Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности
Министерство образования и науки российской Федерации
Муромский институт (филиал)
федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Владимирский государственный университет
имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»
(МИ (филиал) ВлГУ)
Факультет Социальных технологий и педагогики
Кафедра ФПМ
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА
По дисциплине: Математика
Тема:
«Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности».
Руководитель:
____________________________
(Подпись) (Дата)
Турова Т.В.
(Подпись)
(Дата)
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
- Понятие вероятности…………………………………………………
………....5 - Теорема сложения вероятностей совместных событий……………………..7
- Формула полной вероятности…………………………………………………
12
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности.
Теория вероятности изучает данные закономерности.
Предмет теории вероятностей отличается большим своеобразием. Необычный характер теоретико-вероятностных понятий является причиной того, что долгое время подход к этим понятиям основывался только на интуитивных соображениях. Это и подрывало веру в правильность выводов теории вероятностей: многие ее положения носили расплывчатый характер и вызывали сомнения.
Теория вероятностей – это такой раздел математики, который позволяет обучать логике на практике. Полезность получаемых знаний состоит в том значении, которое имеют эти знания для понимания и познания закономерностей окружающего нас мира, так и возможности их непосредственного применения при изучении других наук и в повседневной жизненной практике.
В процессе освоения теоретических фактов решается задача развития навыков проведения логических рассуждений, способностей абстрагировать т.е. выделять в конкретной ситуации сущность вопроса, отвлекаясь от несущественных деталей.
Изучая теорию вероятностей, мы овладеваем умениями анализировать рассматриваемый вопрос, обобщать, находить пути решения поставленной задачи. Все это формирует мышление и способствует развитию нашей речи, особенно таких качеств выражения мысли, как порядок, ясность, обоснованность.
Целью работы являлось - изучить методическую и научную литературу по теме, подобрать систему задач, направленных на изучение данной темы.
Задачами выступали:
- Изучить и проанализировать методическую и научную литературу по теме «Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности».
- Знать определение понятий и понимать их смысл.
- Подобрать и научиться решать задачи, на непосредственное вычисление вероятностей.
Понятие вероятности
Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П. Л. Чебышев, А. М. Ляпунов, А. А. Марков, А. Н. Колмогоров. Теория вероятности и математическая статистика – это наука, занимающаяся изучением закономерностей массовых случайных явлений, то есть статистических закономерностей.
Как и всякая наука, теория вероятности и математическая статистика оперируют рядом основных категорий:
• События;
• Вероятность;
• Случайность;
• Распределение вероятностей и т.д.
События – называется произвольное множество некоторого множества всех возможных исходов, могут быть:
- Достоверные;
- Невозможные;
- Случайные.
Достоверным называется событие, которое заведомо произойдет при соблюдении определенных условий.
Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при соблюдении определенных условий.
Случайным называют события, которые могут произойти либо не произойти при соблюдении определенных условий.
События называют единственно возможными, если наступление одного из них это событие достоверное.
События называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие.
События называют несовместимыми, если появление одного из них исключает возможность появления другого в том же испытании.
Вероятность– численная характеристика реальности появления того или иного события.
- Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Пример 1.
А — появление четырех очков при бросании игральной кости; В — появление четного числа очков. События А и В — совместные. Пусть события А и В совместны, причем даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А + В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.
Теорема.
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ).
Доказательство.
Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: AВ,ᾹB или АВ.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий,
P(A+B)=P(AВ)+P(ᾹB)+P(AB).
Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: ᾹB или АВ.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем
Р (A) = Р (AВ) + Р (АВ).
Отсюда
Аналогично имеем
Отсюда
Р(ᾹB)=Р(В)—Р(АВ).
Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим
Замечание 1.
При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми. Для независимых событий:
для зависимых событий:
Замечание 2.
Если события А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ)=О.
Формула (****) для несовместных событий принимает
вид
Мы вновь получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула (****) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.
Пример 2.
Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p1 = 0,7; p2 = 0,8.
Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
Решение.
Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы. Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание)
Искомая вероятность
Р(А+В)=Р(А) + Р(В)—Р(АВ) = 0,7 + 0,8 — 0,56=0,94
Замечание 3.
Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой
В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т. е. вероятности промахов, таковы:
q1=1-p1 =1—0,7 = 0,3; q2=1—р2= 1—0,8 = 0,2.
Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна
P= 1 - q1q2= 1- 0,3 • 0.2 = 0,94.
Как и следовало ожидать, получен тот же результат.
Пример 3.
В два банка положены деньги. Банки работают независимо друг от друга. Вероятность разорения первого банка равна 0,1 , а второго – 0,2 . Какова вероятность того, что деньги сохранятся хотя бы в одном из банков.
Решение.
Чтобы решить вероятностную задачу, главное, ввести правильные обозначения. Попробуем ввести следующие события.
А1 - деньги взяты из первого банка,
А2 - деньги взяты из второго банка.
Тогда событие А1+А2 означает, что деньги взяты либо из первого, либо из второго банка, либо из обоих банков сразу (вам очень повезло). А найти нужно именно вероятность этого события Р(А1+А2) . По формуле сложения вероятностей совместных событий получаем:
Вероятность Р(А1) того, что первый банк останется «на плаву», составляет с вероятностью Р(Ᾱ1) того, что первый банк разорится, в сумме 1 (т.к. событие А1+ Ᾱ1есть достоверное событие).
Поэтому:
Аналогично найдем
А вероятность произведения двух событий Р(А1А2) равна произведению вероятностей Р(А1)Р(А2) , как произведение независимых событий.
