Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Теория нечетких множеств

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ВолгГТУ)

Кафедра Вычислительной техники

Семестровая работа

"Теория нечетких множеств"

Выполнила:ст гр ЭМР-453

Горбунова М. А.

Проверил:ст.преподователь

Коротеев М.В

Волгоград, 2013г.

Содержание:

Введение...................................................................................................................3

Определение теория нечётких множеств.........................................................4-7

Основные характеристики нечетких множеств..................................................8

Свойства нечетких множеств...........................................................................8-10

Операции над нечеткими множествами......................................................11-13

Заключение ...........................................................................................................14

Список используемой литературы......................................................................15

Введение

Понимание необходимости разработки эффективного математического аппарата для работы с неопределенностями, в том числе и субъективной природы, осознание недостатков теоретико-вероятностных методов, привело к бурному развитию и формированию в последние 30 лет рада новых научных дисциплин: интервальной математики, теории нечетких множеств, теории возможностей и теории свидетельств Демпстера-Шефера, частными случаями которой являются аксиоматики теории возможностей и классической теории вероятностей. Эти направления не отрицают, а обобщают традиционные представления.

В настоящее время постепенно становится ясным, какие подходы, в каких ситуациях и в каких сочетаниях нужно использовать. Весь этот комплекс новых теорий и методов (включая классическую теорию вероятностей) движется к естественному объединению в общую теорию анализа неопределенностей. Процесс этот не завершен и из всего многообразия новых теорий и методов оперирования с неопределенностями наибольшее распространение в практических приложениях получили методы тории нечетких множеств (и связанной с ней теории возможностей) и прикладного интервального анализа.

Основоположником теории нечетких множеств в современной трактовке является Л. А. Заде. Отметим, что, согласно данным работы, построения нечетких множеств появилась в связи с исследованием известного античного «парадокса кучи» в трудах Е. Бореля еще в 1959 г., т. е. за 15 лет до Л. А. Заде. Однако, именно благодаря Л. А. Заде теория приобрела математически формализованный вид. До появления аппарата теории нечетких множеств любая неопределенность, появляющаяся при решении практических задач, отождествлялась со случайностью. В то же время в повседневной жизни мы часто используем такие понятия, как большой, малый, хороший, простой, сложный, горячий и т. д., которые являются нечеткими, расплывчатыми, однако эта неопределенность не носит вероятностного характера. Теория нечетких множеств разработана для оперирования с такого рода объектами.

Случайность всегда связана с неопределенностью, касающейся принадлежности некоторого объекта к вполне четкому множеству. Понятие же нечеткости относится к классам, в которых имеются различные градации степени принадлежности, промежуточные между полной принадлежностью и не принадлежностью объектов к данному классу. Иными словами, нечеткое множество есть класс объектов, в котором нет резкой границы между теми объектами, которые входят в этот класс, и теми, которые в него не входят.

Определение теория нечётких множеств

Теория нечётких множеств (Заде) — это расширение классической теории множеств, используется в нечёткой логике. Впервые предложена Лотфи А. Заде в 60-х годах XX века.

В классической теории множеств принадлежность элементов множеству оценивается в бинарных терминах в соответствии с чётким условием — элемент либо принадлежит, либо нет данному множеству. Напротив, теория нечётких множеств разрешает градуированную оценку отношения принадлежности элементов множеству; то есть этот отношение описывается при помощифункции принадлежности . Нечёткие множества — это расширение классической теории множеств, поскольку на некотором множестве функция принадлежности может действовать так же, как индикаторная функция, отображая все элементы либо в 1, либо в 0, как в классическом варианте.

Определение

Нечёткое множество на классическом множестве Χ определяется как следующее: функция принадлежности μA(x) количественно градуирует принадлежность элементов x фундаментальному множеству X. Отображение элемента в значение 0 означает, что элемент не принадлежит данному множеству, значение 1 описывает полной принадлежности элемента множеству. Значения, лежащие строго между 0 и 1, характеризуют «нечёткие» элементы.

Нечёткое множество и чёткое (crisp) классическое множество

Следующие соотношения выполнены для значений функции принадлежности μ_A(x):

Нечеткие множества

Пусть E - универсальное множество, x - элемент E, а R - определенное свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойство R, определяется как множество упорядоченной пары A = {mA (х)/х}, где mA(х) - характеристическая функция, принимающая значение 1, когда x удовлетворяет свойство R, и 0 - в другом случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа "нет" относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченной пари A = {mA(х)/х}, где mA(х) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значение в некотором упорядоченном множестве M (например, M = [0,1]).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x к подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = {0,1}, тогда нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Рассмотрим множество X всех чисел от 0 до 10. Определим подмножество A множества X всех действительных чисел от 5 до 8.

