Теория вероятности. 3

Вариант 18 

На  основе выборочной информации, характеризующаяся 3я  признаками для 50 объектов, требуется:

1) построить интервальный, вариационный ряд  частот и относительных  частот. Для первого  признака вручную,  а для второго  и третьего с  помощью Excel.

2) Изобразить интервально-вариационный ряд графически, построить гистограмму.

3) Рассчитать основные  числовые характеристики  вариационных рядов.

4) С доверительной  вероятностью гамма  равная 0,95 построить  интервальные оценки  для мат.ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения.

5) Дать содержательную  интерпретацию полученных  результатов. 

Решение

Объем выборки  n = 50. Определяем k – число интервалов разбиения. По формуле Стерджесса:

k ≈ 1 + 3,32lg(n) = 1 + 3,32lg50 = 6,64

k = 7

1-й  признак.

1) Упорядочив варианты по возрастанию, получаем вариационный ряд. Разбив весь диапазон значений на k интервалов  и посчитав частоты n_i, получаем интервальный ряд. Длина интервалов:

h = = = 14,84

Относительные частоты:

w_i =

Для построения гистограммы рассчитываем плотности  частот:

p_i =

2) Гистограмма частот

3) Числовые характеристики .

Выборочное среднее

=

Выборочная дисперсия 

D_В = =

В качестве вариант  x_i принимаем середины интервалов: x_i =

Расчеты – в таблице.

= = 19,139

D_В = – 19,139² = 398,74

Выборочное среднеквадратичное отклонение

σ_В = = = 19,968

Несмещенная оценка дисперсии – исправленная дисперсия.

S² = D_В = 398,74 = 406,875 

Коэффициент вариации

v = 100% = 100% = 104,33 %

Медиана – значение в середине вариационного ряда. x₂₅ = 11,3;  x₂₆ = 11,7.

11,3 < Me < 11,7. В качестве медианы можно принять среднее арифметическое этих вариант. Me ≈ = 11,5

4) Интервальные  оценки.

Так как объем  выборки  достаточно большой (n > 30), то находим интервальную оценку математического ожидания a при известной дисперсии σ², так как оценку дисперсии можно считать достаточно точной.

 < a < , где

t – находим по таблице значений функции Лапласа:  Ф(t) =   ,

Ф(1,645) = = 0,475 ;      t = 1,96

19,14 – 1,96 < a < 19,14 + 1,96

19,14 – 5,59 < a < 19,14 + 5,59

13, 55< a < 24,73

Доверительный интервал для оценки неизвестной генеральной дисперсии σ²

S² < σ² < S²   ,  где

χ²₁ – квантиль уровня = = 0,025 распределения χ²

χ²₂ – квантиль уровня = = 0,975 распределения χ²

Число степеней свободы распределения χ² : k = n – 1 = 49

По таблице  находим χ²₁ = 70,22 ; χ²₂ = 31,55

406,88 < σ² < 406,88

283,91 < σ² < 631,82

Доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения

σ =

16,85 < σ < 25,14 

Так как объемы выборок и доверительные вероятности  для всех 3-х признаков одинаковые, значения t, χ²₁ , χ²₂ – одинаковые для всех признаков.  

2-й признак.

1) Упорядочив  варианты по возрастанию, получаем  вариационный ряд. Упорядочивание производим с помощью функции Excel НАИМЕНЬШИЙ.

h = = = 9,571

Относительные частоты:

w_i =

Для построения гистограммы рассчитываем плотности частот:

p_i =

2) Гистограмма частот

3) Числовые характеристики .

Выборочное среднее

=

Выборочная дисперсия 

D_В = =

x_i =

Расчеты – в  таблице.

= = 753,01

D_В = – 753,01² = 159,19

Выборочное среднеквадратичное отклонение

σ_В = = = 12,617

Исправленная  дисперсия

S² = D_В = 159,19 = 162,43

Коэффициент вариации

v = 100% = 100% = 1,676 %

Медиана – значение в середине вариационного ряда. x₂₅ = x₂₆ = 754.

Me = 754

4) Интервальные  оценки.

Доверительный интервал математического ожидания.

< a <   ,   где  t = 1,96

753,01 – 1,96 < a < 753,01 + 1,96

753,01 –  3,53 < a < 753,01 + 3,53

749,48 < a < 756,54

Доверительный интервал для генеральной дисперсии σ²

S² < σ² < S²   ,  где

χ²₁ = 70,22 ; χ²₂ = 31,55

162,43 < σ² < 162,43

113,34 < σ² < 252,24

Доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения

σ =

10,646 < σ < 15,882 

3-й признак.

1) Упорядочив варианты по возрастанию, получаем вариационный ряд. Упорядочивание производим с помощью функции Excel НАИМЕНЬШИЙ.

h = = = 3

Относительные частоты:

w_i =

Для построения гистограммы рассчитываем плотности частот:

p_i =

2) Гистограмма частот

3) Числовые характеристики .

Выборочное среднее

=

Выборочная дисперсия 

D_В = =

x_i =

Расчеты – в  таблице.

= = 466,78

D_В = – 466,78² = 34,762

Выборочное среднеквадратичное отклонение

σ_В = = = 5,896

Исправленная  дисперсия

S² = D_В = 34,762 = 35,471

Коэффициент вариации

v = 100% = 100% = 1,263 %

Медиана – значение в середине вариационного ряда. x₂₅ = 466; x₂₆ = 467.

Me ≈ 466,5

4) Интервальные  оценки.

Доверительный интервал математического ожидания.

< a <   ,   где  t = 1,96

466,78 – 1,96 < a < 466,78 + 1,96

466,78 –  1,65 < a < 466,78 + 1,65

465,13 < a < 468,43

Доверительный интервал для генеральной дисперсии σ²

S² < σ² < S²   ,  где

χ²₁ = 70,22 ; χ²₂ = 31,55

35,471 < σ² < 35,471

24,751 < σ² < 55,081

Доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения

σ =

4,975 < σ < 7,422 

5) Интерпретация.

Сводные данные по 3 признакам.

По 1-му признаку. Имеется явная асимметрия гистограммы, повышение интервальных частот при значениях признака, близких к 0, что характерно для показательного распределения. Также для показательного распределение характерно равенство  математического ожидания и среднеквадратичного отклонения ( a = σ). У 1-го признака ≈ σ^В. Предполагаемый параметр

λ = ≈ = = 0,052 

По 2-му признаку. Гистограмма близка к непрерывному нормальному распределению, либо к дискретному биномиальному.  Небольшая асимметрия распределения характерна для биномиального распределения с параметром p > 0,5 . Предполагаемые параметры p и n можно определить из соотношения математического ожидания и дисперсии.

a = np; D = np(1– p ) ; 

p = 1 – ≈ 1 – = 1 – = 1 – 0,211 = 0,789

n = = ≈ 955 

По 3-му признаку. Незначительные различия между интервальными  частотами, что характерно для  равномерно распределения . Дисперсия равномерного распределения

= = = 36,75

D_В = 34,76