Теория вероятностей и математическая статистика. 2
Министерство образования и науки
Федеральное государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ»
Институт информационных систем
Кафедра математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
по учебной дисциплине "Математика"
Вариант № 20
Выполнил (а) ..........................
Институт
Направление подготовки
.................Менеджмент...
Группа
Руководитель курсовой работы
к.ф.м.н, доцент
..............................
Москва 2014
Оглавление
Теория вероятностей и математическая статистика.
Задача № 1
При перевозке 120 деталей, из которых 21 были забракованы, утеряна 1 стандартная деталь. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь (из оставшихся) окажется стандартной.
Решение
Всего 120 деталей, среди них 21 бракованных и 99 не бракованных. Одну потеряли, значит всего осталось 98 не бракованных деталей. По классической формуле вероятности найдем вероятность того, что наудачу извлеченная деталь (из оставшихся) окажется стандартной
где - общее число элементарных исходов опыта, - число благоприятных элементарных исходов опыта.
Задача № 2
На один ряд, состоящий из 24 мест, случайно садятся 24 учеников. Найти вероятность того, что 3 определенных ученика окажутся рядом.
Решение
Случайный эксперимент – рассаживание 24 учеников в один ряд. Элементарный исход – перестановка из 24 элементов. Общее число таких перестановок . Благоприятными исходами являются те, в которых 3 конкретных ученика (например, те, которые имеют номера 1,2 и 3) окажутся рядом. Число таких исходов можно определить так. Тройка учеников, сидящих рядом, имеет 22 вариантов своего размещения среди 24 учеников, поскольку «самый левый» из этой тройки может сидеть на местах с 1-ого по 21-ое. Внутри этой тройки число вариантов размещения учеников равно . Остальные 21 учеников могут размещаться на оставшихся 21 местах числом способов, равным . Тогда число благоприятных элементарных исходов равно . Искомую вероятность определим по классической формуле
Задача № 3
Из урны, содержащей 30 белых и 20 черных шаров, вынимаются два шара.
а) Найти вероятность того, что шары разных цветов.
б) Найти вероятность того, что шары одного цвета.
Решение
Всего 50 шаров.
Количество комбинаций, при которых можно отобрать 2 шара из 50 будет равно число сочетаний 50 по 2:
А) Вероятность того, что шары разных цветов будет заключаться в том, что вытащили 1 белый шар и 1 черный шар:
Б) События «шары одного цвета» и «шары разных цветов образуют полную группу, т.е. сумма их вероятностей равна 1, т.е.
Задача № 4
Имеются две урны. В первой лежат 25 белых и 30 черных шаров; во второй находятся 20 белых и 27 черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают один шар.
Какова вероятность после этого вынуть:
а) белый шар из I урны
б) белый шар из II урны.
Решение
Обозначим следующие события:
– событие вытащить белый шар в первый раз
– событие вытащить черный шар в первый раз
– событие вытащить белый шар из первой урны во второй раз
– событие вытащить белый шар из второй урны
Вероятность вытащить белый шар в первый раз (тогда в первой будет 24 белых и 30 черных, а во второй 21 белых и 27 черных)
Вероятность вытащить черный шар в первый раз (тогда в первой будет 25 белых и 29 черных, а во второй 20 белых и 28 черных)
Вероятность вытащить белый шар из первой урны |
Вероятность вытащить белый шар из второй урны | |
|
|
|
|
|
|
А) По формуле полной вероятности получаем вероятность извлечь белый шар из первой урны:
Б) По формуле полной вероятности получаем:
Задача № 5
На I складе имеется 30 изделий, из которых 3 бракованных; на II складе находятся 35 изделий, из которых 5 бракованных. Из каждого склада выбирается по одному изделию случайным образом. После чего из этой пары отбирается одно изделие, которое оказалось небракованным. Какова вероятность, что это изделие из I склада?