A = [5,8]

Покажем функцию принадлежности множества A, эта функция ставит в соответствие число 1 или 0 каждому элементу в X, в зависимости от того, принадлежит данный элемент подмножеству A или нет. Результат представлен на следующем рисунке:

Можно интерпретировать элементы, соответствующие 1, как элементы, находящиеся в множестве A, а элементы, соответствующие 0, как элементы, не находящиеся в множестве A.

Эта концепция используется в многих областях. Но существуют ситуации, в которых данной концепции будет не хватать гибкости.

В данном примере опишем множество молодых людей. Формально можно записать так

B = {множество молодых людей}

Поскольку, вообще, возраст начинается с 0, то нижняя граница этого множества должна быть нулем. Верхнюю границу определить сложнее. Сначала установим верхнюю границу, скажем, равную 20 годам. Таким образом, имеем B как четко ограниченный интервал, буквально: B = [0,20]. Возникает вопрос: почему кто-то в свой двадцатилетний юбилей - молодой, а сразу на следующий день уже не молодой? Очевидно, это структурная проблема, и если передвинуть верхнюю границу в другую точку, то можно задать такой же вопрос.

Более естественный путь создания множества B состоит в ослаблении строгого деления на молодых и не молодых. Сделаем это, вынося не только четкие суждения "Да, он принадлежит множеству молодых людей" или "Нет, она не принадлежит множеству молодых людей", но и гибкие формулировки "Да, он принадлежит к довольно молодым людям" или "Нет, он не очень молодой".

Рассмотрим как с помощью нечеткого множества определить выражение "он еще молодой".

В первом примере мы кодировали все элементы множества с помощью 0 ли 1. Простым способом обобщить данную концепцию является введение значений между 0 и 1. Реально можно даже допустить бесконечное число значений между 0 и 1, в единичном интервале I = [0, 1].

Интерпретация чисел при соотношении всех элементов множества становится теперь сложнее. Конечно, число 1 соответствует элементу, принадлежащему множеству B, а 0 означает, что элемент точно не принадлежит множеству B. Все другие значения определяют степень принадлежности к множеству B.

Для наглядности приведем характеристическую функцию множества молодых людей, как и в первом примере.

Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого

mA(x1)=0,3; mA(x2)=0; mA(x3)=1; mA(x4)=0,5; mA(x5)=0,9

Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 } или

A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5,

(знак "+" является операцией не сложения, а объединения) или

	x1	x2	x3	x4	x5
A =	0,3	0	1	0,5	0,9

2. Основные характеристики нечетких множеств

Пусть M = [0,1] и A - нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M

Величина mA(x) называется высотою нечеткого множества A. Нечеткое множество A является нормальным, если его высота равняется 1, то есть верхняя граница ее функции принадлежности равняется 1 ( mA(x)=1). При mA(x)<1 нечеткое множество называется субнормальным.
Нечеткое множество является пустым, если "xÎE m A(x)=0. Непустое субнормальное множество можно нормализировать по формуле mA(x) :=
Нечеткое множество является унимодальным, если mA(x)=1 лишь для одного x из E.
Носителем нечеткого множества A является обычное подмножество со свойством mA(x)>0, то есть носитель A = {x/mA(x)>0} " xÎE.
Элементы xÎE, для которых mA(x)=0,5 называются точками переходамножества A.

3. Свойства нечетких множеств

Определение 12. Высотой нечеткого множества называется верхняя граница его функции принадлежности: . Для дискретного универсального множества супремум становится максимумом, а значит высотой нечеткого множества будет максимум степеней принадлежности его элементов

Определение 13. Нечеткое множество называется нормальным, если его высота равна единице. Нечеткие множества не являющиеся нормальными называются субнормальными. Нормализация - преобразование субнормального нечеткого множества в нормальное определяется так: . В качестве примера на рис. 1 показана нормализация нечеткого множества с функцией принадлежности .

Рисунок 1 - Нормализация нечеткого множества

Определение 14. Носителем нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества , элементы которого имеют ненулевые степени принадлежности: .

Определение 15. Нечеткое множество называется пустым, если его носитель является пустым множеством.

Определение 16. Ядром нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества , элементы которого имеют степени принадлежности равные единице: . Ядро субнормального нечеткого множества пустое.

Определение 17. -сечением (или множеством -уровня) нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества , элементы которого имеют степени принадлежности большие или равные : , . Значение называют -уровнем. Носитель (ядро) можно рассматривать как сечение нечеткого множества на нулевом (единичном) -уровне.

Рис. 2 иллюстрирует определения носителя, ядра, -сечения и -уровня нечеткого множества.

Рисунок 2 - Ядро, носитель и -сечение нечеткого множества

Определение 18. Нечеткое множество называется выпуклым если: , , . Альтернативное определение: нечеткое множество будет выпуклым, если все его -сечения - выпуклые множества. На рис. 3 приведены примеры выпуклого и невыпуклого нечетких множеств.

