Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Теория вероятностей. 9

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Филиал Уральского государственного экономического университета

в г. Березники

Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин

Контрольная работа

по дисциплине: «математика»

Тема: «Теория вероятностей»

Вариант 3.

Выполнила:

Студентка 3 курса, группа ЭКФЗ 091

Зиновьева Е. И.

Проверил:

Кандидат ф-м. наук

Кобзев Виктор Николаевич

Березники

2012

Содержание.

Задача 1……………………………………………………………………………3

Задача 2……………………………………………………………………………5

Задача 3……………………………………………………………………………7

Задача 4……………………………………………………………………………8

Задача 5……………………………………………………………………………9

Задача 6…………………………………………………………………………...10

Задача 7…………………………………………………………………………...11

Задача 8…………………………………………………………………………...17

Задача 1.

В первой урне находятся 16 белых и 4 черных шаров, во-второй урне — 5 белых и 2 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили 2 шара, а затем из второй урны извлекли один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение.

Мы провели 3 опыта:

Извлекли из 1 урны первый шар и переложили его во 2 урну
Извлекли из 1 урны второй шар и переложили его во 2 урну
Из 2 урны извлекли один шар

Поэтому дерево вероятностей содержит 3 уровня вершин.

Т.к. каждый раз возможны два исхода, то из каждой вершины выходят две ветви. Над каждой ветвью пишем название соответствующего исхода (белый и черный), а под ветвью – вероятность этого исхода.

Всего в нашем дереве 8 путей.

Белый, белый, белый
Белый, белый, черный

…………………………..

8. черный, черный, черный

Это означает, что возможно 8 сложных событий. Событие «белый, белый, белый» говорит о том, что оба переложенных шара из 1- й урны во 2-ю были белого цвета и, что из второй урны извлекли белый шар.

Нас интересует лишь тот исход опыта, когда шар из 2-й урны будет белый.

Отсюда можно вычислить вероятность появления белого шара в результате опыта:

()+(+(+()=209/285

Ответ: Таким образом, вероятность вынуть белый шар из второй урны равна 202/285.

Дерево вероятностей.

белый белый

7/9 белый

белый

15/19 черный белый

белый

белый 2/9 черный

16/20 белый белый

6/9 черный

белый

черный

4/19 белый

черный черный

3/9 черный

черный

белый белый

6/9 белый

белый

черный
16/19 черный белый

черный 3/9 черный

4/20 белый черный

5/9 черный

белый

черный

3/19 черный

черный черный

5/9 черный

- 4 -

Задача 2

На заводах А и В изготовлено 85% и 15% всех деталей. Из прошлых данных известно, что 20% деталей завода А и 5% завода В оказываются бракованными. Случайно выбранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на заводе А?

Решение:

Проводим опыт:

Определение завода;
Определение качества детали.

Строим дерево вероятностей

0,85*0,2=0,17

0,85*0,80=0,68

0,15*0,05=0,0075

0,15*0,95=0,1425

- 5 -

Всего в получившемся дереве вероятностей 4 возможных пути – это означает 4 сложных событий.

Нас интересует лишь тот исход, когда деталь одного из заводов окажется бракованной.

Найдем вероятность выбрать деталь, оказавшуюся бракованной:

0,85*0,2+0,15*0,05=0,17+0,0075=0,1775

Вычислим вероятность бракованных деталей завода А:
(0,17) : (0,1775) =0,96

Ответ: Вероятность бракованных деталей завода А равна 0,96

- 6 -

Задача 3.

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна р=0,4. Найти вероятность того, что при n=600 выстрелах мишень будет поражена не менее k1 = 250 и не более k2 = 600 раз.

Решение:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Р=Р(А)

q=1-0,4=0,6

0,341345- 0,296731= 0,044614

Ответ: вероятность при 600 выстрелах мишень будет поражена не менее 250 и не более 600 раз равна 0,044614 .

- 7 -

Задача 4.

Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за 1 минуту равно 6.

Найти вероятность того, что за время 6 минут

Прибудут 4 самолета
Прибудут не менее 4 самолетов

Поток предполагается простейший.

