕМАТИКА» 

КОНТРОЛЬНА  РОБОТА 

НА  ТЕМУ: «Теорії ймовірностей та математичної статистики» 

Варіант № 8 

       Виконала:

        студентка       курсу

        групи  

        Заочного факультету

       Спеціальність

        Перевірив:

М. 2011 РІК

Завдання 1: За класичним означенням ймовірності та основними теоремами про суму й добуток ймовірностей, а також за формулою Байєсса визначити ймовірності подій, про які йдеться мова в завданні.

8. На першому верстаті-автоматі виготовлено 75% від загальної кількості деталей, на другому  - інші 25%. Для першого верстата брак складає 1%, для другого – 4%. Навмання було вибрано дві деталі. Визначити ймовірність того, що: а) обидві деталі відповідають стандарту; б) жодна з деталей не відповідатиме стандарту; в) лише одна з деталей відповідатиме стандарту, якщо відомо, що обидві з них виготовлені на другому верстаті.

  Розв’язання.

               1.8  Нехай подія А₁ полягає в тому, що обидві деталі відповідають стандарту, подія А₂ – жодна з деталей не відповідають стандарту, подія А₃ – лише одна з деталей відповідатиме стандарту, якщо відомо, що обидві з них виготовлені на другому верстаті.

 Оскільки  за умовою задачі відомо, що  Р(А₁) = 75%,  Р(А₂) = 25%, 

Р(А₁) = 1%,  Р(А₂) = 4%, то знаходимо ймовірності відповідних подій як:

Р(А₁)= 1 – 0,75 = 0,25,    Р(А₂)= 0,75.

100%-1%=99% або 0,99

100%-4%=96% або 0,96

  Нехай подія А полягає в тому, що 100% від загальної кількості деталей було виготовлено на першому верстаті-автоматі. Це передбачає, що на другому верстаті не було виготовлено жодної деталі. Отже, подія А представляє собою добуток сумісних подій. Звідси маємо:

                               Р(А) = Р(А_{1 *} А₂)

Нехай подія Н₁ полягає в тому, що обидві деталі були виготовлені на першому верстаті, подія Н₂ – обидві деталі були виготовлені на другому верстаті. Звідси маємо:

                     А = Н₁А + Н₂А

                     Р(А) = Р(Н₁А + Н₂А) = Р(Н₁А) + Р(Н₂А)

                    Н₀ Р(Н_іА) = Р(Н_і) Р_Ні(А) (де і = 1,2,…n), звідси маємо:                     

                  Р(А) = Р(Н₁)Р_Н1(А) + Р(Н₂)Р _Н2(А)

                    Р(Н₁) = 75/100 = 0,75

                    Р(Н₂) = 25/100 = 0,25

                    Р_Н1(А) = 1%

                    Р_Н2(А) = 4%

а).  Нехай подія  Н₁ – обидві деталі виготовлені на першому верстаті та вони відповідають стандарту:

     Нехай подія Н₂ – обидві деталі виготовлені на другому верстаті та вони відповідають стандарту:

     Ці  події у сумі дають також  одиницю: 0,7557+0,2443=1

Оскільки події  H₁ та Н₂   є попарно незалежними (ймовірність того, що деталі були виготовлені на першому верстаті відповідні стандарту, не залежить від того, що деталі виготовлені на другому верстаті не відповідні стандарту), то ймовірність добутку подій дорівнює добутку їх абсолютних ймовірностей.  Згідно з цим знаходимо відповідь на перше  питання задачі А:

Р(А) = Р(Н₁)Р_Н1(А) + Р(Н₂)Р _Н2(А)

Р(А) = (0,7557*(1-0,01))+(0,2443*(1-0,04))=(0,7557*0,99)+(0,2443*0,96)=

=0,7481+0,2345= 0,9827≈0,98

б).    Нехай  подія Н₁ – обидві деталі виготовлені на першому верстаті та вони браковані:

     Нехай подія Н₂ – обидві деталі виготовлені на другому верстаті та вони браковані:

     Ці  події у сумі дають: 0,429+0,571=1

Оскільки події  попарно не сумісні, то ймовірність  їх суми дорівнює сумі їх ймовірностей. Вище було доведено, що кожна з подій  є добутком незалежних подій, відповідно, ймовірність добутку є добутком абсолютних ймовірностей. Таким чином  ми знаходимо відповідь на друге  питання задачі Б:

Р(Б) = (0,429*0,01)+(0,571*0,04)=0,02713≈0,027

в). Розглянемо подію  В, яка полягає в тому, що лише одна деталь відповідає стандарту, якщо відомо, що обидві вони зроблені на другому верстаті. Оскільки подія вже відбулася, і необхідно переоцінити ймовірність гіпотези, реалізація якою супроводжувалася появою події, визначення ймовірності здійснюється за формулою Байєсса. Маємо три гіпотези, перша з яких полягає в тому, що обидві деталі виготовлені на першому верстаті, друга – обидві деталі виготовлені на другому верстаті, третя одна на першому, друга на другому верстаті. Повну ймовірність події, яка полягає в тому, що лише одна деталь відповідає стандарту, вже визначили – це ймовірність події Б.

