Теория вероятности. 18

 

1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, написанных на отдельных карточках, составляется четырехзначное число. Описать пространство элементарных исходов, пространство события А = { полученное число четное }, события В = { полученное число не меньше 34000 } и события С = { полученное число делится на 4}

 

                                             Решение:

Рассмотрим событие А = “полученное число четное”.

Пространство элементарных исходов  события А – это Ω_А =  {ω ₁ , ω _{2 ,} ω ₃}, где ω ₁ – четырехзначные числа оканчивающиеся на 2;

ω _{2 –} четырехзначные числа оканчивающиеся на 4;

ω _{3  –} четырехзначные числа оканчивающиеся на 6.

Рассмотрим событие В = лученное число не меньше 34 000}.

Пространство элементарных исходов события В – это Ω_В = {ω_{4 ,}ω_{5 ,}…,ω₁₅},

где  ω_{4 –} четырехзначные числа оканчивающиеся на 34;

ω₅ – четырехзначные числа оканчивающиеся на 43;

ω_{6 -} четырехзначные числа оканчивающиеся на 35;

ω₇ - четырехзначные числа оканчивающиеся на 53;

ω₈ - четырехзначные числа оканчивающиеся на 36;

ω₉ - четырехзначные числа оканчивающиеся на 63;

ω₁₀ - четырехзначные числа оканчивающиеся на 45;

ω₁₁ - четырехзначные числа оканчивающиеся на 54;

ω₁₂ - четырехзначные числа оканчивающиеся на 46;

ω₁₃ - четырехзначные числа оканчивающиеся на 64;

ω₁₄ - четырехзначные числа оканчивающиеся на 56;

ω₁₅ - четырехзначные числа оканчивающиеся на 65.

Рассмотрим событие С = {полученное число делится на 4}

Пространство элементарных исходов Ω_С = {ω_16,ω_17,ω_18, ω_19, ω_20, ω_21, ω_22,ω_23,ω_24},

где ω_{16 –} четырехзначные числа, оканчивающиеся на 25;

ω₁₇ - четырехзначные числа, оканчивающиеся на 56;

ω₁₈ - четырехзначные числа, оканчивающиеся 64;

ω₁₉ - четырехзначные числа, оканчивающиеся 36;

ω₂₀ - четырехзначные числа, оканчивающиеся 16;

ω₂₁ - четырехзначные числа, оканчивающиеся 52;

ω₂₂ - четырехзначные числа, оканчивающиеся 24;

ω₂₃ - четырехзначные числа, оканчивающиеся 32;

ω₂₄ - четырехзначные числа, оканчивающиеся 12.

 

2. Радист четырежды вызывает корреспондента, причем последующий вызов производится при условии, что предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что принят первый вызов, равна 0,1 ;второй - 0,3 ; третий - 0,5; четвертый - 0,2. Найти вероятность вызова корреспондента.

 

                                                Решение:

Пусть А- “корреспондент будет вызван”,А₁- “корреспондент будет вызван с первого вызова’’, А₂ – “корреспондент будет вызван со второго вызова”, А₃-“корреспондент будет вызван с третьего раза’’,А₄ –“корреспондент будет вызван с четвертого раза’’.

А_1,А_2,А_3,А₄ – несовместные, по теореме сложений:

р(А)=р(А₁)+р(А₂)+р(А₃)+р(А₄).

По условию: р₁₌0.1, р₂=0.3, р₃=0.5, р₄=0.2 – вероятность того, что принят первый, второй, третий, четвертый вызовы.

Р(А)=р₁+р₁*р₂+р₁*р₂*р₃+р₁*р₂*р₃*р₄=0,1+(1-0,1)*0,3+(1-0,1)*(1-0,3)*0,5+

+(1-0,1)*(1-0,3)*(1-0,5)*0,2=0,748-искомая вероятность.

 

 

 

3. В электрическую цепь последовательно включены четыре элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов первого , второго, 3го и 4го элементов соответственно равны: p1=0,3; p2=0,2; p3=0,4; p4=0,3 Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

 

                                                Решение:

Пусть А₁- “элемент первый работает”,А₂ –“элемент второй работает”,

А₃ – “элемент третий работает”, А₄ –“элемент четвертый работает”.

Согласно условию: Р(А₁)=0,3;Р(А₂)=0,2;Р(А₃)=0,4;Р(А₄)=0,3.

Проверим надежность схемы:

 

4

3

2

1

Пусть В: “работает и элемент 1, и элемент 2 ,и элемент 3, и элемент 4”.

Р(В)=Р(А₁*А₂*А₃*А₄)=Р(А₁)*Р(А₂ )*Р(А₃)*Р(А₄ )=0,3*0,2*0,4*0,3=0,0072 -искомая вероятность.

