Управление логистическими рисками. 2

     Содержание 
 

Задача 9

     Требуется принять решения по поставкам одного из трёх видов товаров при заданной начальной цене P₀ = 1000 д.е. по всем товарам и изменениях остальных показателей в зависимости от трёх состояний окружающей финансово-экономической среды.

     При заданных значениях А = 20%, В = 50%, С = 30%, S₁ = S₀ задана матрица последствий для показателя М₁  в зависимости от состояния среды

     Требуется построить матрицу последствий для цены товаров и принять решение по каждому критерию. В случае критерия Гурвица найти значения коэффициент оптимизма, при которых каждое из решений является наиболее предпочтительным.

     Решение:

     Вычислим элементы матрицы Q:

     q₁₁ = 1000/100 (20+50 * + 30 * ) = 1100 д.е.

     q₁₂ = 1000/100 (20+50 * + 30 * ) = 1000 д.е.

     Аналогично  вычисляются остальные элементы матрицы Q, которая принимает вид:

                                                          (2)

     В данном случае ЛПР имеет три решения  и возможны три состояния среды. В условиях полной неопределённости под мерой риска можно понимать упущенную выгоду от принятия неверного  решения. Предположим, в будущем реализуется первое состояние среды. Тогда при принятии первого решения эффект составит 1100 д.е., при принятие второго решения – 1030 д.е., при принятие третьего решения – 1050 д.е. Следовательно, первое решение является наилучшим (упущенная выгода равна 0). При принятии второго решения упущенная выгода составляет 70 д.е., при принятии третьего решения – 50 д.е. Полученные числа составят первый столбец так называемой матрицы рисков R. Аналогичным образом строятся второй и третий столбцы. В общем случае элементы r_ij матрицы R имеют вид r_ij = maxq_ij – q_ij (1≤i≤n).

     Матрица R имеет вид

                                                                  (3)

     На основании построенной матрицы Q с помощью критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа можно принять аргументированное решение.

     Рассмотрим  критерии принятия решений:

     1) Критерий Вальда.

     При формулировке этого критерия (как  и других) существенную роль играет модель психологии поведения ЛПР. ЛПР  считает, что какое бы он решение  не принял, состояние рынка будет таким, что полученный эффект будет минимален.

     Алгоритм  принятия решения формулируется  следующим образом. Обозначим

        q_j = min q_ij,

               1≤i≤m

     тогда если q_i0 = maxq_i, то следует принять i_о решение.

                                             1≤i≤n

     Таким образом, если ЛПР принимает первое решение, то среда будет в третьем состоянии, т.е. 950 д.е. Если будет принято второе решение, то рынок окажется в третьем состоянии и ЛПР получит эффект 1000 д.е. В случае принятия третьего решения рынок окажется во втором состоянии и ЛПР получит результат 980 д.е. Критерий Вальда рекомендует второе решение. В этом случае результат будет максимальным среди трех минимальных.

     2) Критерий Сэвиджа.

     Этот  критерий применяется к матрице  рисков R. ЛПР считает, что при любом решении состояние среды будет таким, что риск будет максимальным. Тогда критерий рекомендует взять то решение, у которого риск будет минимальным среди совокупности максимальных. Если задана матрица рисков, то процедура принятия решения состоит в следующем. Находится

           min r_i = r_i0

                1≤i≤n

     где r_i = maxr_ij

                        1≤i≤m

     Принимается i_о решение.

     Из  матрицы рисков (3) r₁ = max(0,20,70) = 70; r₂ = max(70,0,20) = 70; r₃ = max(50,40,0) = 50. Находим min (70,70,50) = 50 = r₃. Принимается третье решение.

     3) Критерий Гурвица.

