Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Теория игр. 2

Теория игр

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 3

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ( Глава 1) 6

Платёжная матрица 6

Нижняя и верхняя цена игры 6

Решение игр в смешанных стратегиях 9

Геометрическая интерпретация игры 2´2 12

Приведение матричной игры к задаче линейного программирования 16

Кооперативная теория игр……………………………………………………………………..

Антагонистические и позиционные игры……………………………………………….

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ(Глава 2) 20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 26

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ: 27

приложения

ВВЕДЕНИЕ

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределённости, т. е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнёра. Такие ситуации, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т. д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры – выигрыш одного из партнёров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнёров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнёра, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнёры будут принимать.

Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория игр.

Ознакомимся с основными понятиями теории игр. Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, - игроками, а исход конфликта – выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: 1) варианты действий игроков; 2) объём информации каждого игрока о поведении партнёров; 3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулём, выигрыш – единицей, а ничью - ½.

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны А и В.

Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т. е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить а – выигрыш одного из игроков, b – выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -а, поэтому достаточно рассматривать, например а.

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определённую стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр – естественность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнёров не обязательно антагонистические. Развитие аппарата теории игр для решения задач со многими участниками, имеющими непротиворечивые интересы, выходят за рамки настоящего пособия.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Платёжная матрица

Нижняя и верхняя цена игры

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает m личными стратегиями, которые обозначим А₁, А₂, …, А_m . Пусть у игрока В имеется n личных стратегий, обозначим их B₁, B₂, …, В_n. Говорят, что игра имеет размерность m×n. В результате выбора игроками любой пары стратегий

А_i и В_j (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n)

однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш а_ij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (-а_ij) игрока В. Предположим, что значения а_ij известны для любой пары стратегий (А_i, B_j). Матрица Р = (а_ij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям А_i и В_j, называется платёжной матрицей или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в табл. 1

Таблица 1

B_i А_j	В₁	В₂	…	В_n
А₁	а₁₁	а₁₂	…	а_1n
А₂	а₂₁	а₂₂	…	а_2n
…	…	…	…	…
А_m	а_m1	а_m2	…	а_mn

Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В.

Рассмотрим игру m×n с матрицей Р = (а_ij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, … ,n и определим наилучшую среди стратегий А₁, А₂, …, А_m. Выбирая стратегию А_i, игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на неё той из стратегий В_j, для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится “навредить” игроку А).

Обозначим через a_i наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А_i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строчке платёжной матрицы), т.е.

Среди всех чисел a_i (i = 1, 2, …,m) выберем наибольшее:.

Назовём a нижней ценой игры, или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно,

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А; выбирая стратегию В_j, он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим

Среди всех чисел b_j выберем наименьшее и назовём b верхней ценой игры или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Следовательно,

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Любая стратегия игрока В является минимаксной. Дополнив таблицу 1 строкой b_j и столбцом a_i, получим таблицу 2. На пересечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.

Таблица 2

B_i A_j	B₁	B₂	a_i
A₁	- 1	1	- 1
A₂	1	- 1	- 1
b_j	1	1	a = -1 b = 1

Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры a = b = n называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением, или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш n, а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависимости от поведения игрока А) проигрыша n. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегии A_i и B_j даёт оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент a_ij является одновременно наибольшим в своём столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз – в другом).

Обозначим А^* и В^* - пару чистых стратегий, на которых достигается решение игры в задаче с седловой точкой. Введём функцию выигрыша первого игрока на каждой паре стратегий: P(A_i, B_j) = a_ij. Тогда из условия оптимальности в седловой точке выполняется двойное неравенство: P(A_i, B^*) £ P(A^*, B^*)£ P(A^*, B_j), которое справедливо для всех i = 1,…,m; j = 1, …, n. Действительно, выбор стратегии А^* первым игроком при оптимальной стратегии В^* второго игрока максимизирует минимальный возможный выигрыш: P(A^*, B^*) ³ P(A_i, B^*), а выбор стратегии В^* вторым игроком при оптимальной стратегии первого минимизирует максимальный проигрыш: P(A^*, B^*) £ P(A^*, B).

