Транспортно-производственная модель с целочисленными и непрерывными переменными

Содержание

Введение

1. Модели оптимального отраслевого и регионального регулирования
2. Экономико-математическая модель перспектив развития и размещения предприятий отрасли
3. Транспортно-производственная модель с целочисленными и непрерывными переменными

З.а. Пример1

З.б. Пример2

З.в. Пример3

 Заключение

 Литература

Введение

Развитие современного общества характеризуется  повышением технического уровня, усложнением  организационной структуры производства, углублением общественного разделения труда, предъявлением высших требований к методам планирования и управления хозяйственными субъектами различных  форм собственности.

Потребность управления техническими и экономическими объектами привела  к созданию специальных методов, обеспечивающих принятие правильных решений. Один из таких методов это задача линейного программирования. Существуют следующие разделы линейного  программирования

• построение экономико-математических моделей задач линейного программирования;
• теоретические основы методов линейного программирования;
• графический метод линейного программирования;
• симплексный метод решение задач линейного программирования;
• двойственные задачи;
• задачи транспортного вида;
• целочисленное линейное программирование.

В этой работе мы рассмотрим, подробнее, задачу транспортного типа.

1. Модели оптимального отраслевого и регионального регулирования

Эти модели весьма трудоёмки. Они характеризуются  многофакторностью, динамичностью  исходных данных и, зачастую, целочисленностью решений и нелинейностью целевой функции. Всё это усложняет постановку конкретных экономико-математических задач и их моделирование. При разработке и решении задач оптимального отраслевого и регионального регулирования (ООРР) учитывают взаимозаменяемость ресурсов и потребностей, действующее и новое производство, различные способы производства продукции, варианты использования капитальных вложений на реконструкцию и новое строительство и т.д. На стадии прогнозирования стратегии развития отрасли эти параметры могут быть достаточно точно учтены, что обеспечивает определение наиболее точных вариантов развития отрасли.

Объектами ООРР являются предприятия, месторождения сырьевых ресурсов, трубопроводы и т.д. Как действующие, так и  проектируемые по альтернативам  вариантам их развития. Они увязываются  в моделях с конкретными потребителями  и совокупной потребностью в каждом виде конечной продукции.

Важным условием решения задач  ООРР является соблюдение определённой последовательности перехода от одного отраслевого блока к другому. Блоки располагаются в таком  порядке, чтобы решение предшествующей отраслевой задачи предоставляло максимум информации для решения последующей  задачи. Очевидно, что полностью  обратные связи исключить нельзя, но их можно свести к минимуму. По мнению академика А.Г.Аганбегяна систему  отраслевых блоков можно представить  в следующей последовательности:

• агрокомплекс;
• химический комплекс;

-         машиностроительный  комплекс;

• комплекс чёрной металлургии;
• комплекс цветной металлургии;
• топливно-энергетический комплекс;
• лесопромышленный комплекс;
• транспорт;

Задачи ООРР дадут экономический  эффект в том случае, если при  их построении будут использоваться достоверные исходные данные. Прогноз  развития отрасли требует формирования большего круга показателей и  оценки их численных значений. Состав исходной информации определяется постановкой  задачи и выбранной экономико-математической модели. Например, при решении задачи перспектив развития и размещения предприятий отрасли в рамках статистической модели потребуются следующие данные:

1. необходимой объём производства продукции данной отрасли;
2. альтернативные способы функционирования действующих предприятий;
3. возможные пункты размещения предполагаемых новых предприятий и способы их функционирования;
4. ожидаемая потребность в продукции в разрезе районов потребления;
5. затраты на транспортировку продукции от предприятий до районов потребления.

При использовании динамической модели исходные данные готовятся в разрезе  временных интервалов, обусловленных  постановкой задачи.

Задачи ООРР занимают промежуточные  положения между моделями оптимального планирования микроэкономики (управление работой предприятиями, фирмами, потребителями) и макроэкономическими моделями прогнозирования и регулирования  размеров и структуры общественного  продукта, создаваемого всеми отраслями  народного хозяйства. Оптимальный  прогноз развития отрасли даже в  условиях развивающихся рыночных отношений  не является планом, директивой, поскольку  государство не гарантирует производителям сбыт производимой ими продукции. В  то же время реализация решенных на ЭВМ задач ООРР позволяет лучше  решать многие социально - экономические  проблемы, укреплять социально -политическую стабильность, сохранять окружающею среду, гармонизировать отношения с внешним миром. Хотя такие решения не всегда совпадают с сиюминутными экономическими интересами отдельных фирм, предприятий.