Рисунок 3 - К определению выпуклого нечеткого множества

Определение 19. Нечеткие множества и равны ( ) если .

4. Операции над нечеткими множествами

Определения нечетких теоретико-множественных операций объединения, пересечения и дополнения могут быть обобщены из обычной теории множеств. В отличие от обычных множеств, в теории нечетких множеств степень принадлежности не ограничена лишь бинарной значениями 0 и 1 - она может принимать значения из интервала [0, 1]. Поэтому, нечеткие теоретико-множественные операции могут быть определены по-разному. Ясно, что выполнение нечетких операций объединения, пересечения и дополнения над не нечеткими множествами должно дать такие же результаты, как и при использование обычных канторовских теоретико-множественных операций. Ниже приведены определения нечетких теоретико-множественных операций, предложенных Л. Заде.

Определение 20. Дополнением нечеткого множества заданного на называется нечеткое множество с функцией принадлежности для всех . На рис. 4 приведен пример выполнения операции нечеткого дополнения.

Рисунок 4 - Дополнение нечеткого множества

Определение 21. Пересечением нечетких множеств и заданных на называется нечеткое множество с функцией принадлежности для всех . Операция нахождения минимума также обозначается знаком , т.е. .

Определение 22. Объединением нечетких множеств и заданных на называется нечеткое множество с функцией принадлежности для всех . Операция нахождения максимума также обозначается знаком , т.е. .

Обобщенные определения операций нечеткого пересечения и объединения - треугольной нормы (t-нормы) и треугольной конормы (t-конормы или s-нормы) приведены ниже.

Определение 23. Треугольной нормой (t-нормой) называется бинарная операция на единичном интервале , удовлетворяющая следующим аксиомам для любых :

(граничное условие);
если (монотонность);
(коммутативность);
(ассоциативность).

Наиболее часто используются такие t-нормы: пересечение по Заде - ; вероятностное пересечение - ; пересечение по Лукасевичу - . Примеры выполнения пересечения нечетких множеств с использованием этих t-норм показаны на рис. 5.

Рисунок 5 - Пересечение нечетких множеств с использованием различных t-норм

Определение 25. Треугольной конормой (s-нормой) называется бинарная операция на единичном интервале , удовлетворяющая следующим аксиомам для любых :

(граничное условие);
если (монотонность);
(коммутативность);
(ассоциативность).

Наиболее часто используются такие s-нормы: объединение по Заде - ; вероятностное объединение - ; объединение по Лукасевичу - . Наиболее известные треугольные нормы приведены в табл. 1.

Таблица 1 - Примеры треугольных норм

		Параметр
		-
		-
		-
		-

Заключение

В процессе работы мы узнали о самых основных положениях теории нечетких множеств таких как определение, свойства , операции нечетких множест и т.д. Наглядные примеры помогли нам лучше усвоить эти понятия. В настоящее время теория нечетких множеств является одной из основ таких областей математики, информатики и т.д.

Элементами теории нечетких множеств могут быть самые разнообразные предметы: буквы, числа, функции, точкии . Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории нечетких множеств и ее приложимость к очень многим областям знания (математике, механике, физике). Сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника.

Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.

Анализ нечетких методов принятия решений позволяет сформулировать требования к дальнейшим разработкам в этой области. Это развитие теоретических подходов к описанию сложных взаимоотношений между критериями, более широкое применение интеллектуальных методов на основе нечеткой логики, а также развитие комбинированных методов принятия решений с использованием нечетких представлений

Список используемой литературы

1. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/Под ред. Д. А. Поспелова. — М.: Наука, 1986. — 312 с.

2. Боросов А.Н. Принятие решений на основе нечетких моделей: ПримерыI использования. Рига: Зинанте, 1990.

3. Вопросы анализа и процедуры принятия решений/Под ред. И.Ф. Шах-нова. М.: Мир, 1976.

4. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств/Пер, с франц. М,: Радио и связь, 1982.

5. Лебег А. Об измерении величин. - М.: Учпедгиз, 1960. - 204 с.

6. Орлов А.И. Основания теории нечетких множеств (обобщение аппарата Заде). Случайные толерантности. – В сб.: Алгоритмы многомерного статистического анализа и их применения. - М.: Изд-во ЦЭМИ АН СССР, 1975. - С.169-175.

7. Яхъяева Г.Э. Нечеткие множества и нейронные сети. Серия: Основы информационных технологий. – БИНОМ, 2008. – 320 с.

8. Jang J.-S., Sun C.T., Mizutani E. Neuro-Fuzzy and Soft Computing: A Computational Approach to Learning and Machine Intelligence. – The USA: Prentice Hall, 1997. – 614 p.

9. Тарков М.С. Нейрокомпьютерные системы. Серия: Основы информационных технологий. – Изд-во Интернет-университета информационных технологий – ИНТУИТ.ру, БИНОМ, 2006. – 144 с.