Содержание 
 

ВВЕДЕНИЕ

   Задача управления запасами возникает,  когда необходимо создать запас  материальных ресурсов или предметов  потребления с целью удовлетворения  спроса на заданном интервале  времени (конечном или бесконечном). Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически любой организации необходимо создание запасов. В любой задаче управления запасами требуется определять количество заказываемой продукции и сроки размещения заказа. Спрос можно удовлетворить путём однократного создания запаса на весь рассматриваемый период времени или посредством создания запаса для каждой единицы времени этого периода. Эти два случая соответствую избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению к полному периоду времени).

   При избыточном запасе требуется  более высокие удельные (отнесённые  к единице времени) капитальные  вложения, но дефицит возникает  раже и частота размещения  заказов меньше. С другой стороны,  при недостаточном запасе удельные  капитальные вложения снижаются, но частота размещения заказов и риск дефицита возрастает. Для любого из указанных крайних случаев характерны значительные экономические потери. Таким образом, решения относительно размера заказа и момента его размещения могут основываться на минимизации соответствующей функции общих затрат, включающих затраты, обусловленные потерями от избыточного запаса и дефицита.    

1. ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ  УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

   Любая модель управления запасами, в конечном счете, должна дать  ответ на два вопроса:

1. Какое количество продукции заказывать?
2. Когда заказывать?

   Ответ на первый вопрос выражается  через размер заказа, определяющего оптимальное количество ресурсов, которое необходимо поставлять каждый раз, когда происходит размещение заказа. В зависимости от рассматриваемой ситуации размер заказа может меняться во времени. Ответ на второй вопрос зависит от типа системы управления запасами. Если система предусматривает периодический контроль состояния запаса через равные промежутки времени (например, еженедельно или ежемесячно), момент поступления нового заказа обычно совпадает с началом каждого интервала времени. Если же в системе предусмотрен непрерывный контроль состояние запаса, точка заказа обычно определяется уровнем запаса, при котором необходимо размещать новый заказ.

   Таким образом, решение обобщённой  задачи управления запасами определяется  следующим образом;

1. В случае периодического контроля состояния запаса следует обеспечивать поставку нового количества ресурсов в объеме размера заказа через равные интервалы времени.
2. В случае непрерывного контроля состояния запаса необходимо размещать новый заказ в размере объема запаса, когда его уровень достигает точки заказа.

   Размер и точка заказа  обычно определяются из условий  минимизации суммарных затрат системы управления запасами, которые можно выразить в виде функции этих двух переменных. Суммарные затраты системы управления запасами выражаются в виде функции их основных компонент следующим образом:  
 
 
 
 
 

   Затраты на приобретение становятся важным фактором , когда цена единицы продукции зависит от размера заказа, что обычно выражается в виде оптовых скидок в тех случаях, когда цена единицы продукции убывает с возрастанием размера заказа. Затраты на оформление заказа представляют собой постоянные расходы, связанные с его размещением. Таким образом, при удовлетворении спроса в течение заданного периода времени путем размещения более мелких заказов (более часто) затраты возрастают по сравнению со случаем, когда спрос удовлетворяется посредством более крупных заказов (и, следовательно реже). Затраты на хранение запаса, которые представляют собой расходы на содержание запаса на складе (например, процент на инвестированный капитал, затраты на переработку, амортизационные расходы и эксплутационные расходы), обычно возрастают с увеличением уровня запаса. Наконец, потеря дефицита представляют собой расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимой продукции. Обычно они связаны с ухудшением репутации поставщика у потребителя и с потенциальными потерями прибыли.

   Рисунок 1 иллюстрирует зависимость  четырёх компонент затрат обобщенной  модели управления запасами от  уровня запаса. Оптимальный уровень  запаса соответствует минимуму  суммарных затрат. Отметим, что  модель управления запасами не обязательно должна включать все четыре вида затрат, так как некоторые из них могут быть не значительными, а иногда учёт всех видов затрат чрезмерно усложняет функцию суммарных затрат. На практике какую – либо компоненту затрат можно не учитывать при условии, что она не составляет существенную часть общих затрат. Этот фактор необходимо иметь ввиду при изучении различных моделей, описанных в данной главе.  