     Этот  критерий взвешивает оптимистический  и пессимистический подходы к  ситуации. По каждому решению находится  средневзвешенное значение между наилучшими и наихудшими последствиями по формуле

     w_i = λ maxq_ij + (1-λ) min q_ij,

                   1≤i≤m                      1≤i≤m

     где 0≤λ≤1. Затем принимается решение i_о для которого

     w_i0 = max w_i

                      1≤i≤n                

     Вес λ называют коэффициентом оптимизма. Его значение выбирает сам ЛПР исходя из своего отношения к удаче или неудаче. Используя матрицу (2) найдём

     w₁ = λ max(1100, 1000, 950) + (1-λ) min (1100, 1000, 950) = 1100λ + (1-λ)*950 = 1100λ + 950 – 950λ = 150λ + 950,

     w₂ = λ max(1030, 1020, 1000) + (1-λ) min (1030, 1020, 1000) = 1030λ + (1-λ)*1000 = 1030λ + 1000 – 1000λ = 30λ + 1000,

     w₃ = λ max(1050, 980, 1020) + (1-λ) min (1050, 980, 1020) = 1050λ + (1-λ)*980 = 1050λ + 980 – 980λ = 70λ + 980.

     Примем  λ = 0,5, тогда w₁ = 150*0,5 + 950 = 1025; w₂ = 30*0,5 + 1000 = 1015; w₃ = 70*0,5 + 980 = 1015, max (1025, 1015, 1015) = 1025 = w₁. Следовательно, критерии рекомендует принять первое решение.

     Определим коэффициент оптимизма λ, при котором третье решение является более предпочтительным, чем первое и второе решения. В этом случае должны выполняться неравенства

w₃ = 70λ + 980 > w₁ = 150λ + 950,

w₃ = 70λ + 980 > w₂ = 30λ + 1000,

Решим эту систему.

70λ + 980 > 150λ + 950,

70λ + 980 > 30λ + 1000.

 80λ < 30,

 40λ > 20.

  λ < 3/8,

  λ  > 1/2

     Решая эту систему, получим, что она  не имеет решения, т.е. при любом значении коэффициента оптимизма λ третье решение не может быть предпочтительнее первого и второго.

     Определим коэффициент оптимизма λ, при котором второе решение является более предпочтительным, чем первое и третье решения. В этом случае должны выполняться неравенства

w₂ = 30λ + 1000  > w₁ = 150λ + 950,

w₂ = 30λ + 1000 > w₃ = 70λ + 980.

Решим эту систему.

30λ + 1000  > 150λ + 950,

30λ + 1000  > 70λ + 980.

 120λ < 50,

 40λ < 20.

  λ < 5/12,

  λ  < 1/2.

     Решение системы имеет вид 0≤λ<5/12, следовательно, при этих значениях коэффициента оптимизма второе решение предпочтительнее первого и третьего, следовательно, что при 0≤λ,<5/12 следует выбирать второе решение.

     Определим коэффициент оптимизма λ, при котором первое решение является более предпочтительным, чем второе и третье решения. В этом случае должны выполняться неравенства

w₁ = 150λ + 950> w₂ = 30λ + 1000,

w₁ = 150λ + 950 > w₃ = 70λ + 980,

Решим эту систему.

150λ + 950 > 30λ + 1000,

150λ  + 950 > 70λ + 980.

 120λ > 50,

 80λ > 30

  λ > 5/12,

  λ  > 3/8

     Решение системы имеет вид 5/12<λ≤1, следовательно, при этих значениях коэффициента оптимизма первое решение предпочтительнее второго и третьего, следовательно, что при 5/12<λ≤1 следует выбирать первое решение.

     При λ = 5/12 первое и второе решения равноценны.

     4) Критерий Лапласа равновозможности.

     Здесь предполагается, что все состояния  среды равновозможные и по каждому  решению нужно найти среднее  арифметическое по всем последствиям

     δ_i = 1/m(q_i1 + … + q_im)

     Следует выбирать решение i_о, для которого

     mах δ_i = δ_i0;

                      1≤i≤n                

     В критерии Лапласа по сравнению с  критерием Гурвица учитываются  все последствия каждого решения.