Выход в этой ситуации не в отказе от разработки и решении задач  ООРР, гарантирующих социально - экономическую  эффективность обществу, а в усилении роли государственного регулирования  экономикой. Рыночная экономика в « чистом» виде не предполагает вмешательства государства в процесс производства и обмена. Это - саморегулирующейся механизм. Однако в странах СНГ она только начинает формироваться. Что касается развитых стран дальнего зарубежья, то там государство применяет десятки рычагов для регулирования рыночных отношений. Для этой цели используются субсидии, налоговые льготы, государственные заказы и т.д. Рыночный механизм не позволяет своевременно сосредотачивать ресурсы для приоритетного развития отдельных отраслей и ускоренной структурной пе5рестройки промышленности. Это под силу только государству. Независимым помощником в этом деле может быть экономико-математическое моделирование ООРР.

2. Экономико-математическая модель перспектив развития и размещения предприятий отрасли.

При расчёте на ЭВМ задач оптимального отраслевого регулирования в  промышленности имеется возможность  комплексно решать такие непростые  вопросы как, рациональное размещение предприятий, их специализация, концентрация и комбинирования производства, соотношения  действующего и нового производства и т.д. Для построения экономико-математической модели задали вначале тщательно изучают факторы и условия размещения производства. Выделим общее для основных отраслей промышленности факторы и условия:

а. природные условия (полезные ископаемые, водные и лесные ресурсы, климатические особенности);

б.  трудовые ресурсы ( общая численность, квалификационный состав);

в.  возможность внедрения технологического прогресса (освоение новой технологии, возможности автоматизации, химизации и электрификации производства);

г.     транспортные условия;

д.    условия потребления продукции отрасли;

е. другие условия, например, социально- политические (проблемы трудоустройства, культурного роста населения отдельных районов и т.д.)

После тщательного изучения указанных  факторов определяется потребность  в продукции отрасли в целом  и с разбивкой её по крупным  районам, например, областям. Одновременно рассчитываются различные варианты производства продукции отдельных предприятиями, которые в своей совокупности должны удовлетворять эту потребность. Следовательно, задача будет заключаться в том, чтобы оценить возможные варианты производства всех предприятий и подобрать такой их набор, который удовлетворял бы общую потребность в продукции отрасли с минимальными издержками её производства транспортировки.

Для решения задач развития отдельных  отраслей промышленности чаще всего  используют следующие модели:

• общую целочисленную модель отраслевого регулирования (вариантную);
• безвариантную модель прогнозирования развития и размещения предприятий отрасли;
• транспортно-производственную модель с целочисленными и непрерывными переменными.

3. Транспортно-производственная модель с целочисленными и непрерывными переменными.

В отраслях промышленности, где транспортный фактор оказывает существенное влияние на развитие и размещение производства, используют транспортно - производственную модель. Преимущество этой модели заключается в том, что в ней одновременно учитываются влияние производственного фактора (себестоимость продукции на предприятии при том или ином варианте его развития, удельные капиталовложения и т.д.) и транспортных расходов на доставку продукции потребителям. Однако даже при небольшом расширении номенклатуры продукции матрица задачи резко увеличивается, делается громоздкой. Поэтому данная модель применяется в основном для размещения отраслей с однородной продукцией или узкой номенклатурой. Например, торфяной, молочной, цементной, топливной промышленности, предприятий по производству сахара и т.д.