Решение
Найдем вероятности:
Деталь бракованная |
Деталь не бракованная | |
1-й склад |
|
|
2-й склад |
|
|
Введем следующие обозначения:
A – событие, заключающееся в том, что вытащили не бракованную деталь
- вероятность, что из 1-го и 2-го вытащили бракованную,
- событие, вытащить одну бракованную из 1-го склада и одну не бракованную деталь из 2-го склада,
- событие, вытащить одну бракованную из 2-го склада и одну не бракованную деталь из 1-го склада,
- событие, вытащить одну бракованную из 2-го склада и одну не бракованную деталь из 1-го склада,
Тогда следующие вероятности:
– вероятность вытащить бракованную деталь, при условии, что бракованные детали не были вытащены
– вероятность вытащить бракованную деталь, при условии, что вытащили одну бракованную из 1-го склада и одну не бракованную деталь из 2-го склада
– вероятность вытащить
бракованную деталь, при условии,
что вытащили одну бракованную
из 2-го склада и одну не
- вероятность вытащить бракованную деталь, при условии, что вытащили одну бракованную из 1-го склада и одну бракованную деталь из 2-го склада
По полной формуле вероятности, вероятность извлечь не бракованную составит:
Заметим, что вытащить небракованную деталь из 1-го склада при событии будет равна ½, а при событии будет тоже равна ½. При остальных событиях вытащить не бракованную деталь из 1-го склада не возможно
Тогда вероятность, что это изделие с первого склада находится по формуле Байеса:
Задача № 6
Среди 23 часов, поступивших в ремонт, 2 с поломками оси. Наудачу взяты 3 часов. Составить ряд распределения числа часов с поломками оси среди взятых трех. Найти функцию распределения дискретной случайной величины. Построить ее график.
Решение
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 деталей нет бракованных.
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 часов одни с поломкой.
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 часов из 23:
Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию:
а) одни часы среди 2 сломанных можно выбрать способами, количество которых равно:
б) Остальные 2 исправные часы можно выбрать из 21 исправных:
Аналогично:
Получаем ряд распределения
p |
0 |
1 |
2 |
X |
0.7510 |
0.2372 |
0.0119 |
Функция распределения
F(x<0) = 0
F(0≤ x <1) = 0.751
F(1≤ x <2) = 0.2371 + 0.751 = 0.9881
F(2≤x) = 1
Рис. 1. Функция распределения числа часов с поломкой
Задача № 7
Даны независимые случайные величины X и Y заданы своими рядами распределений:
|
2 |
4 |
|
0,7 |
0,3 |
|
-1 |
0 |
21 |
|
0,4 |
0,1 |
0,5 |
Составить закон распределения их суммы - случайной величины Z=X+Y и проверить выполнение свойства математического ожидания: М(X+Y)=M(X) + M(Y)
Решение
Рассчитаем математические ожидания всех величин:
Для составления распределения случайно величины Z=X+Y построим вспомогательную таблицу:
X |
Y |
X+Y |
p(x) |
p(y) |
p(z)=p(x)p(y) |
2 |
-1 |
1 |
0.7 |
0.4 |
0.28 |
2 |
0 |
2 |
0.7 |
0.1 |
0.07 |
2 |
21 |
23 |
0.7 |
0.5 |
0.35 |
4 |
-1 |
3 |
0.3 |
0.4 |
0.12 |
4 |
0 |
4 |
0.3 |
0.1 |
0.03 |
4 |
21 |
25 |
0.3 |
0.5 |
0.15 |
После этого преобразуем ее следующим образом (для одинаковых значений Z складываем их вероятности и упорядочиваем по возрастанию)
Z |
1 |
2 |
3 |
4 |
23 |
25 |
p |
0.28 |
0.07 |
0.12 |
0.03 |
0.35 |
0.15 |
Тогда математическое ожидание:
Получаем, что:
Задача № 8
Задана функция распределения непрерывной случайной величины Х:
Определить вероятность того, что в результате испытаний случайная величина Х примет значение, большее 20,3, но меньшее 20,7. Найти плотность вероятности распределения случайной величины Х и ее дисперсию.
Решение
Данная функция распределения является функцией распределения равномерно распределенной случайной величины с параметрами 0 и 20
Математическое ожидание
Дисперсия:
= 1/60203 - (1/6003) - 102 =33 1/3
Вероятность:
Задача № 9
Производится телефонный опрос потребителей некоторой продукции. Каждый потребитель не зависимо от других может дать положительный отзыв о продукции с вероятностью 20/40. Составить закон распределения случайной величины Х - числа положительных отзывов среди 3-х опрошенных потребителей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа положительных отзывов среди 3-х опрошенных.
Решение
Вероятность будет равна 20/40=0,5
Используем формулу Бернулли
где Cmn - число сочетаний из n по m.
Найдем ряд распределения X.
Получаем закон распределения
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
p |
0.1250 |
0.3750 |
0.3750 |
0.1250 |
Математическое ожидание.
M[X] = 0*0.125 + 1*0.375 + 2*0.375 + 3*0.125 = 1.5
Дисперсия.
