Транспортная задача. 6

 Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

 Проверим  необходимое и достаточное условие  разрешимости задачи.

 ∑ a = 53 + 17 + 30 = 100

 ∑ b = 20 + 20 + 20 + 13 + 27 = 100

 Условие баланса  соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

 Занесем исходные  данные в распределительную таблицу.

1. Используя  метод северо-западного угла, построим  первый опорный план транспортной  задачи.

 Искомый элемент  равен 13

 Для этого  элемента запасы равны 53, потребности  20. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его.

 Искомый элемент  равен 9

 Для этого  элемента запасы равны 33, потребности  20. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его.

 Искомый элемент  равен 15

 Для этого  элемента запасы равны 13, потребности  20. Поскольку минимальным является 13, то вычитаем его.

 Искомый элемент  равен 6

 Для этого  элемента запасы равны 17, потребности  7. Поскольку минимальным является 7, то вычитаем его.

 Искомый элемент  равен 10

 Для этого  элемента запасы равны 10, потребности  13. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем его.

 Искомый элемент  равен 11

 Для этого  элемента запасы равны 30, потребности  3. Поскольку минимальным является 3, то вычитаем его.

 Искомый элемент  равен 29

 Для этого  элемента запасы равны 27, потребности  27. Поскольку минимальным является 27, то вычитаем его.

 В результате  получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем  число занятых клеток таблицы,  их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.

4. Проверим оптимальность  опорного плана. Найдем потенциалы  u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

 u₁ + v₁ = 13; 0 + v₁ = 13; v₁ = 13

u₁ + v₂ = 9; 0 + v₂ = 9; v₂ = 9

u₁ + v₃ = 15; 0 + v₃ = 15; v₃ = 15

u₂ + v₃ = 6; 15 + u₂ = 6; u₂ = -9

u₂ + v₄ = 10; -9 + v₄ = 10; v₄ = 19

u₃ + v₄ = 11; 19 + u₃ = 11; u₃ = -8

u₃ + v₅ = 29; -8 + v₅ = 29; v₅ = 37

 Опорный план  не является оптимальным, так  как существуют оценки свободных  клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(1;4): 0 + 19 > 3; ∆₁₄ = 0 + 19 - 3 = 16

(1;5): 0 + 37 > 18; ∆₁₅ = 0 + 37 - 18 = 19

(2;5): -9 + 37 > 9; ∆₂₅ = -9 + 37 - 9 = 19

 max(16,19,19) = 19

 Выбираем  максимальную оценку свободной  клетки (1;5): 18

 Для этого  в перспективную клетку (1;5) поставим  знак «+», а в остальных вершинах  многоугольника чередующиеся знаки  «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице.

 Из грузов  х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 4) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

4. Проверим оптимальность  опорного плана. Найдем потенциалы  u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

 u₁ + v₁ = 13; 0 + v₁ = 13; v₁ = 13

u₁ + v₂ = 9; 0 + v₂ = 9; v₂ = 9

u₁ + v₃ = 15; 0 + v₃ = 15; v₃ = 15

u₂ + v₃ = 6; 15 + u₂ = 6; u₂ = -9

u₁ + v₅ = 18; 0 + v₅ = 18; v₅ = 18

u₃ + v₅ = 29; 18 + u₃ = 29; u₃ = 11

u₃ + v₄ = 11; 11 + v₄ = 11; v₄ = 0

 Опорный план  не является оптимальным, так  как существуют оценки свободных  клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(3;1): 11 + 13 > 16; ∆₃₁ = 11 + 13 - 16 = 8

(3;2): 11 + 9 > 4; ∆₃₂ = 11 + 9 - 4 = 16

(3;3): 11 + 15 > 10; ∆₃₃ = 11 + 15 - 10 = 16

 max(8,16,16) = 16

 Выбираем  максимальную оценку свободной  клетки (3;2): 4

 Для этого  в перспективную клетку (3;2) поставим  знак «+», а в остальных вершинах  многоугольника чередующиеся знаки  «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице.

 Из грузов  х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 5) = 17. Прибавляем 17 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 17 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

4. Проверим оптимальность  опорного плана. Найдем потенциалы  u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

 u₁ + v₁ = 13; 0 + v₁ = 13; v₁ = 13

u₁ + v₂ = 9; 0 + v₂ = 9; v₂ = 9

u₃ + v₂ = 4; 9 + u₃ = 4; u₃ = -5

u₃ + v₄ = 11; -5 + v₄ = 11; v₄ = 16

u₁ + v₃ = 15; 0 + v₃ = 15; v₃ = 15

u₂ + v₃ = 6; 15 + u₂ = 6; u₂ = -9

u₁ + v₅ = 18; 0 + v₅ = 18; v₅ = 18

 Опорный план  не является оптимальным, так  как существуют оценки свободных  клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(1;4): 0 + 16 > 3; ∆₁₄ = 0 + 16 - 3 = 13

 Выбираем  максимальную оценку свободной  клетки (1;4): 3

 Для этого  в перспективную клетку (1;4) поставим  знак «+», а в остальных вершинах  многоугольника чередующиеся знаки  «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице.

 Из грузов  х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 2) = 3. Прибавляем 3 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 3 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

4. Проверим оптимальность  опорного плана. Найдем потенциалы  u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

 u₁ + v₁ = 13; 0 + v₁ = 13; v₁ = 13

u₁ + v₃ = 15; 0 + v₃ = 15; v₃ = 15

u₂ + v₃ = 6; 15 + u₂ = 6; u₂ = -9

u₁ + v₄ = 3; 0 + v₄ = 3; v₄ = 3

u₃ + v₄ = 11; 3 + u₃ = 11; u₃ = 8

u₃ + v₂ = 4; 8 + v₂ = 4; v₂ = -4

u₁ + v₅ = 18; 0 + v₅ = 18; v₅ = 18

 Опорный план  не является оптимальным, так  как существуют оценки свободных  клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(3;1): 8 + 13 > 16; ∆₃₁ = 8 + 13 - 16 = 5

(3;3): 8 + 15 > 10; ∆₃₃ = 8 + 15 - 10 = 13

 max(5,13) = 13

 Выбираем  максимальную оценку свободной  клетки (3;3): 10

 Для этого  в перспективную клетку (3;3) поставим  знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице.

 Из грузов  х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 3) = 3. Прибавляем 3 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 3 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.