Теория массового обслуживания

МиНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ государственное БЮДЖЕТНОЕ образовательное учреждение высшего профессионального образования

«тюменский государственный нефтегазовый  университет»

Сургутский  институт нефти и газа (филиал)

 

 

 

Кафедра эксплуатация транспорта и технологических машин

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Теория массового  обслуживания»

Вариант №1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                       Форма обучения: очная

                                                                                       Группа: АТХб-11

                                                                                       Выполнил: Бияшев М.Р.

                                                                                       Проверил: Пятов С. Г.

 

 

 

Сургут

2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ 3

Содержание работы 4

КОМПОНЕНТЫ И КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 5

1.1. Одноканальная модель СМО с ожиданием 8

1.2. Многоканальная модель  СМО с ожиданием 10

УСЛОВИЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 13

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Процесс изучения дисциплины направлен  на формирование следующих компетенций:

знанием программно-целевых методов  и методик их использования при  анализе и совершенствовании  производства (ПК-12);

знанием состояния и направлений  использования достижений науки  и практики в профессиональной деятельности (ПК-13);

знанием методик эффективной организации  работы предприятий эксплуатационного  комплекса (ПК-14);

знанием специальной литературы и  других информационных данных (в том  числе на иностранном языке) для  решения профессиональных задач (ПК-15);

знанием и умением использования  компьютерной техники и основ  информатики при учете и оценке экономической эффективности выполняемой  работы, расходовании материалов и  средств предприятия (ПК-41);

способностью использовать методы инженерных расчетов и принятия инженерных и управленческих решений (ПК-44);

В результате изучения дисциплины студент  должен:

Знать:

теорию массового обслуживания как особый способ познания реальных  процессов, протекающих в различных системах;

методы математического моделирования;

Уметь:

проводить анализ простейших данных и их обработку;

использовать  методы и модели теории массового обслуживания в транспортных и технологических системах;

создавать математические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике;

рассчитывать вероятностные модели для конкретных процессов и методы расчета параметров модели.

Владеть:

навыками расчета систем массового  обслуживания;

методами моделирования транспортно-технологических  машин с точки зрения теории массового  обслуживания.

 

Содержание работы

 

• Цели и задачи проекта.

•  Обобщенное резюме, основные параметры  и показатели.

• Описание предприятия.

•  Исследование, анализ сервиса.

• Расчет основных характеристик.

• Эффективность функционирования СМО.

 

КОМПОНЕНТЫ И КЛАССИФИКАЦИЯ  МОДЕЛЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

 

Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания, а если все каналы заняты, то заявки образуют очередь.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда  образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим  образом. Поступив в обслуживающую  систему, требование присоединяется к  очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его  обслуживанию. После завершения процедуры  обслуживания очередного требования канал  обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое  имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового  обслуживания подобного рода повторяется  многократно в течение всего  периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход  системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты  времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

  • посты технического обслуживания автомобилей;
  • посты ремонта автомобилей;
  • персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
  • станции технического обслуживания автомобилей;
  • аудиторские фирмы;
  • отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
  • телефонные станции и т. д.

Основными компонентами системы массового  обслуживания любого вида являются (рис. 4.1):

  • входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
  • очередь;
  • обслуживающие аппараты, механизм обслуживания;
  • выходящий поток.

 

 

Рис.1. Основные компоненты системы массового обслуживания

 

Раскроем содержание каждого из указанных выше компонентов.

Входной поток требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

Очередь образуется в том случае, когда пропускная способность обслуживающих аппаратов недостаточна по отношению к входящему потоку требований.

Кроме того существует такое понятие  как дисциплина очереди – это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

  • первым пришел - первый обслуживаешься;
  • пришел последним - обслуживаешься первым;
  • случайный отбор заявок;
  • отбор заявок по критерию приоритетности (часть требований имеет преимущество перед другими);

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

Структура обслуживающей системы  определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего, следует подчеркнуть, что  система обслуживания может иметь  не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать  одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место  параллельное обслуживание.

Выходящий поток также играет важную роль, так как он сам может образовывать входящий поток в другую систему массового обслуживания. Кроме обслуженных заявок выходящий поток может включать и не обслуженные (например, невозможность устранения определенного вида отказов).

Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности  любой системы массового обслуживания определяются следующими основными  факторами:

  • вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
  • вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
  • конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
  • количеством и производительностью обслуживающих каналов;
  • дисциплиной очереди;
  • мощностью источника требований.