D[X] = 02*0.125 + 12*0.375 + 22*0.375 + 32*0.125 - 1.52 = 0.75
Задача № 10
В большой партии телевизоров 20 процентов бракованных. При продаже телевизоры проверяются по одному до тех пор, пока не будет найден качественный телевизор. При этом бракованные телевизоры отправляются обратно на завод. Какова вероятность того, что на завод будет отправлено: а) более 3 телевизоров; б) от 4 до 6 телевизоров. Найти м.о. и с.к.о. числа проверенных телевизоров.
Решение
Данное распределение будет являться геометрическим распределение с параметром и .
Формула вероятности будет
Тогда все вероятности будет равны
Получаем:
А)
Б)
Математическое ожидание случайной величины распределенной по геометрическому закону распределения будет равно:
Дисперсия случайной величины распределенной по геометрическому закону распределения будет равно:
Математическое ожидание случайной величины распределенной по геометрическому закону распределения будет равно:
Задача № 11
К киоску в среднем подходят 20 покупателей в час. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что за 2 часа к киоску подойдет: а) менее 2 покупателей; б) хотя бы 1 покупатель. Найти м.о. и с.к.о. числа покупателей за 1 час.
Решение
Рассмотрим случайную величину X – количество покупателей, подходящих к киоску за 2 часа. Поскольку поток покупателей является простейшим, то случайная величина X имеет распределение Пуассона. Найдем его параметр. Интенсивность потока: . Параметр распределения Пуассона:
. Теперь, используя формулу Пуассона, найдем искомые вероятности: ; . По формуле Пуассона: .
А)
Б)
Используем формулы для числовых характеристик распределения Пуассона:
Дисперсия случайной величины распределенной по закону распределения Пуассона будет равно:
Стандартное отклонение случайной величины распределенной по закону распределения Пуассона будет равно:
Задача № 12
Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна 0,002. Определить вероятность того, что в партии из 1000 изделий окажется не более двух бракованных.
Решение
Вероятность р мала, а число n велико. Значит можно использовать формулу Пуассона:
Где λ = np = 100*0.002 = 2 <10
P(0) = e- λ = e-2 = 0.1353
P(1) = λe-λ = 2e-2 = 0.2707
Получаем:
Задача № 13
При измерении большого земельного участка его длина округляется до ближайшего целого числа метров. Какова вероятность того, что возникающая при этом ошибка а) не превысит 30 см; б) будет лежать в пределах от 25 см до 60 см. Найти м.о. и с.к.о. ошибки округления.
Решение
Ошибка округления будет лежать в пределах от 0 до 50. Случайная величина X – ошибка округления, будет иметь равномерное распределение с параметрами a=0 и b=50 и функцией распределения
А)
Б)
Параметры распределения
Задача № 14
К киоску покупатели подходят в среднем через каждые 20 минут. Киоск начинает работу в 9 часов утра. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что между 3 и 4 покупателем (от начала рабочего дня) пройдет: а) не менее 22 минут; б) от 21 до 23 минут. Найти м.о. и дисперсию времени от 10 часов утра до первого после этого времени покупателя.
Решение
Время между приходом покупателей будет являться случайной величиной распределенной по экспоненциальному закону с параметром
Тогда получаем вероятности:
А)
Б)
Среднее количество покупателей, которое пройдет в промежутке с 9 до 10 часами будет равно 3 (60/20=3). Тогда среднее время между 3-м покупателем и 10 часами составит 60-3*20=0 мин., тогда среднее время между 10 часами и 4-м покупателем составит 20-0=20 мин. Время между 10 часами и 4-м покупателем будет иметь экспоненциальное распределение с параметром . Математическое ожидание этого распределения будет равно , а дисперсия
Задача № 15
Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 40 и средним квадратическим отклонением 20. Найти вероятность того, что ее значение
а) будет отрицательным;
б) будет лежать в пределах от -1 до 3;
в) будет отличаться от среднего не более чем на 2.
Решение
А) Вероятность, что значение будет отрицательным
Б) Вероятность, что значение будет лежать в пределах от -1 до 3
В) Значение будет отличаться от среднего не более чем на 2.
Задача № 16
В результате измерения массы большого числа яблок некоторого сорта установлено, что масса одного яблока лежит в пределах от 120 до 400 граммов. Считая, что масса яблока – случайная величина, имеющая нормальное распределение, и используя правило «трех сигм», найти математическое ожидание и с.к.о. массы яблока. Найти вероятность того, что масса случайно выбранного яблока больше 220 граммов.