    Нехай  подія Н₁ – одна деталь відповідає стандарту та виготовлена на другому верстаті:

     Нехай подія Н₂ – одна деталь бракована та виготовлена на другому верстаті:

     Ці  події у сумі дають одиницю: 0,96+0,04=1

Звідси маємо  відповідь на третє питання  В:

Р(В) = (0,96*0,96)+(0,04*0,96)=0,96

Відповідь: а) 0,98; б) 0,027; в) 0,96.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Завдання 2.8: Проводять n незалежних однорідних випробувань, у кожному з яких імовірність появи події дорівнює  p.

           n = 5,   p = 0,7

За законом розподілу випадкової величини Х, якою вважають кількість випробувань, в яких мала місце поява події , необхідно:

а) побудувати многокутник  розподілу;

б) визначити  математичне сподівання випадкової величини М(Х), її дисперсію D(Х) та середнє квадратичне відхилення (Х).

Розв’язання:  Оскільки випробування однорідні та незалежні, тобто реалізується схема Бернуллі, то ймовірність появи події m разів у серії з n випробувань визначається за формулою Бернуллі: 

                                        Формула Бернуллі:

    ,

де p – ймовірність появи події А, за якою ведуться спостереження, в окремому (одиничному) випробуванні;

   q – імовірність того, що в окремому (одиничному) випробуванні подія А не з’явиться , тобто ймовірність появи події А;  

- кількість сполучень із n по m, де .

         За умовою задачі кількість  випробувань становить n = 5, тобто випадкова величина Х може приймати лише шість значень: 0; 1; 2; 3; 4 та 5.  Для того щоб побудувати закон розподілу, для кожного з цих значень  обчислимо їх імовірність за формулою Бернуллі. 

         Після визначення ймовірностей усіх можливих значень випадкової величини Х надамо закон її розподілу у вигляді таблиці (Табл.1):

Таблиця 1.

  Ряд розподілу  випадкової величини  Х. 

    Для  того щоб перевірити правильність  обчислень, знайдемо суму ймовірностей  усіх значень випадкової величини. Вона повинна дорівнювати одиниці.  Переконаємось в цьому: 

   Отже, закон  розподілу випадкової величини  Х визначено. Тепер за даними таблиці 1 побудуємо многокутник розподілу. Для цього в прямокутній системі координат уздовж осі ординат – відповідні їм ймовірності . Маємо окремі точки:  (0; 0,00243), (1; 0,02835),

  (2; 0,1323), (3; 0,3087), (4; 0,36015) та  (5; 0,16807).

З’єднавши ці точки  відрізками прямої, отримаємо многокутник  розподілу (рис. 1)

                            Значення випадкової величини

         Рис. 1. Многокутник розподілу випадкової величини Х

   Визначимо  основні числові характеристики  закону розподілу. 

   За означенням  математичним сподіванням дискретної  випадкової величини М(Х) є сума попарного добутку всіх можливих значень випадкової величини на їх ймовірність:

              ₆

М(Х) = ∑ х_і * р_і = 0 * 0,00243 + 1* 0,02835 + 2*0,1323 + 3*0,3087 + 4* 0,36015 +

            ^{і = 1}

+ 5 * 0,16807 = 0,02835 + 0,2646 + 0,9261 + 1,4406 + 0,84035 = 3,5

  Оскільки  розподіл випадкової величини  є біноміальним (випробування здійснюються  за схемою Бернуллі), то для  визначення математичного сподівання  можна скористатися формулою:

М(Х) = n * p   Отже, маємо теж саме значення:

М(Х) = 5 * 0,7 = 3,5

   За означенням  дисперсія випадкової величини  обчислюється як математичне  сподівання квадрата відхилення  випадкової величини від свого  математичного сподівання. За означенням  маємо:

            ₆

D(Х) = ∑ (х_і – М(Х))² * р_і = (0 – 3,5)² * 0,00243 + (1 – 3,5)² *0,02835 + (2 – 3,5)² * 