     Выбираем  решение согласно критерию Лапласа, для этого найдём δ₁ = (1100+1000+950)/3 = 1017; δ₂ = (1030+1020+1000)/3 = 1017; δ₃ = (1050+980+1020)/3 = 1017. Отсюда следует, что согласно критерию Лапласа все три решения являются равноценными.

Задача 19

     В условиях частичной неопределённости требуется принять решение о выборе товара с эффективной ценой по критериях максимальной ожидаемой цены и минимального риска. Построить множество оптимальности по Парето и выбрать единственное оптимальное решение по критерию  минимума единичного риска. Частичная неопределённость задается  с помощью строки P = (0,1;0,4;0,5)  вероятностей появления каждого из трёх состояний окружающей среды. Матрица последствий:

     Решение:

     Для каждого решения Q_i можно найти ожидаемую величину q_i отклика окружающей среды и измерить риск этого решения (в данной контрольной работе под откликом понимается доходность или цена). Ожидаемый отклик q_i находится по формуле

     q_i =

     риск  r_i вычисляется по формуле

     r_i =

     Существуют  два критерия принятия решения.

     1) Критерий максимального ожидаемого дохода.

     Следует принять такое решение i_о, для которого выполняется равенство

     q_i0 = maxq_i,

                  1≤i≤n                

     Под доходом понимается любой финансовый результат.

     2) Критерий минимального риска.

     Следует принять такое решение i_о, для которого выполняется равенство

     r_i0 = min r_i,

                  1≤i≤n                

     Рассмотрим  эти критерии для матрицы последствий со строкой вероятностей наступления состояний окружающей среды:

     Найдём ожидаемые доходы от решений Q_i:

     q₁ = 1100*0,1 + 1000*0,4 + 950*0,5 = 985;

     q₂ = 1030*0,1 + 1020*0,4 + 1000*0,5 = 1011;

     q₃ = 1050*0,1 + 980*0,4 + 1020*0,5 = 1007.

     Согласно  критерию максимального ожидаемого дохода следует выбрать второе решение, так как mах(985, 1011, 1007) = 1011 = q₂.

     Найдём  риски решений Q_i:

     r₁ = = 45,00

     r₂ = = 11,36

     r₃ = = 23,69

     Согласно  критерию минимального риска следует  выбрать второе решение, так как min (45,00, 11,36, 23,69) = 11,36 = r₂.

     Следовательно, согласно двум критериям следует выбрать второе решение. Иногда приходится принимать решение, пользуясь обоими критериями в совокупности. Для этого необходимо свёртывать два этих критерия в один. Существует несколько способов свёртки. Для использования необходимо вначале выделить решения, которые ни при каких обстоятельствах не могут быть оптимальными. Такое выделение возможно, если вывести отношение доминирования.

     Каждое  решение Q (финансово-экономическая операция) в условиях частичной неопределенности определяется двумя числами q, r. Пусть даны две операции Q₁ (q₁, r₁) и Q₂ (q₂, r₂). Операция Q₁ называется доминирующей по отношению к операции Q₂, а операция Q₂ соответственно называется доминируемой по отношению к операции Q₁ если выполняются два неравенства

причём  хотя бы одно неравенство является строгим. Доминируемые операции не могут  быть оптимальными. Отношения доминирования  обозначаются символом Q₁ > Q₂.

     Если  из множества всех решений удалить  все доминируемые, то оставшаяся часть  решений образует множество оптимальности  по Парето.

     Применим  это к матрице последствий

                                                        (5)

     Имеется три решения Q₁ (985;45,00), Q₂ (1011;11,36), Q₃ (1007;23,69). Сравним эти решения по отношению доминирования. Ясно, что Q₃ > Q₁, т.к. 1007>985; 23,69<45,00. Между операциями Q₂ и Q₁ нет отношения доминирования, так как для них система неравенства (4) не выполняется. Таким образом, из трёх решений необходимо удалить третье, а первое и второе решения образуют множество оптимальности по Парето.