Решение игр в смешанных стратегиях

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не даёт оптимального решения игры. Так в задаче 1 a ¹ b, седловая точка отсутствует. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией S_a игрока А называется применение чистых стратегий A₁, A₂, …, A_i, …, A_m с вероятностями p₁, p₂, …, p_i, …, p_m, причём

сумма вероятностей равна 1: . Смешанные стратегии игрока А записываются в виде матрицы

или в виде строки S_A = (p₁, p₂, …, p_i, …, p_m). Аналогично смешанные стратегии игрока В обозначаются:

, или S_B = (q₁, q₂, …, q_j, …, q_n),

где сумма вероятностей появления стратегий равна 1: .

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой, в которой 1 соответствует чистой стратегии. На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение (или решение) игры: это пара оптимальных стратегии S_A^*, S_B^* в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры n. Цена игры удовлетворяет неравенству:

a £ n £ b,

где a и b - нижняя и верхняя цена игры.

Справедлива следующая основная теорема теории игр – теорема Неймана. Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий.

Пусть S_A^* = (p₁^*, p₂^*,…,р_m^*) и S_B^* = (q₁^*, q₂^*, … q_n^*) – пара оптимальных стратегий. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с отличной от нуля вероятностью, то она называется активной.

Справедлива теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остаётся неизменным и равным цене игры n, если второй игрок не входит за пределы своих активных стратегий.

Эта теорема имеет большое практическое значение – она даёт конкретные модели нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.

Рассмотрим игру размера 2×2, которая является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение – это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке.

Игра, в которой отсутствует седловая точка, в соответствии с основной теоремой теории игр оптимальное решение существует и определяется парой смешанных стратегий S_A^* = (p₁^*, p₂^*) и S_B^* = (q₁^*, q₂^*).

Для того чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии S_A^*, то его средний выигрыш будет равен цене игры n, какой бы активной стратегией ни пользовался игрок В. Для игры 2×2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) – случайная величина, математическое ожидание (среднее значение) которой является ценой игры. Поэтому средний выигрыш игрока А (оптимальная стратегия) будет равна n и для 1-й, и для 2-й стратегии противника.

Пусть игра задана платёжной матрицей

Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию , а игрок В – чистую стратегию В₁ (это соответствует 1-му столбцу платёжной матрицы Р), равен цене игры n:

a₁₁p₁^* = a₂₁p₂^* =n.

Тот же выигрыш получает игрок А, если 2-й игрок применяет стратегию В₂, т.е. а₁₂р₁^* = а₂₂р₂^* = n. Учитывая, что р₁^* + р₂^* = 1, получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии S_A^* и цены игры n:

(1)

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию

и цену игры

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании S_B^* -оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (А₁ или А₂) средний проигрыш игрока В равен цене игры n, т.е.

(2)

тогда оптимальная стратегия S_B^*(q₁^*,q₂^*) определяется формулами:

Геометрическая интерпретация игры 2´2

Решение игры 2´2 допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть игра задана платёжной матрицей P=(), где i, j = 1, 2. По оси абсцисс (рис.1) отложим единичный отрезок ; точка (х=0) изображает стратегию , а все промежуточные точки этого отрезка – смешанные стратегии первого игрока, причём расстояние от до правого конца отрезка – это вероятность стратегии , расстояние до левого конца – вероятность стратегии . На перпендикулярных осях I–I и II–II откладываем выигрыши при стратегиях и соответственно. Если второй игрок примет стратегию B1, то она даёт выигрыши и на осях I–I и II–II , соответствующие стратегиям и . Обозначим эти точки на осях I–I и II–II буквой . Средний выигрыш n₁, соответствующий смешанной стратегии , определяется по формуле математического ожидания n₁=и равен ординате точки , которая лежит на отрезке и имеет абсциссу (рис. 1).