 

4. В урну, содержащую 3 шара, опущен черный шар, после чего из нее на удачу извлечен 1 шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется черным, если равновозможны все возможные предложения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение:

Пусть А: “извлеченный шар черный”

Гипотезы:

В₀ – “в урне нет черных шаров”;

В₁ – “в урне один черный шар”;

В₂ – “в урне два черных шара”;

В₃- “в урне три черных шара”.

По условию:

Р_В0(А)=1/4 ;Р_В1(А)=2/4;Р_В2(А)=3/4; Р_В3(А)₌4/4

Р(В₀)=Р(В₁)=Р(В₂)=Р(В₃)=1/4.

По формуле полной вероятности:

Р(А)=∑⁴_j=10 Р(В_j)* Р_Вj(А)=1/4*1/4+2/4*1/4+3/4*1/4+1*1/4=1/16+2/16+3/16+4/16=10/16=5/8 -искомая вероятность.

 

5. 2 автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность одного автомата втрое меньше ,чем производительности второго. Первый автомат производит в среднем 70% деталей отличного качества, а второй - 85%. На удачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что деталь произведена первым автоматом.

                                                     Решение:

Пусть А:”взятая деталь с конвейера –деталь отличного качества”.

Гипотезы:

В₁: “деталь произведена первым автоматом”;

В₂: “деталь произведена вторым автоматом”.

Согласно условия Р_В1(А)=0,7,Р_В2(А)=0,85.Пусть х-производительность первого автомата, тогда 3х-производительность второго автомата.           

Тогда х+3х=1, 4х=1,х=⅓,поэтому Р(В₁)=1/4 ;Р(В₂)=3/4.

Используем теорему Бейеса: Р_а(В₁)=,где по формуле полной вероятности Р(А)=∑²_j=1Р(В_j)*Р_Вj(А)=Р(Вj)*Р_Вj(А)+Р(В₂)*Р_В2(А)=1/4*0,7+3/4*0,85=0,8125.

Окончательно, Р_а(В₁)==0,2154 (искомая вероятность). 

6. 2 равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть: 4 партии из 6ти, или 2 партии из 3х (ничьи во внимание не принимаются)?

Решение.

Пусть А: “выиграть 4 партии из шести”

           В:”выйграть 2 партии из трёх”

Используем  формулу Бернулли:

P_n (k)=C_n^k * p^k * g^n-k, где р=0,5,g=1-р=0,5.

Найдем Р(А)=Р₆(4)=С₆⁴*0,5⁴*0,5²=   *0,5⁶=5*3*0,5⁶=0,2344.

Р(В)=Р₃(2)=С₃²*0,5²*0,5¹=*0,5³=3*0,5³=0,375 .

Так как Р(А)<Р(В),но вероятнее выиграть две партии из трех.

 

7. Вероятность появления события в каждом из 1000 испытаний постоянна и равна р= 0,7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 600 и не более 800 раз.

Решение:

Воспользуемся интегральной формулой Лапласа:Р(К₁;К₂)=φ(х′′)-φ(х′),

 где х′= ;  х′′=, где φ(х)=1/√2π ʃ^x₀ e ;   dz-функция Лапласа,

причём φ(-x)=-φ(x)

 

Используем условие:

P=0,7 , g=1-p=0,3 , n=1000 , k₁=600 , k₂=800

Тогда   

 

 

  

Найдём P(600;800)=φ ( )- φ ( )= φ ( )+ φ ( )=2 φ ( )

Из таблицы  функции Лапласа найдём:

P ( )≈0,4999

Окончательно P1000(600;800)=0,4999*2=0,998-искомая вероятность.

 

8.Устройство состоит из 4x независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,4.составьте закон распределения числа отказавших деталей в одном опыте.

                                                   Решение.

Пусть x-“ случайная величина отказа каждого элемента”. СВ принимаем значения: x₁=0, x₂=1, x₃=2, x₄=3, x₅=4

Найдём вероятность, того что СВ примет значения x₁=0, т.е. ноль элементов откажет из четырёх. Воспользуемся формулой *

P(x₁=0)=P₄(0)=C₄⁰*0,4⁰*0,6⁴=0,6⁴=0,1296

 

Аналогично,

Р(х²=1)=Р₄(1)=С₄¹*0,4¹*0,6³= *0,4*0,6³=4*0,4*0,6³=0,3456,

Р(х₃=2)=Р₄(2)=С₄²*0,4³*0,6= *0,4²*0,6²=3*2*0,4²*0,6²=0,3456,

Р(х₄=3)=Р₄(3)=С₄³*0,4³*0,6=*0,4³*0,6=0,1536,

Р(х₅=4)=Р₄(4)=С₄⁴*0,4⁴*0,4⁰=0,4⁴=0,0256.