     Для свертки критериев максимального  ожидаемого дохода и минимального риска  в один критерий часто используется единичный риск l операции Q (q,r), определяемый по формуле

     l (q,r), = .

     Название  критерия соответствует тому факту, что фактически рассматривается  риск, отнесённый к единице дохода. Ясно, что минимум риска и максимум дохода соответствуют минимуму единичного риска. Следовательно, для выделения единственного оптимального решения из множества оптимальности по Парето необходимо найти единичный риск каждого решения и выбрать решение с минимальным единичным риском.

     Обратимся к системе решений согласно матрице последствий (5). Единичный риск первого и второго решений определяется равенствами

     l₁ = = 0,05;       l₂ = = 0,01

     Так как l₂ < l₁, то оптимальным решением следует признать второе решение.

Задача 29

     Оценить логистические риски, воздействующие на грузы извне, на основании статистики экономической рентабельности(ЭР) за ряд периодов:

• в предположении, что ЭР имеет нормальный закон распределения, оценить а) совокупность критического и катастрофического рисков (ЭР<0), б) допустимый риск в предложении, что планируемая рентабельность ЭР равна α₁, в) катастрофический риск в   предложении,   что   логистическая   деятельность   в следующем периоде после последнего будет вестись на основе банковского кредита под залог имущества с процентной ставкой α₂;
• без предложения о нормальном законе распределения ЭР оценить   совокупность критического и катастрофического рисков, сравнить полученную оценку с результатом а) предыдущей группы задач и сделать вывод.

     α₁ = 0,21; α₂ = 0,23

     Решение:

     Найдём  и τ:

      = = 0,2775

τ=

= 0,056

     Оценим совокупность «плохих» рисков:

     Р( ЭР<0)= Ф( ) – Ф (∞) = 0,5 – Ф( ) = 0,5 – Ф ( ) .

     По  таблице функции Лапласа находим, что Р (ЭР< 0) = 0,5 – Ф (4,643) = 0,01. Из полученного результата можно сделать следующий вывод: критический либо катастрофический риски могут наступить примерно в одном случае из 100.

     Оценим  теперь допустимый риск в предложении, что планируемая рентабельность ЭР равна α₁ = 20%. По формуле

     Р(a<Х<b) = Ф – Ф ,

     Получим Р(ЭР<0,20) = Ф – Ф = 0,5+Ф(-1,384)

     По  таблице функции Лапласа находим, что Р (ЭР< 0) = 0,5 – Ф (-1,384) = 0,08 т.е. допустимый риск может примерно в 8 случаях из 100.

     Оценим теперь катастрофический риск в предложении, что   логистическая деятельность в следующем периоде после последнего будет вестись на основе банковского кредита под залог имущества с процентной ставкой α₂ = 18%.

     Получим Р(ЭР<0,18) = Ф – Ф = 0,5+Ф(0)

     По   таблице функции Лапласа находим, что Р (ЭР < 0,18) = 0,5, т.е. катастрофический риск может примерно в 50 случаях из 100.

     Оценим совокупность «плохих» рисков без предложения о нормальном распределении ЭР. Согласно соотношению Р (ЭР < 0)   ≤ имеем оценку

     Р (ЭР < 0)   ≤ = 0,04

     Вывод: менее, чем в 4 случаях из 100, может наступить катастрофический риск.

Задача 39

     Представлены четыре операции по перевозке грузов Q₁ (r₁,q₁), Q₂ (r₂,q₂), Q₃ (r₃,q₃), Q₄ (r₄,q₄), где r_j – риски, q_j – ожидаемые доходности операций, как направления инвестиционной деятельности. В предложении, что эти операции некоррелированы, составить среднее арифметические первых двух, трёх и четырёх операций, оценить их риски и доходности, сделать выводы и обосновать их.

     Решение:

     При наличии денежной суммы (будем считать её 1 д.е.) её можно вкладывать полностью в первую операцию Q₁, равными долями в первую и вторую операцию, равными долями в первую, вторую и третью операции и т.д. во все операции. Оценим, как изменяется риск и доходность при такой форме диверсификации.