2. ТИПЫ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЕНИЯ  ЗАПАСАМИ

   Обобщенная модель управления  запасами, описанная выше выглядит довольно простой. Чем же тогда объясняется столь большое разнообразие моделей этого класса и методов решения соответствующих задач, базирующихся на различном математическом аппарате: от простых схем дифференциального и интегрального исчисления до сложных алгоритмов динамического и других видов математического программирования? Ответ на этот вопрос определяется характером спроса, который может быть детерминированным (достоверно известным) или вероятностным (задаваемым плотностью вероятности). На рисунке 2 приведена схема классификации спроса, обычно принимаемая в моделях управления запасами. Детерминированный спрос может быть статическим, в том смысле, что интенсивность потребления остаётся неизменной во времени, или динамическим, когда спрос известен достоверно, но изменяется в зависимости от времени. Вероятностный спрос может быть стационарным, когда функция плотности вероятности спроса неизменна во времени, и не стационарным, когда функция плотности вероятности спроса изменяется во времени.

   В реальных  условиях случай детерминированного  статистического спроса встречается  редко. Такой случай можно рассматривать  как простейший. Так, например, хотя  спрос на такие продукты массового  потребления, как хлеб, может меняться  от одного дня к другому, эти изменения могут быть столь незначительными, что предположение статичности спроса несущественно искажает действительность.

   Наиболее точно характер спроса  может быть, возможно, описан посредством  вероятностных нестационарных распределений. Однако с математической точки зрения модель значительно усложняется, особенно при увеличении рассматриваемого периода времени. Рисунок 2 иллюстрируют возрастание математической сложности модели управления запасами при переходе от детерминированного статического спроса к вероятностному стационарному спросу. По существу, классификацию рисунка 2 можно считать представлением различных уровней абстракции описания спроса.

   На первом уровне предполагается, что распределение вероятности  спроса стационарно во времени. Это означает, что для описания спроса в течение всех исследуемых периодов времени используется одна и та же функция распределения вероятностей. При таком предположении влияние сезонных колебаний спроса в модели не учитывается.

   На втором уровне абстракции учитывается изменение спроса от одного периода к другому. Однако при этом функции распределения не меняются, а потребности в каждом периоде описываются средней величиной спроса. Это упрощение означает, что элемент риска в управлении запасами не учитывается. Однако оно позволяет исследовать сезонные колебания спроса, которые вследствие аналитических и вычислительных трудностей нельзя учесть вероятностной модели. Другими словами, здесь возникает определенный компромисс: можно использовать, с одной стороны, стационарные распределения вероятностей, а с другой – переменную, но известную функцию спроса при допущении «определённости».

   На третьем уровне упрощения  исключаются как элементы риска,  так и изменения спроса. Тем  самым спрос в течение любого периода предполагается равным среднему значению известного (по предположению) спроса по всем рассматриваемым периодам. В результате этого упрощения спрос можно оценить его постоянной интенсивностью.

   Хотя характер спроса является  одним из основных факторов при построении модели управления запасами, имеются другие факторы, влияющие на выбор типа модели. К их числу относятся:

1. Запаздывание поставок или сроки выполнения заказов. После размещения заказов он может быть поставлен немедленно или потребуется некоторое время на его выполнение. Интервал времени между моментом размещения заказа и иго поставкой называется запаздыванием поставки, или сроком выполнения заказа. Эта величина может быть детерминированной или случайной.
2. Пополнение запаса. Хотя система управления запасами может функционировать при запаздывании поставок, процесс пополнения запаса может осуществляться мгновенно или равномерно во времени. Мгновенное пополнение запаса может происходить при условии, когда заказы поступают от внешнего источника. Равномерное пополнение может быть тогда, когда запасаемая продукция производится сомой организацией. В общем случае система может функционировать при положительном запаздывании поставки и равномерном пополнении запаса.
3. Период времени определяет интервал, в течение которого осуществляется регулирование уровня запаса. В зависимости от отрезка времени, на котором можно надёжно прогнозировать рассматриваемый период принимается конечным или бесконечным.
4. Число пунктов накопления запаса. В систему управления запасами может входить несколько пунктов хранения запаса. В некоторых случаях эти пункты организованны таким образом, что один выступает в качестве поставщика для другого. Эта схема иногда реализуется на различных уровнях, так что пункт – потребитель одного уровня может стать пунктом – поставщиком на другом. В таком случае принято говорить о системе управления запасами с разветвленной структурой.
5. Число видов продукции. В системе управления запасами может фигурировать более одного вида продукции. Это фактор учитывается при условии наличия некоторой зависимости между различными видами продукции. Так, для различных изделий может использоваться одно и то же складское помещение или же их производство может осуществляться при ограничениях на общие производственные фонды.

3. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ

 Чрезвычайно  трудно построить обобщенную  модель управления запасами, которая  учитывала бы все разновидности  условий, наблюдаемых в реальных  системах. Но если бы и удалось  построить достаточно универсальную  модель, она едва ли оказалась аналитически разрешимой. Представление в этом разделе модели соответствуют некоторым системам запасами. Маловероятно, что эти модели могут точно подойти для реальных условий, однако они приведены с целью различных подходов к решению некоторых конкретных задач управления запасами.

   В этом разделе обсуждается  пять моделей. Большинство из  них однопродуктовые, и только  в одной из них учитывается  влияние нескольких «конкурирующих»  видов продукции. Основное различие  между моделями определяется допущением о  характера спроса (статический или динамический). Важным фактором с точки зрения формулировки и решения задачи является  также вид функции затрат. Используются различные методы решения, включающие классическую схему оптимизации, линейное и динамическое программирование. Эти примеры наглядно показывают, что при решении задач управления запасами следует применять различные методы оптимизации.  

3.1. ОДНОПРОДУКТОВАЯ  СТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

   Модель управления запасами простейшего  типа характеризуются постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием дефицита. Такую модель можно применять в следующих типичных ситуациях:

1. Использование осветительных ламп в здании;
2. Использование таких канцелярских товаров, как бумага, блокноты и карандаши, крупной фирмой;
3. Использование некоторых промышленных изделий, таких, как гайки и болты;
4. Потребление основных продуктов питания (например, хлеба и молока).

   На рисунке 3 показано изменение  уровня запаса во времени. Предполагается, что интенсивность спроса (в единицу времени) равна b. Наивысшего уровня запас достигается в момент поставки заказа размером у (предполагается, что запаздывание поставки является заданной константой.) Уровень запаса достигает нуля спустя у/b единиц времени после получения заказа размером у.

Рисунок 3

   Чем меньше размер заказа  у, тем чаще нужно размещать новые заказы. С другой стороны, с увеличением размера заказа уровень запаса повышается, но заказы размещаются реже (рисунок 4). Так как затраты зависят от частоты размещения заказов и объема хранимого запаса, то величина у выбирается из условия обеспечения сбалансированности между двумя видами затрат. Это лежит в основе построения соответствующей модели управления запасами.

Рисунок 4.

   Пусть К – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении и предположении, что затраты на хранение единицы заказа в единицу времени равны h следовательно, суммарные затраты в единицу времени TCU(y) как функцию от у можно представить в виде:

  TCU(y) = Затраты на оформление заказа в единицу времени

                + Затраты на хранение запасов  в единицу времени =

                = .

Как видно  из рисунка 3, продолжительность цикла движения заказа составляет t₀=y/b и средний уровень запаса равен y/2.

   Оптимальное значение у получается в результате минимизации TCU(y) по у. Таким образов, в предположении, что у – непрерывная переменная, имеем: ,

откуда  оптимальное значение размера заказа определяется выражением: .