           ^{і = 1}

*0,1323 + (3 – 3,5)² * 0,3087 + (4 -3,5)² * 0,36015 + (5 – 3,5)² * 0,16807 = 1,05

     Дисперсію  можна також обчислити за перетвореною  формулою, яка є рівносильною  вихідній:

D(Х) = М(Х²) – (М(Х))² = 0² * 0,0243 + 1² * 0,02835 + 2² * 0,1323 + 3² *0,3087 +    + 4² * 0,36015 + 5² * 0,16807 = 0,02835 + 0,5292 + 2,7783 + 5,7624 + 4,20175 =   = 13,3 – (3,5)² = 1,05

   Той самий  результат ми отримаємо, якщо  скористаємося формулою обчислення  дисперсії для випадкової величини, що розподілена за біноміальним  законом:  

D(Х) = n*p*q = 5 * 0,7 * 0,3 = 1,05

    Середнє  квадратичне відхилення випадкової  величини обчислюємо за означенням, як корінь квадратний з дисперсії.  Отже маємо:

Відповідь: М(Х) = 3,5;  D(X) = 1,05; = 1,0247

Завдання 3.8: Неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу F(x). Визначити: а) основні числові характеристики розподілу; б) імовірність того, що випадкова величина Х матиме значення, що належить інтервалу (α; β); в) побудувати графік функції F(x) та ƒ(x).

     α = - 0,5;        β = 0,5.

Розв’язання:

         Неперервна випадкова величина  Х задана інтегральною функцією розподілу F(x) . Для того щоб визначити основні числові характеристики випадкової величини, необхідно знайти щільність розподілу ймовірностей, тобто диференціальну функцію розподілу f(x) , яка є похідною першого порядку від інтегральної функції F(x). Отже, . Маємо:     

     Визначимо  основні числові характеристики  розподілу. Математичне сподівання  неперервної випадкової величини  обчислюється за формулою:

                  _∞

M(x)= ∫ x * ƒ(x) * d x

                ^-∞

Звідси:

   Дисперсію випадкової неперервної величини знаходимо, скориставшись перетвореною формулою для обчислення дисперсії:

                 _∞

D(x) = ∫ x² * ƒ(x) d x – (M(x))²

               ^-∞

Звідси:      Знаходимо середнє квадратичне відхилення: 

      Імовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке належатиме заданому інтервалу, знаходимо як приріст інтегральної функції розподілу на цьому інтервалі:

   Звідси:

Відповідь:  М(Х)= 0,623,  D(Х)=0,596, =0,772, Р(-0,5<x<0,5)= 0,33.

          Завдання 4: За згрупованими даними статистичного розподілу не- обхідно: а) побудувати гістограму відносних частот; б) обчислити вибіркову середню х, виправлену дисперсію S_x² та виправлене середнє квадратичне відхилення S_x; в) у припущенні нормального закону розподілу в генеральній сукупності визначити межі довірчого інтервалу, до якого математичне сподівання випадкової величини належатиме з надійністю  y = 95%.

4.8.  
 
 

         Розв’язання:

   Попередній аналіз вихідних даних показав, що результати вимірювань випадкової величини Х були згруповані за інтервалами рівної довжини:

14,5 – 10=4,5     h = 4,5   Для кожного інтервалу наведені середнє значення випадкової величини за цим інтервалом (середина інтервалу) та частота , з якою значення випадкової величини попадають до певного інтервалу.  Оскільки необхідно побудувати гістограму відносних частот, то обчислимо їх значення за формулою:

 _,

де  n – обсяг вибіркової сукупності,                                             

           – загальна кількість інтервалів;

                                                                                                                __ 

         – номер інтервалу (для даної вибіркової сукупності =  5,5).

1 + 4,5=5,5.

      Обсяг вибірки становить: n = 7 + 15 + 20 + 32 + 35 + 22 + 14 + 8 = 153

 0,04580 І 0,0980 | 0,1307 | 0,2091 | 0,2288 | 0,1438 | 0,0915 | 0,0523

Загальна  площа всіх прямокутників = 1. 