     Рассмотрим  среднее арифметическое первых двух операций

     Q₁₂ = .

     По  законам теории вероятности q₁₂ = (q₁ + q₂)/2 = (6+9)/2 = 7,5;

     r₁₂ = = = 3,35

     Аналогично, среднее арифметическое Q₁₂₃ первых трех операций имеет характеристики

     q₁₂₃ = (q₁ + q₂+ q₃)/3 = (6+9+11)/3 = 8,7;

     r₁₂₃ = = = 3,48

     Соответственно  для операции Q₁₂₃₄ доходность и риск определяются равенствами

     q₁₂₃₄ = (q₁ + q₂+ q₃+ q₄)/4 = (6+9+11+14)/4 = 10;

     r₁₂₃₄ = = = 3,61

     Выводы.

     1) С ростом числа направлений инвестирования риск колеблется вблизи минимального риска, соответствующего операции Q₁. Доходность    колеблется вблизи среднего арифметического между наибольшей и наименьшей доходностями исходных операций.

     2) Все исходные операции образуют множество оптимальности по Парето. Операция Q₁₂ доминирует над операцией Q₁, операции Q₁₂₃ и Q₁₂₃₄ доминируют над операциями Q₁ и Q₂.

     3)   При  увеличении   направлений  инвестирования последовательность   единичных рисков монотонно убывает. Единичный риск минимален для операции Q₁₂₃₄, т.е. эта операция оптимальна.

Задача 49

     Требуется принять решение о передаче риска в страхование или сохранении его на собственном удержании. Рассматривается риск полной потери груза при базисных условиях поставки в следующих предположениях: заданны стоимость груза S, А – штраф за несоблюдение условий поставки, f – рентабельность операции поставки груза, Т – страховой тариф, q – вероятность утраты груза.

     S = 145000 д.е., A = 12000 д.е.,  f = 20%., Т = 1,4%.,   q = 0,012

     Решение:

     Рассчитаем  ожидаемый доход при отказе от страхования. При наступлении страхового случая с вероятностью 0,007 ущерб составит стоимость груза 145000 д.е. и штраф 12000 д.е., при отсутствии страхового случая с вероятностью 0,988 ущерб будет равен нулю и логистическая компания получит прибыль В, равную величине:

     В = 145000*0,20 = 29000 д.е.

     В этом случае ожидаемый доход можно  найти по формуле:

     С₁ = –(145000+12000)*0,012+(1–0,012)*29000 = 26768 д.е.

     Оценим  ожидаемый доход при страховании  риска. Найдём вначале страховую премию П, которая определяется формулой:

     П = 145000*1,4/100 = 2030 д.е.

     В случае наступления страхового случая расходы логистической фирмы  будут состоять из расходов на страхование, равных в сумме 2030 д.е. и штрафа в сумме 12000 д.е.. При ненаступлении страхового случая логистическая компания получит прибыль в сумме 29000 д.е. за вычетом величины страховой премии 2030 д.е. Поэтому ожидаемый доход С₂ в случае страхования определится по формуле:

     С₂ = –(2030+12000)*0,012+(1–0,012)*(29000–2030) = 26478 д.е.

     Так С₂ < С₁, то следует принять решение об отказе от страхования и сохранении риска на собственном удержании. При этом необходимо оценить величину резервного фонда риска на случай потери груза.

Задача 59

     На   основании   статистики   логистической   деятельности   требуется:

1. Принять инвестиционное решение о присоединении к логистической операции X либо логистическую операцию У, либо логистическую операцию c с целью понижения риска логистической операции X.
2. Оценить риски логистической операции X и выбранной пары, сравнить их и сделать вывод о правильности выбора.

     Решение:

     По  доходам и расходам составим таблицу  рентабельности контрактов X, У, Z по периодам (таблица 1).

     Таблица 1