Закон распределения СВ х имеет вид:

Х	0	1	2	3	4
Р	0,1296	0,3456	0,3456	0,1536	0,0256

-искомый биноминальный  закон распределения.

Проверка: 0,1296+0,3456+0,3456+0,1536+0,0256=1

 

9. из 10ти имеющихся в коробке деталей 4 нестандартные . Случайным образом берут 3 детали. Найти закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных (ряд распределения и функцию распределения); определить числовые характеристики этого распределения (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение) и вероятность того, что стандартных деталей будет отобрано не менее одной.

 

                                                         Решение:

Пусть х-случайная величина, х числа стандартных деталей  среди отобранных.

СВ принимает значения : х₁=0,х₂=1,х₃=2,х₄=3.

Найдем вероятность того, что СВ примет значения х₁=0,то есть среди отобранных 0 стандартных. Воспользуемся формулой классической вероятности    Р(А)= 

Получаем Р(х₁=0)== ==.

 

 

 

*

Р(х₂=1)==                                   =

                                          

  =  3/10

                                    
                                       + 

P(x₃=2)= =                                  =     =1/2

                                            

P(x₄=3)=  = : = * = 1/6

 

Составим закон распределения:

х	0	1	2	3
р

 

 

 

 

 

Проверка: ∑_i=1⁴ pj=+++=1

Составим функцию распределения:

F(x)=р(х<х)

При х≤0: f(x)=0

При 0<х≤1 : f(x)=

При 1<x≤2: f(x)=+==

При 2<x≤3: f(x)=+=

При х>3: f(x)=+=1

Функция распределения имеет  вид:

                  0, х≤0

F(x)=         , 1<х≤2

                   , 2<х≤3

                   1, х>3

Найти М(х)=∑⁴_i=1= x_i p_i = 0 * 1/30 +1* 3/10+ 2*1/2 +3* 1/6= 3/10 + 1+1/2 = 3+ 10+ 5/10 =18/10= 9/5 математическое ожидание.

Д(х) = ∑⁴_i=1 x_i² p_i – M²(x)= 0² * 1/30 + 1²* 3/10+ 2² *1/2+ 3² * 1/6 – (9/5)² = 3/10+2+3/2-81/25= (6+40+30)/20- 81/25= 76/20 – 81/25= 38/10- 81/25= 28/50= 14/25- дисперсия.

Ϭ(х)= √Д(х)= √14/25 =√0,56 = 0,748

Пусть А: “стандартных деталей будет отобрано не менее 1”

P(1<x<3)=F(3)-F(1)= 5/6- 1/30= 25-1/30= 24/30= 12/15= 4/5

 

10. Задать случайную величину  , определив плотность ее распределения. При этом заданная функция плотности должна зависеть от некоторого параметра А. Для этой случайной велечины определить эту постоянную А, функцию ее распределения F, вероятность того, что в результате опыта случайная величина будет пренадлежать отрезку

17:16:39 

[3,7]: P[3<E<7], а также М(Е), D(E),O(E) Аналог- разобранный выше пример

 Пусть случайная ؏ величина определена плотностью распределения

f(؏) = 0, ؏<1

          A(f-1), 1≤؏<4

          0, ؏≥4

Определим коэффициент А:

ʃ_-^+∞_∞ f(x)dx=1, то есть

ʃ_-∞^+∞f(؏)d؏=ʃ_-∞¹ 0 d؏+ʃ₁⁴ А(؏-1)d؏+ʃ₄^+∞ 0 d؏=А│⁴₁= (3²-0²)=

Имеем ,=1=>А=

Тогда f(؏)=   0,  ؏<1                                                                                                                                    

                        А(؏-1), 1≤   ؏<4

                         0,  ؏ ≥ 4

Найдем функцию распределения  F(х)= ʃ_-∞^х f(х)dx

При  ؏  < 1: f(؏)= ʃ_-∞^؏ 0 d؏=0

При 1≤  ؏ < 4: f(؏)=ʃ_-∞¹0 dх+ʃ₁^؏ (؏-1)d؏=*-0=.

При ؏≥4: f(؏)=ʃ_-∞¹ 0dх+ʃ₁⁴ (؏-1)d؏+ʃ₄^؏ 0d؏=*  ₁⁴=-0==1

 

 

Имеем, F(х)=      0,؏<1

                             , 1≤؏<4

                              1,؏≥4

Найдем вероятность того, что случайная величина будет  принадлежать отрезку [3,7]:

Р(3<؏<7 )= ʃ₃⁷ f(؏) d؏=ʃ⁴₃2/9(؏-1)d؏+ʃ⁷₄0d؏=*    ⁴₃=    ⁴₃=   -   =1- 4/9=5/9

Найдём:

M(؏)=ʃ^-₊^∞_∞؏ * f(؏) d؏= ʃ¹_-∞0 ؏d ؏+ ʃ⁴₁ ؏ 2/9 (؏-1) d؏ + ʃ^+∞₄ 0؏ d؏= 2/9ʃ⁴₁ (؏²-؏) d؏= 2/9 (-)   ⁴₁= 2/9(4³/3 -؏- ⅓ + ½) = 2/9 (64/3 -8 – ⅓ + ½) =2/9 (13 + ½ ) = 2/9*27/2 =3

Д(؏)=ʃ_-∞^+∞؏²*f(؏)d؏-М²=ʃ_-8¹؏²*0d؏-М²(؏)+ʃ⁴₁؏² 2/9(؏-1)d؏+ʃ^+∞₄0؏d؏=

=2/9ʃ⁴₁(؏-1)d؏+ʃ^+∞₄0؏d؏=2/9ʃ⁴₁(؏³-؏²)d؏-9=2/9(؏⁴/4-؏³/3)  ₁⁴-9=2/9(4³-      -4³/3-⅓+⅓)-9=2/9(4³*2/3-⅓+⅓)-9=2/9(128/3-⅓+⅓)-9=2/9*513/12-9=-     -9==3/6=1/2.

ϐ (؏)=√Д(؏)=√1/2≈0,707.

11. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,035 А.

                                                Решение: 

Ошибку округления отчета можно рассматривать как случайную  величину х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения f(x)=, где (в-а)-длина интервала, в котором заключены возможные  значения x; вне этого интервала f(x)= 0. В данной задаче длина интервала , в котором заключены значения X = 0.1 , поэтому f(x) ==10.

Ошибка отсчета превысим 0.035, если она будет заключена в интервале  (0,035; 0,08). Тогда

p (a<x<b)= ʃ^b_a f (x)dx => p(0,035<x<0,08) =ʃ^0,08_0,035 10dx= 10x   ^0,08_0,035 = 10(0,08- 0,035)= 0,45

12. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 3. Найти вероятность того, чот в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (17, 20).

                                                   Решение:

Воспользуемся формулой:

Р(ɑ<х<β)= φ()- φ(), где φ(x)=  ʃ^x₀ e- t²/2 dt – функция Лапласа

По условию: ɑ=17, β=20, a=20, ϭ=3/

Имеем, p(17<x<20)= φ()- φ() = φ(0) –φ(-1) = φ(0)+φ(1)

По таблице φ(0)=0; φ(1)=0,3413

Имеем P(17<x<20)=0,3413

13. Устройство состоит из 8ми независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равно 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом(математическое ожидание) отказов за время Т окажется а) меньше 4х; б) не меньше 4х.

                                               Решение:

Обозначим через х дискретную случайную величину число отказавших элементов за время Т. Тогда

М(х)= пр= 8* 0,05= 0,4

Д(х)= прд =8 * 0,05 * 0,95= 0,38

Воспользуемся неравенством Чебышева:

Р ( х- м(х) <E) ≥ 1 -

Подставить сюда М(х)= 0,4, Д(х)=0,38, Е=4, получаем

Р(   х- 0,4  <4)≥ 1- =0,9763.

б) События х-0,4 <4 и  х- 0,4 ≥4 противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна  единицы.

Следовательно; Р(   х- 0,4  ≥ 4) =1 -0,9763= 0,0237.

14. Задав закон распределения некоторой последовательности независемых случайных величин Х1, Х2, ...., Хn,..., определить применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева.

                                                   Решение:

Зададим последовательность независимых случайных величин  х₁,….,х_n законом распределения

хn	-nɑ	0	nɑ
р		1-

     

 

 

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Для того чтобы к последовательности случайных величин была применима  теорема Чебышева, достаточно, чтобы  эти величины были попарно независимы, имели конечные математические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии.

Поскольку случайные величины независимы, то они  подавно попарно независимы, то есть первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Проверим, выполняется ли требования конечности математических ожиданий:

М(х_n)=- nɑ()+0 *(1- ) + nɑ ()=0

Таким образом, каждая случайная  величина имеет конечное математическое ожидание, то есть второе требование теоремы выполняется.

Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсий.

Напишем закон распределения  х_n²:

Хn2	n 2ɑ2	0	n 2ɑ2
р		1-

 

или, сложив вероятности  одинаковых возможных значений :

Xn2	n 2ɑ2	0
p

 

Найдем математическое ожидание М(х_n²):

М(х_n²)=n²ɑ²*=ɑ²

Найдем дисперсию Д(х_n), учитывая что Д(х_n)=М(х_n²)-[М(х_n )] =ɑ²

Таким образом, дисперсии  заданных случайных величин равномерно ограничены числом ɑ², то есть третье требование выполняется.

Итак поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Чебышева применима.