Аналогично строим отрезок , соответствующий применению вторым игроком стратегии(рис. 2). При этом средний выигрыш n₂= – ордината точки.В соответствии с принципом минимакса оптимальная стратегия такова, что минимальный выигрыш игрока А (при наихудшем поведении игрока В) обращается в максимум. Ординаты точек, лежащих на ломаной (рис. 3), показывают минимальный выигрыш игрока А при использовании им любой смешанной стратегии (на участке N – против стратегии , на участке – против стратегии ). Оптимальную стратегию определяет точка N, в которой минимальный выигрыш достигает максимума; её ордината равна цене игры ν. На рис. 3 обозначены также верхняя и нижняя цены игры и .

Применим геометрический метод для решения следующей задачи.

► Задача. Решить графически игру, заданную платёжной матрицей

Р е ш е н и е. Откладываем по оси абсцисс (рис. 4) единичный отрезок . На вертикальной оси I–I откладываем отрезки: 1.5, соответствующий стратегии , и = 3, соответствующий стратегии . На вертикальной оси II – II отрезок = 2 соответствует стратегии , отрезок = 2 соответствует стратегии (см. рис. 4). Нижняя цена игры ==1.5. Верхняя граница игры ==2, седловая точка отсутствует. Из рис. 4 видно, что абсцисса точки N определяет оптимальную стратегию , а ордината – цену игры ν. Точка N является точкой пересечения прямых и . Уравнение прямой , проходящей через точки (0;1.5) и (1;2):

или

Уравнение прямой , проходящей через точки (0; 3) и (1; 1):

или

Точка пересечения прямых является решением системы

Или x=0.6; y=1,8, т.е.

Таким образом, =0,6, =1-0,6=0,4; оптимальная стратегия =(0,6;0,4), цена игры ν = 1,8.

Геометрически можно также определить оптимальную стратегию игрока B, если поменять местами игроков А и В и вместо максимума нижней границы в соответствии с принципом минимакса (рис. 5) рассмотреть минимум верхней границы.

Абсцисса точки M определяет в оптимальной стратегии игрока B, ордината этой точки – цена игры. Прямая , проходящая через точки (0;1.5) и (1; 3), удовлетворяет уравнению

y = 1,5x + 1,5.

Прямая , проходящая через точки (0; 2) и (1; 1), удовлетворяет уравнению y = -x +2.

Координаты их точек пересечения М – это решение системы уравнений:

откуда x = 0,2; y = 1,8, т.е. = 0,2, = 1- = 0,8, x = y = 1,8, = (0.8; 0.2).

Оптимальное решение найдено.

Из решения этой задачи следует, что геометрически можно определять оптимальную стратегию как игрока А, так и игрока В; в обоих случаях используется принцип минимакса, но во втором случае строится не нижняя, а верхняя граница выигрыша и на ней определяется не максимум, а минимум. Если платёжная матрица содержит отрицательные числа, то для графического решения задачи лучше перейти к новой матрице с неотрицательными элементами; для этого к элементам исходной матрицы достаточно добавить соответствующее положительное число. Решение игры при этом не изменится, а цена игры увеличится на это число. В данной задаче платёжная матрица не имела седловой точки (_).

При наличии седловой точки графическое решение даёт варианты, изображённые на рис. 6 и 7. На рис. 6 наибольшей ординатой на ломаной обладает точка , поэтому оптимальной является чистая стратегия для игрока А ( – для игрока В), т.е. оптимальное решение: = (0; 1), = (0; 1). Игра имеет седловую точку = ν.

Чистая стратегия (рис. 7) не выгодна для игрока В, поскольку при любой стратегии игрока А она даёт последнему больший выигрыш, чем чистая стратегия . На основании принципа минимакса выделим прямую и на ней точку с наибольшей ординатой на оси I – I. Чистая стратегия является оптимальной для игрока А, а чистая стратегия – для игрока В. Оптимальное решение: = (0; 1), = (1; 0), цена игры ν = , т.е. имеется седловая точка.

Графический метод можно применять при решении игры 2 × п и m × 2.