     Знайдемо  межі частинних інтервалів. Нижню  межу 1-го інтервалу визначаємо, віднявши  від значення  величину 0,5 * h = 0,5*4,5=2,25,

тобто, вона становить:  10-2,25=7,75. Відповідні значення верхніх меж інтервалів отримаємо, додавши до отриманого значення розмір кроку.

x₁ = 10 – 2,25 = 7,75 | 12,25 | 16,75 | 21,25 | 25,75 | 30,75 | 34,75 | 39,25

      За означенням гістограмою відносних частот називають сукупність прямокутників, основою кожного з яких є певний частинний інтервал (усі основи прямокутників визначаються довжиною крока), а площа кожного прямокутника дорівнює відносній частоті, що відповідає цьому інтервалу.  Це випливає з умови нормування, оскільки загальна площа всіх прямокутників для гістограми відносних частот дорівнює одиниці. Згідно з цим висота прямокутників на гістограмі обчислюється як відношення , котре означається як щільність відносних частот. Оскільки всі частинні інтервали мають однакову довжину h=4,5, то для даного приклада отримуємо співвідношення, за яким обчислюємо щільність відносних частот:   

         0,0102| 0,0218| 0,0290| 0,0465| 0,0508| 0,0320| 0,0203| 0,0116

      Для побудови гістограми вздовж осі абсцис відкладаємо межі інтервалів і на кожному з частинних інтервалів як основі будуємо прямокутники, висота яких дорівнює щільності відносних частот, що відповідає певному інтервалу. Готова гістограма наведена на рис. 4    

Рис.4   Гістограма відносних  частот

                Вигляд гістограми припускає можливість того, що закон розподілу в генеральній сукупності є нормальним. За вибірковою сукупністю визначимо статистичні оцінки основних числових характеристик розподілу.

           Статистичною оцінкою математичного  сподівання випадкової величини  є її вибіркова середня:    

де  у випадку згрупованих даних має сенс середини - го інтервалу.

+  

          Слід зазначити, що вибіркова середня є незсунутою оцінкою математичного сподівання.

       При обчисленні вибіркової дисперсії  як статистичної оцінки дисперсії  випадкової величини в генеральній  сукупності необхідно ввести  поправку на зсув. Отже, для визначення  незсунутої вибіркової дисперсії  користуються формулою: 

     де - виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення. 

  ^{Обчислення вибіркових  оцінок зручно  проводити, надавши  проміжні обчислення  у вигляді таблиці  (Табл.2).} 

^{Таблиця 2}

     ^{Отже сума за  передостаннім стовпцем  табл.2 є вибірковою  середньою.  Відповідно  маємо:  = 25,9121. Сума за останнім стовпцем  табл. 2 використовується при визначенні виправленої вибіркової дисперсії:}

     ^{Звідси визначаємо  виправлене середнє  квадратичне відхилення:}

                      ^{S_x = √ S_x2 = √ 63,3758 = 7,9609}

     ^{У припущенні нормального  закону розподілу  в генеральній  сукупності визначимо  межі довірчого  інтервалу, до  якого з надійністю  у=95%, належатиме математичне сподівання випадкової величини.}

    ^{Межі довірчого  інтервалу обчислюються  співвідношенням:}

   ^,

   ^{де      – аргумент функції Лапласа, подвоєне значення якої дорівнює заздалегідь заданій надійності:  .}

         ^{Визначаємо, що .  За довідковою таблицею знаходимо, що =1,96. Оскільки n=153, а = 7,9609, то похибка оцінки математичного сподівання за вибірковою середньою не перевищує значення . Отже можна стверджувати, що з імовірністю 0,95 математичного сподівання випадкової величини Х належатиме інтервалу}

Тобто з надійністю 95% можна вважати, що  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    ^{Завдання 5.8: Наведені результати дослідження співвідношення обсягу продукції Y (тис. т) від вартості основних фондів X (млн. грн.). Статистичні дані згруповані за інтервалами, на які поділені значення випадкових величин Х та Y , та надані у вигляді таблиці, де вказані середні за кожним інтервалом, а також кількість підприємств, характеристики яких відносяться до певного інтервалу. Необхідно: а) на кореляційному полі побудувати емпіричну лінію регресії Y та X; б) оцінити параметри вибіркового рівняння регресії  X та Y; б) оцінити параметри вибіркового рівняння регресії      у припущенні лінійної кореляції; в) за вибірковим рівнянням регресії побудувати графік та порівняти його з емпіричною лінією регресії; г) оцінити щільність кореляційного зв’язку.}

^{Розв’язання: Статистичні дані згруповані за частинними інтервалами довжиною    та .  Для кожного інтервалу вказані середні значення випадкових величин Y та Х . Це відповідне значення та . Також наведені частоти , з якими значення випадкових величин попали до певних інтервалів.}

           ^{Для побудови емпіричної  лінії регресії  Y та Х обчислимо умовні середні функціонального фактора за формулою:}