В качестве основных критериев эффективности  функционирования систем массового  обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

  • вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
  • вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
  • относительная и абсолютная пропускная способность системы;
  • средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
  • среднее время ожидания в очереди;
  • средняя длина очереди;
  • средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.п.

Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового  обслуживания, различают два основных вида СМО:

  • системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;
  • системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.

Системы массового обслуживания с  ожиданием делятся на системы  с ограниченным ожиданием и системы  с неограниченным ожиданием.

В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:

  • длина очереди;
  • время пребывания в очереди.

 

Одноканальная модель СМО  с ожиданием

Система массового обслуживания имеет  один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с  интенсивностью l. Интенсивность потока обслуживания равна m (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать m обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 5.2.

Рис.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием  
(схема гибели и размножения)

 

Состояния СМО имеют следующую  интерпретацию:

S0 – «канал свободен»;

S1 – «канал занят» (очереди нет);

S2 – «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);

Sk – «канал занят» (k-1 заявок стоит в очереди);

Sm+1 – «канал занят» (m заявок стоит в очереди).

Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей  системой алгебраических уравнений:

Пользуясь уравнениями для процесса гибели и размножения получим:

 (1)

 

где  – приведенная интенсивность (плотность) потока;

Тогда вероятность что занят 1 канал  и k-1 мест в очереди:

 

Следует отметить, что выполнение условия стационарности < 1 для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать m), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением .

Определим характеристики одноканальной  СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной m:

 

 

 

вероятность отказа в обслуживании заявки;

 

; (2)

 

относительная пропускная способность  системы:

 

; (3)

 

абсолютная пропускная способность:

 

А = ql; (4)

 

среднее число заявок, находящихся в очереди:

 

; (5)

 

среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

 

 (6)

 

среднее число заявок, находящихся  в системе(связанных с СМО):

 

; (7)

 

среднее время пребывания заявки в  системе:

 

Тсист.= Тож. + tоб; (8)

 

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

 

. (9)

 

Если имеется неограниченное число  мест ожидания в очереди m, то вышеуказанные формулы справедливы только при ρ < 1, так как при ρ 1 нет установившегося режима (очередь неограниченно растет) и при q=1, A=λq=λ.

Многоканальная  модель  СМО с ожиданием

Процесс массового обслуживания при  этом характеризуется следующим: входной  и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями l и m соответственно; параллельно обслуживаться могут не более n клиентов. Система имеет n каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/m.

 

Рис.3. Граф состояний многоканальной СМО с ожиданием

 

Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, связанных с системой:

По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью λ, по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживаний, интенсивность которого равна µ, умноженному на число занятых каналов.

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие: .

Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим  формулам.

Вероятность того, что все посты  свободны:

при неограниченной длине очереди:

 (10)

 

при длине очереди ограниченной числом m:

; (11)

вероятность отказа система (все посты  заняты, все места в очереди  заняты):

; (12)

 

вероятность того, что занято k постов и r постов ожидания:

; (13)

; (14)

 

среднее число заявок в очереди:

, (15)

где  ;

 

среднее число занятых каналов:

 (16)

складывая среднее число заявок в очереди  и среднее число занятых каналов , получим среднее число заявок, связанных с системой:

 

; (17)

 

среднее время ожидания заявки в  очереди:

; (18)

 

средняя продолжительность пребывания заявки в системе:

tсист = +1/m.. (19)

 

Условие выполнения задачи

 

Система массового  обслуживания представляет собой СТО, на котором имеется:

    • 1 пост диагностирования автомобилей (Д);
    • 1 пост развала-схождения (РС);
    • n постов по ремонту автомобилей (Р).

На СТО  поступает поток автомобилей  с интенсивностью λ автомобилей в час.

Характеристики  постов следующие:

Пост

Максимально возможная очередь на посту

Среднее время обслуживания постом, мин

Процент от общего числа автомобилей, поступающих на различные посты

1

2

3

4

Д

m1

a

d %

РС

m2

b

e %

Р

m3

c

f %


 

Кроме того, было выявлено, на СТО поступают  автомобили различных марок, с разными  отказами.

 

Марка

Процент от общего числа автомобилей, поступающих на различные посты

Стоимость проведения диагностирования, у.е.

Стоимость проведения развала-схождения, у.е.

1

2

3

4

ВАЗ

50%

G

j

ГАЗ

20%

H

k

Иномарки

30%

I

l


 

Для разных марок имеется установленная  стоимость:

Процент отказов по системам

ДВС

КПП и трансм.