Рассмотрим содержание и структуру  однопродуктовой модели. Обозначим:

i - номер предприятия (i = 1-т);

k - номер вариантного развития i - предприятия (к = 1- r_i);

 - объём производства продукции на i- м предприятий при к-м варианте его развития;

 - величина расходов s-x ресурсов на i - м предприятий при к-м варианте его развития (s = 1-и);

R_is - общее количество дефицитного s-гo ресурса, имеющегося на i - м предприятии;

P_s - общее количество дефицитного s-гo ресурса, который может быть выделен для предприятий отрасли;

В_t - предполагаемая потребность t- го потребителя в продукции предприятий отрасли (t = 1-f);

- затраты на производство единицы продукции на i - м предприятий при к-м варианте его развития (содержание этого показателя может быть другим, например, удельные капиталовложения);

- затраты на  транспортировку единицы продукции  от i - го предприятия до потребителя t;

- искомые величины, означающие интенсивность развития i-x предприятий по к-му варианту;

- искомый объём поставки готовой продукции от i- го предприятия при к-м варианте его развития к потребителю t;

С учётом принятых обозначений запишем  экономико-математическую модель транспортно - производственной задачи с целочисленными переменными.

Цель задачи: определить набор неотрицательных  переменных и , минимизирующий суммарные затраты F на производство и транспортировку продукции

при следующих ограничениях:

- объём производства на i - м предприятий при к-м варианте его развития должен быть не меньше поставки готовой продукции всем прикрепленным к нему потребителям;

- удовлетворяются прогнозируемая потребность всех потребителей в продукции предприятий отросли;

- ограничения на использование  отдельными предприятиями дефицитных  ресурсов;

- ограничение  дефицитных ресурсов, которые могут распределиться по предприятиям отрасли

- условие целочисленности апробируемых вариантов производства;

- условие  неотрицательности переменных.

Когда на предприятиях отрасли  производится не один, а два и более видов продукции, то экономико-математическая модель задачи будет следующей:

где j - индекс вида продукции предприятия отрасли;

 для всех i,j,k

 для всех t,j

 для всех i,s

           для всех s

           для всех i

3.a. Пример 1: Необходимо произвести прогноз размещения производства однородного продукта и определить объём его перевозок потребителям с учётом минимизации общей суммы производственных и транспортных расходов. Возьмем два предприятия, по каждому из которых разработана два альтернативных варианта их развития, и три потребителя. Объёмы производства по вариантам, потребность в продукции потребителей, а также удельные производственные и транспортные расходы представлены в таблице №1.

Таблица 1 - Исходные данные для однопродуктовой производственнотранспортной задачи в дискретной постановке.

Наряду  с исходными данными в таблицу  вписаны переменные величины

.

Это облегчит нам запись задачи в  развернутом виде, к осуществлению

которой мы и приступили.

^{0 или 1}

Для целочисленных моделей включая  и производственно-транспортную задачу в дискретной постановке пока не создано точных метода их решения. В этой связи зачастую пользуются приближенными методами, которые не гарантируют получение оптимального решения. Но в любом случае оно всегда является близким к оптимальному.

Для решения подобных задач можно  использовать два подхода.

Первый подход заключается в  том, что производственно-транспортная задача решается в два шага. Сначала она приводится к виду общей задачи линейного программирования и решается точным (симплексным) методом. В результате может быть получено нецелочисленное значение переменных что противоречит нашему условию.

На втором шаге нецелочисленное  решение доводится до целочисленного методом, основывающимся на идеях дельта-метода А.Г.Аганбегяна. Этот метод особенно эффективен, когда количество переменных в задаче значительно превосходит количество ограничений. Теоретически доказывается, что количество целочисленных решений гарантируется для (п- т) переменных, где п - число переменных, а m - число ограничений.

При втором подходе для решения  задачи с самого начала используется приближенный метод. Он эффективен в  том случае, когда размерность  задач невелика, а заполняемость матрицы значащими коэффициентами не очень плотная.

Воспользуемся первым подходом и решим  нашу задачу симплексным методом. Для  этого построим расширенную модель экономико-математической задачи, т. е. первую симплексную таблицу.

Результат решения задачи: X*=(0;1;0;1;0;0;0;37;162;97;0;0;0;222;0;0), f(X*)=42231,8

Представим эти результаты в табличной форме.

Таблица 2 - Объемы производства продукции  на двух предприятиях и ее распределение по потребителям

Как видно, получено не только оптимальное, но и целочисленное решение. Оба предприятия целесообразно развивать по второму варианту. Причем первое предприятие должно поставить продукцию всем потребителям соответственно 37, 162 и 97 ед., а второе - только первому - 222 ед. Относительная эффективность первого предприятия выше второго в 3,5 раза. Об этом можно судить по величине двойственных оценок 8-го и 9-го ограничений задачи, имеющих в данных условиях рентный характер.