Приведение матричной игры к задаче линейного программирования

Игра m×n в общем случае не имеет наглядной геометрической интерпретации. Её решение достаточно трудоёмко при больших m и п, однако принципиальных трудностей не имеет, поскольку может быть сведено к решению задачи линейного программирования. Покажем это. Пусть игра m×n задана платёжной матрицей р= (), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n. Игрок А обладает стратегиями , игрок В – стратегиями . Необходимо определить оптимальные стратегии и , где – вероятности применения соответствующих чистых стратегий ;

, .

Оптимальная стратегия удовлетворяет следующему требованию. Она обеспечивает игроку А средний выигрыш, не меньший, чем цена игры v, при любой стратегии игрока В и выигрыш, равный цене игры v, при оптимальной стратегии игрока В. Без ограничения общности полагаем v > 0; этого можно добиться, сделав все элементы 0. Если игрок А применяет смешанную стратегию против любой чистой стратегии игрока В, то он получает средний выигрыш, или математическое ожидание выигрыша , 1, 2, …, п (т.е. элементы j-го столбца матрицы почленно умножаются на соответствующие вероятности стратегий результаты складываются).

Для оптимальной стратегии все средние выигрыши не меньше цены игры v, поэтому получаем систему неравенств:

(3)

Каждое из неравенств можно разделить на число v > 0. Введём новые переменные:

/v, /v, …,/v.

Тогда система примет вид:

(4)

Цель игрока А – максимизировать свой гарантированный выигрыш, т.е. цену игры v.

Разделив на 0 равенство , получаем, что переменные (i =1, 2, …, т) удовлетворяют условию: 1/v. Максимизация цены игры v эквивалентна минимизации величины 1/v, поэтому задача может быть сформулирована следующим образом: определить значения переменных 0, i =1, 2, …, т, так чтобы они удовлетворяли линейным ограничениям и при этом линейная функция

(5)

обращалась в минимум. Это задача линейного программирования. Решая задачу (3)-(4), получаем оптимальное решение и оптимальную стратегию .

Для определения оптимальной стратегии следует учесть, что игрок В стремится минимизировать гарантированный выигрыш, т.е. найти . Переменные удовлетворяют неравенствам

(6)

которые следуют из того, что средний проигрыш игрока В не превосходит цены игры, какую бы чистую стратегию не применял игрок А.

Если обозначить

/v, 1, 2, …, п, (7)

то получим систему неравенств:

(8)

Переменные (j= 1, 2, …, n,) удовлетворяют условию.

Игра свелась к следующей задаче.

Определить значения переменных 0, j=1, 2, …, n, которые удовлетворяют системе неравенств и максимизируют линейную функцию

₍₉₎

Решение задачи линейного программирования определяет оптимальную стратегию . При этом цена игры

v =1/max=1/min. (10)

Составив расширенные матрицы для задач (4), (5) и (8), (9), убеждаемся, что одна матрица получилась из другой транспортированием:

≥ ≤

Таким образом, задачи линейного программирования (4), (5) и (6), (9) являются взаимно-двойственными. Очевидно, при определении оптимальных стратегий в конкретных задачах следует выбрать ту из взаимно-двойственных задач, решение которой менее трудоёмко, а решение второй задачи найти с помощью теорем двойственности.

При решении произвольной конечной игры размером рекомендуется придерживаться следующей схемы:

Исключить из платежной матрицы заведомо невыгодные стратегии по сравнению с другими стратегиями. Такими стратегиями для игрока A (игрока B) являются те, которым соответствуют строки (столбцы) с элементами, заведомо меньшими (большими) по сравнению с элементами других строк (столбцов).
Определить верхнюю и нижнюю цены игры и проверить имеет ли игра седловую точку. Если седловая точка есть, то соответствующие ей стратегии игроков будут оптимальными, а цена совпадет с верхней (нижней) ценой.
Если седловая точка отсутствует, то решение следует искать в смешанных стратегиях. Для игр размером рекомендуется симплексный метод, для игр размером 2х2, 2хn, nх2 возможно геометрическое решение.