Решение
Так как масса яблока – случайная величина, имеющая нормальное распределение, то получаем, что:
Найдем вероятность:
- функция распределения массы яблока
- интегральная функция Лапласа (табличные значения)
Задача № 17
Проведена серия из 15 экспериментов со случайной величиной X. По результатам наблюдений получена выборка значений этой случайной величины. Для (первый вариант курсовой работы) эта выборка имеет вид: . Для любого варианта с номером выборка выглядит так , т.е. к каждому элементу выборки прибавляется число, равное номеру варианта, уменьшенному на единицу. Например, если , то выборка выглядит так: .
По данной выборке требуется: 1) построить дискретный вариационный ряд; 2) определить численное значение моды и медианы ; 3) построить ряд распределения частот 4) построить выборочную функцию распределения и ее график; 5) найти несмещенную оценку генеральной средней; 6) найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии (т.е. выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию) и соответствующие оценки среднего квадратичного отклонения.
Решение
Исходная выборка:
25 |
23 |
24 |
22 |
22 |
24 |
24 |
25 |
22 |
26 |
23 |
24 |
21 |
23 |
1) Построим дискретный вариационный ряд
X |
Частота, f |
Накопленная частота |
Относительная частота |
Относительная накопленная частота |
21 |
1 |
1 |
0.067 |
0.067 |
22 |
3 |
4 |
0.200 |
0.267 |
23 |
3 |
7 |
0.200 |
0.467 |
24 |
5 |
12 |
0.333 |
0.800 |
25 |
2 |
14 |
0.133 |
0.933 |
26 |
1 |
15 |
0.067 |
1.000 |
Итого |
15 |
1.000 |
2) Mo= 24
3) Ряд распределения частот
Рис. 2. Ряд распределения частот
Рис. 3. Ряд распределения относительных частот
4) Выборочная функцию распределения
F(x<21) = 0
F(21≤ x <22) = 0.0667
F(22≤ x <23) = 0.2 + 0.0667 = 0.267
F(23≤ x <24) = 0.2 + 0.267 = 0.467
F(24≤ x <25) = 0.333 + 0.467 = 0.8
F(25≤ x <26) = 0.133 + 0.8 = 0.933
F(26≤x) = 1
Рис. 4. Эмпирическая функция распределения
5) Для оценки средней
построим вспомогательную табли
xi |
Кол-во, fi |
xi * fi |
(x - |
21 |
1 |
21 |
6.08 |
22 |
3 |
66 |
6.45 |
23 |
3 |
69 |
0.65 |
24 |
5 |
120 |
1.42 |
25 |
2 |
50 |
4.7 |
26 |
1 |
26 |
6.42 |
Итого |
15 |
352 |
25.73 |
Несмещенная оценка средней
6) Смещенная оценка дисперсии
Несмещенная оценка дисперсии
Среднее квадратическое отклонение (смещенная оценка).
Среднее квадратическое отклонение (несмещенная оценка).
Задача № 18
Проведена серия из 30 экспериментов со случайной величиной X. По результатам наблюдений получена выборка значений этой случайной величины. Для (первый вариант курсовой работы) эта выборка имеет вид: .
Для любого варианта с номером выборка выглядит так: Например, если , то выборка выглядит так: .
По данной выборке требуется: 1) построить интервальный вариационный ряд, определив количество групп по формуле Стерджесса; 2) определить численное значение моды и медианы ; 3) дать графическое изображение ряда в виде гистограммы частот, полигона и кумуляты; 4) построить выборочную функцию распределения; 5) найти несмещенную оценку генеральной средней; 6) найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии (т.е. выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию) и соответствующие оценки среднего квадратичного отклонения.
Решение
Исходная выборка
20 |
25 |
21.5 |
26 |
22.5 |
20 |
23 |
24 |
20.5 |
22 |
24 |
23 |
20.5 |
25.5 |
24.5 |
23 |
23 |
20 |
23.5 |
23 |
21.5 |
26 |
21 |
24 |
25 |
22 |
23 |
20 |
23 |
22.5 |
1) Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса
n = 1 + 3,322lg N = 1 + 3,322lg N ≈6
Ширина интервала составит:
Xmax - максимальное значение
группировочного признака в
Xmin - минимальное значение группировочного признака.
Определим границы группы.
Номер группы |
Нижняя граница |
Верхняя граница |
1 |
20 |
21 |
2 |
21 |
22 |
3 |
22 |
23 |
4 |
23 |
24 |
5 |
24 |
25 |
6 |
25 |
26 |