Поэтому:
Р(А1+А2)=Р(А1)+Р(А2)- Р(А1)Р(А2) = 0,9+0,8 – 0,9●0,8=1,7-0,72=0,98
Пример 4.
Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,06. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,08. Предполагая, что оба события независимы, определить вероятность того, что потребитель увидит: а) обе рекламы; б) хотя бы одну рекламу.
Решение.
Пусть
А – «потребитель увидит рекламу по телевидению»
В – «потребитель увидит рекламу на стенде»
С – «потребитель увидит хотя бы одну рекламу»
По условию
Р(А) = 0,06
Р(В) = 0,08
События А и В совместные и независимые.
а) Потребитель увидит две рекламы, в наших обозначениях это событие АВ, так как эти события независимы, то
Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,06 ● 0,08 = 0,0048
б) Событие С есть сумма событий А и В. Так как эти событии совместны то,
Р(С)= Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ).
Р(С)= 0,06 + 0,08 – 0,0048 = 0,1352
Эту же вероятность можно найти, используя свойство вероятностей противоположных событий
Р(С)= Р (А + В) = 1- Р(АВ) = 1 - Р(А)Р(В)
Р(А) = 1 - Р(А) = 1 – 0,06 = 0,94
Р(В) = 1 – 0,08= 0,92
Р(С) = 1 – 0,94●0,92= 1 – 0,8648 = 0,1352
Ответ: а) Р(АВ) = 0,0048
б) Р(С) = 0,1352
- Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, В2,.. ., Вп, которые образуют полную группу.
Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности
(А), (А), ..., (А) события А.
Как найти вероятность события A? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема.
Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1,В2,.. ., Вп, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
Р (A) = Р (B1)
Эту формулу называют «формулой полной вероятности».
Доказательство.
По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий B1,В2,.. ., Вп. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В1А, В2А, ..., ВпА, Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим
Остается вычислить каждое из слагаемых.
По теореме умножения вероятностей зависимых
событий имеем
Р (В1А) = Р (В1) (А); Р (В2А) = Р (В2) (А); ... ; Р (ВnА) = Р (Вn) (А). Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности
P(A)= Р (В1)
Пример 1.
Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго—0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) — стандартная.
Решение. Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна». Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие В1), либо из второго (событие В2). Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, Р(В1) = 1/2. Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, Р(В2)=1/2. Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, (А) = 0,8. Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь (A)=0,9.
Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь — стандартная, по формуле полной вероятности равна
Р (А) = Р (В1)
Пример 2.
В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке—10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.
Решение.
Обозначим через А событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа». Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие B1), либо нестандартная (событие В2).
Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, Р(В1)=9/10.
Вероятность того, что из второй
коробки извлечена нестандартная лампа, Р(В2)=1/10.
Условная вероятность того, что из первой
коробки извлечена стандартная лампа,
при условии, что из второй коробки в первую
была переложена стандартная лампа, равна
(А) = 19/21.
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна (А) = 18/21.
Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна
P(A)= Р (В1)
Пример 3.
Из 1000 ламп 380 принадлежат к 1 партии, 270 – ко второй партии,
остальные к третьей. В первой партии 4% брака, во второй - 3%, в третьей – 6%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.
Решение.
Введем полную группу независимых гипотез:
Hi = (Лампа принадлежат i -ой партии), i =1,2,3 .
Найдем вероятности гипотез по классическому определению вероятностей. Всего ламп 1000, из них 1-ой партии принадлежат 380, то есть Р(Н1)= 380/1000 = 0,38
2-ой партии принадлежат 270, то есть Р(Н2)= 270/1000= 0,27, остальные 1000-380-270=350 ламп принадлежат 3-ей партии, поэтому Р(Н3)= 350/1000 =0,35
Введем событие A = (Лампа бракованная). По условию даны априорные вероятности:
P (А | Н1) = 0,04
P (А | Н2) = 0,03
P(А | Н3) = 0,06
Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности:
P (А | Н1) Р(Н1) + P (А | Н2) Р(Н2) + P (А | Н3) Р(Н3) = 0,38 ●0,04 +0, 27● 0,03 + 0,35● 0,06 = 0,0443.
ОТВЕТ. 0,0443 (или 4,43%).
Пример 4.
Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время
ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные – с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?
Решение.
Введем искомое событие A = (Рост спроса произойдет). Событие может
произойти вместе с одной из двух гипотез:
H1 = (Консультационная фирма дала положительный прогноз о росте),
H2 = (Консультационная фирма дала отрицательный прогноз о росте).
Вероятности P (H1) = 80% = 0,8; P (H2) = 1 – Р(Н1) = 0,2
Условные вероятности P (А | Н1) = 0,95; P (А | Н2) = 0,99
Тогда вероятность события A найдем по формуле полной вероятности:
Р(А) = P (А | Н1) Р(Н1) + P (А | Н2) Р(Н2)= 0,8● 0,95 +0, 2● 0,99= 0,958.
ОТВЕТ. 0,958.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данная работа была посвящена изучению основам теории вероятностей и математической статистики. Нами была изучена и проанализирована научно-методическая литература по данной теме. С помощью подобранного материала мы учились решать задачи, на непосредственное вычисление вероятностей.
Таким образом, цель работы была достигнута. На наш взгляд, подобранный и изученный материал по теории вероятности и математической статистики поможет качественно его усвоить, а главное, – осознанно применять полученные знание в своей практической деятельности.
ЛИТЕРАТУРА
- Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. Пособие для вузов/ В.Е. Гмурман. – 9-е изд., стер.– М.: Высш. Шк., 2003. – 479с.