Таблица 4 - Расширенная модель однопродуктовой производственно - транспортной задачи в дискретной постановке.

Содержание транспортно-производственной модели с непрерывными переменными рассмотрим на примере трехэтапной задачи прогноза развития, размещения и специализации производства продукции отрасли с одновременной оптимизацией перевозок сырья и готовой продукции.

i - номер предприятия - поставщика сырьевых ресурсов (i = 1-т)

j - номер завода, перерабатывающего сырьё i-х поставщиков (j = 1- п);

 р - номер потребителя продукции j-х заводов (р = 1-и);

k - номер вида продукции, поставляемой j -ми заводами р-м потребителям (к=1-r);

Q_i - максимально возможный объём производства сырья i -м предприятием;

В_j - минимальная, максимально - возможная или фиксированная мощность j-го завода;

a_kij - выход k-й продукции из 1 ед. сырья, поставляемого i-м поставщиком j-му заводу;

D_pk - прогнозируемая потребность р-го потребителя в k-ом продукте;

С_i^pk - затраты на производство 1 ед. продукции у i-го поставщика;

d_ijⁱ - транспортные расходы на доставку 1 ед. сырья от i -го поставщика до j -

го завода;

q_ij -себестоимость переработки 1 ед. сырья, поставляемого i -м предприятием  j-му заводу;

F_jpk - транспортные расходы на доставку 1 ед. к -го продукта j -м заводам p-му потребителю;

X_i - искомый объём производства (добычи) сырьевых ресурсов i-м предприятием;

Y_ij - искомый объём переработки сырья j-м заводом поставляемого i-м предприятием;

Z_ipk- искомый объём поставки К-го продукта j -м заводом р-му потребителю;

В принятых обозначениях при постановке задачи на минимум затрат она сводится к следующему: определить такие значения переменных X_i, Y_ij и

Z_ipk, при которых минимизируется величина целевой функции

и выполняется  условия:

X_i≤Q_i  (i=1-m)

- ограничение объёмов производства сырья на i -х предприятиях;

- ограничения мощности j- х заводов;

- ограничения  по увязке объёмов производства (добыча) и переработке сырья

- ограничения по увязке объёмов производства продукции и её поставке потребителям

- ограничение  по удовлетворению потребностей  потребителей в продукции j -х заводов;

X_i,Y_ij,Z_ipk≥0

-ограничения неотрицательности переменных величин.

Эта модель может быть использована для  решения задач по прогнозированию  размещения заводов железобетонных конструкций, нефте и мясоперерабатывающих, предприятий, сахарных и других заводов, где необходимо учитывать как затраты на производства (добычу) и доставку сырья, так и на перевозку, готовой продукции потребителям.

3.б. Пример 2: Двум сахарным заводам могут поставлять сырье трём сельскохозяйственным предприятия. Первый - завод действующий. Его, мощность (6200 т перерабатываемой сахарной свеклы) необходимо сохранить. Предусматривается возможность расширения мощности данного завода. Второй завод может быть построен, если окажется невыгодным расширять мощность первого завода. Производимая заводами продукция (песок сахарный и патока) поставляется двум потребителям, потребности которых строго ограничены.

Необходимо определить оптимальную  мощность сахарных заводов, поставщиков  сырья, а также рациональные маршруты перевозок сырья и готовой  продукции. Исходные данные, задачи приведены  в таблицах.

Себестоимость переработки 1 т сахарной свеклы на сахарных заводах - существенно зависит  от содержания сахара в сырье и  от сроков его переработки. Чем выше процентное содержание сахара в свекле, тем меньше ее нужно переработать для получения 1 т сахара. Это окажет прямое влияние на снижение удельных производственных затрат.

Таблица 5 - Объемы производства сырья, затраты на его производство, переработку  и доставку потребителям.

Таблица 6 - Выход k-ой продукции из 1 т сырья i-x поставщиков и удельные транспортные расходы на ее доставку потребителям.