Решение:

Интенсивность , к=4 самолетов, t=6 время.

Находим вероятность того, что прибудут 4 самолета

= == 1,6233E-11

Находим вероятность того, что прибудут не менее 4 самолетов.

Пусть

А=( прибыло не менее 4 самолетов)

В=( прибыло менее 4 самолетов)

Отсюда следует что, это два противоположных события и сумма их вероятностей равна 1- есть сумма несовместимых событий.

Пусть

С=( не прибыло ни одного самолета)

D=(прибыл 1 самолет)

Тогда

=1-Р(к<4)=1-( = - =1-0=1

Ответ:

вероятность того, что прибудут 4 самолета равна 0
вероятность того, что прибудут не менее 4 самолетов равна 1

- 8 -

Задача 5.

Произведено n= 400 независимых испытаний В каждом из них вероятность появления события а равна р=0,35. Найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит заданного числа .

Решение:

q=1-p=1-0.35=0.65

0,481977

Ответ: вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит заданного числа равно 0,481977

- 9 -

Задача 6.

Дискретная случайная величина принимает значение х1=6; х2=2; х3=8 с вероятностями р1=0,3; р2=0,2; р3=0,5. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

Найдем математическое ожидание: М(Х)=

Найдем математическое ожидание и дисперсию.


6	0,3	1,8	36	10,8
2	0,2	0,4	4	0,8
8	0,5	4	64	32
сумма	1	6,2	104	43,6

M(X)=6*0,3+2*0,2+8*0,5=1,8+0,4+4=6,2

D(X)= =43,6- (6,2)2=43,6-38,44=5,16

Ответ: M(X)=6,2; D(X)=5,16

- 10 -

Задача 7.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид, показанный на графике.

Найти неизвестное число m, функцию распределения F(x), математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(x), a=1, b=3,c=4

Решение: (св-во функции f(x))

(геометрический смысл определенного интеграла - это площадь треугольника)

1= =

1=3m/2 m=2/3

На участке 1

и на участке f(x)=0

- 11 -

На участке 2

график f(x) - это отрезок прямой АВ

Уравнение прямой проходящей через 2 точки ,

Точки с координатами А(1;0) В(3;2/3) тогда

2/3(х-1)=2y→

На участке 3

график f(x) - это отрезок прямой ВС

Точки с координатами С(4;0) В(3;2/3)

Тогда

Отсюда следует

- 12 -

F(x)=

Свойство функции F(x) мы воспользуемся геометрическим смыслом определенного интеграла.

- если то f(x)=0 и площадь под кривой равна нулю

- если то F(x)= = =1

- если , то F(x)= = =

0 х

Координаты точек М (х; 0) N(x; f(x))=(x;1/3х-1/3)

Тогда = 0,5(х-1)(1/3х-1/3-0)=(0,5х-0,5)(1/3х-1/3)=1/6х2-1/6х-1/6х+1/6=1/6х2-1/3+1/6=1/6(х-1)2

- 13 -

-если то F(x)= = = = - =1-

Координаты точек Q(х;0) P(x;f(x))=(x;8/3-2/3х-0)

0 х

1- =1-=1

Отсюда следует

Математическое ожидание

М(х)=

- 14 -

3 3 4 4

- )+( - ) =

1 1 3 3

3 3 4 4

= - ) + ( - ) =

1 1 3 3

D(x)=2

-15 -

3 3 4 4

=( - ) + ( - )=

1 1 3 3

3 3 4 4

=( - ) + ( - ) =

1 1 3 3

Ответ: M(x)= D(x)=

- 16 -

Задача 8.

Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины Х имеет вид

Найти неизвестное число γ, математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х), вероятность выполнения неравенств 3<X<6 и |X-M(X)|<0,15.

Решение:

M(X)=a=1, ;

Приравниваем :

- 17 -

Находим вероятность выполнения неравенств

3<X<6 и |X-M(X)|<0,15.

M(X)=1, тогда ;

P(3<x<6)=

Ответ: M(X)=1, D(X)=1/4, .

-18 -