Сист. пит

Эл. об.

прочие

1

2

3

4

5

25%

20%

15%

15%

25%

25%

30%

10%

10%

25%

20%

30%

15%

5%

30%


 

Проводя массовые наблюдения было установлено, что в среднем o % после прохождения диагностики направляются в ремонт, из них с отказами по системам:

60% – ДВС;

30% – система питания;

10% – электрооборудования.

Кроме того, было выявлено, что p% автомобилей после ремонта отправляются на пост РС.

Необходимо определить:

Доход, полученный СТО за 30 дней при 12  часовом рабочем дне.

Среднее время простоя в очереди  на постах Д, РС и Р.

Среднее число занятых постов ремонта.

Возможную выгоду, которая могла  быть если бы не было отказов автомобилей  в вышеперечисленных услугах  автомобилей за 30 дней при 12  часовом  рабочем дне.

Пояснение.

Для решения  этой задачи необходимо сделать три  расчета:

  1. Рассчитать одноканальную систему с ожиданием (диагностика).
  2. Рассчитать многоканальную систему с ожиданием (ремонт).
  3. Рассчитать одноканальную систему с ожиданием (развал/схождение).

Выходы из одних постов могут быть частично (дано в % в условии) входами в другие подсистемы.  Их надо добавить к входящему потоку в данную подсистему.

В расчетах необходимо выйти  на  абсолютную пропускную способность (А), а потом от нее брать соответствующие доли потоков для расчетов потоков в другие посты (согласно условию). Абсолютная пропускная способность позволит рассчитать и количество отказов по маркам автомобилей и по видам технических воздействий.

Зная цену соответствующего вида услуг и значения абсолютной пропускной способности  можно определить доходы системы.

 

РАСЧЁТ ОДНОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ  С ОЖИДАНИЕМ (ДИАГНОСТИКА)

 

№ вар.

λ

n

m1

m2

m3

a

b

C

d

e

F

G

H

I

J

K

l

O

p

1

8

8

5

2

3

19

31

101

12

7

81

32

30

39

20

15

32

25

19


Пользуясь уравнениями для процесса гибели и размножения получим:

Тогда вероятность что занят 1 канал  и k-1 мест в очереди:

 

Вероятность отказа в обслуживании заявки:

 

Относительная пропускная способность системы:

Абсолютная пропускная способность:

А = 0,3938×8 = 3,15

Среднее число  заявок, находящихся в очереди:

Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

 

Среднее число заявок, находящихся в системе(связанных с СМО):

 

Среднее время пребывания заявки в системе:

Тсист.= Тож. + tоб = 1,087 + 0,32= 1,404 

Средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

. 

Если имеется неограниченное число  мест ожидания в очереди m, то вышеуказанные формулы справедливы только при ρ < 1, так как при ρ 1 нет установившегося режима (очередь неограниченно растет) и при q=1, A=λq=λ.

РАСЧЁТ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ОЖИДАНИЕМ (РЕМОНТ)

 

Вероятность того, что все посты  свободны:

при неограниченной длине  очереди:

= -0,00011

при длине очереди ограниченной числом m:

вероятность отказа система (все посты заняты, все места в очереди заняты):

Вероятность того, что занято k постов и r постов ожидания:

 

Среднее число заявок в очереди:

 

где  ;

 

Среднее число занятых каналов:

 

складывая среднее число  заявок в очереди  и среднее число занятых каналов , получим среднее число заявок, связанных с системой:

 

; 

 

Среднее время ожидания заявки в очереди:

; 

 

Средняя продолжительность пребывания заявки в системе:

 

 

РАСЧЁТ ОДНОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ  С ОЖИДАНИЕМ (РАЗВАЛ-СХОЖДЕНИЕ)

 

Пользуясь уравнениями для процесса гибели и размножения получим:

Тогда вероятность что занят 1 канал  и k-1 мест в очереди:

Вероятность отказа в обслуживании заявки:

Относительная пропускная способность системы:

Абсолютная пропускная способность:

А = 0,239×8 = 1,915

Среднее число  заявок, находящихся в очереди:

Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

 

Среднее число  заявок, находящихся в системе(связанных  с СМО):

 

Среднее время пребывания заявки в системе:

Тсист.= Тож. + tоб = 0,2132 + 0,52= 0,73 

Средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

. 

Если имеется неограниченное число  мест ожидания в очереди m, то вышеуказанные формулы справедливы только при ρ < 1, так как при ρ 1 нет установившегося режима (очередь неограниченно растет) и при q=1, A=λq=λ.