(Можно  доказать, что y^*доставляет минимум TCU(y), показав, что вторая производная в точке у^* строго положительна). Полученное выше выражение для размера заказа обычно называют формулой экономичного размера заказа Уилсона.

   Оптимальная стратегия модели  предусматривает заказ у^* единиц продукции через каждые t₀^*=y^*/b единиц времени. Оптимальные затраты TCU(y^*), полученные путем непосредственной подстановки составляют .

   Для большинства реальных ситуаций  существует (положительный) срок выполнения заказа (временное запаздывание) L от момента размещения заказа до его действительной поставки. Стратегия размещения заказов в приведенной модели должна определять точку возобновления заказа. Рисунок 5 иллюстрирует случай, когда точка возобновления заказа должна опережать на L единиц времени ожидаемую поставку. В практических целях эту информацию можно просто преобразовать, определив точку возобновления заказа через уровень запаса, соответствующий моменту возобновления заказа. На практике это реализуется путем непрерывного контроля уровня запаса до момента достижения очередной очки возобновления заказа. Возможно, по этой причине модель экономичного размера заказа иногда называют моделью непрерывного контроля состояния заказа. Следует заметить, что с точки зрения анализа в условиях стабилизации системы срок выполнения заказа L можно всегда принять меньше продолжительности цикла t₀^* .

Рисунок 5

   Принятые в рассмотренной выше  модели допущения могут не  соответствовать некоторым реальным  условиям в следствие вероятстного  характера спроса. На практике  получил распространение приближенный  метод, сохраняющий простоту модели экономичного размера заказа и в то же время в какой-то мере учитывающий вероятностный характер спроса. Идея метода  чрезвычайно проста. Она предусматривает создание некоторого (постоянного) буферного запаса на всем горизонте планирования. Размер резерва определяется таким образом, чтобы вероятность истощения запаса в течение периоды выполнения заказа L не превышало наперед заданной величины. Предположим, что f(x) – плотность распределения вероятностей спроса в течение этого срока. Далее предположим, что вероятность истощения запаса в течение периода L не должна превышать a. Тогда размер резервного запаса B определяется из условия: , где Lb представляет собой потребление в течение времени L. Изменение запаса при наличии резерва показано на рисунке 6.  

Рисунок 6

3.2. ОДНОПРОДУКТОВАЯ  СТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ  С «РАЗРЫВАМИ»  ЦЕН

   В моделях предыдущего полраздела  не учитывается удельные затраты  на приобретение товара, т.к. они постоянны и не влияют на уровень запаса. Однако не редко цена единицы продукции зависит от размера закупаемой партии. В таких случаях цены меняются скачкообразно или предоставляются оптовые скидки. При этом в модели управления запасами необходимо учитывать затраты на приобретение.

   Рассмотрим модель управления  запасами с мгновенным пополнением  запаса при отсутствии дефицита. Предположим, что цена единицы  продукции равна с₁ при y<q и равна с₂ при y>=q, где с₁>c₂ и q – размер заказа, при превышении которого предоставляется скидка. Тогда суммарные затраты за цикл помимо издержек оформления заказа и хранения запаса должны включать издержки приобретения.

   Суммарные затраты на единицу времени при y<q равны

                  .

   При y>=q эти затраты составляют

                  .

   Графики этих двух функций  приведены на рисунке 7. Пренебрегая  влиянием снижения цен, обозначим  через y_m размер заказа, при котором достигается минимум величин TCU₁ и TCU₂. Тогда . Из вида функции затрат TCU₁ и TCU₂, приведенных рисунке 7 следует, что оптимальный размер заказа y^* зависит от того, где по отношению к трем показанным на рисунке зонам I, II и III находится точка разрыва цены q. Эти зоны находятся в результате определения q₁(>y_m) из уравнения TCU₁(y_m)=TCU₂(q₁).

Рисунок 7

   Так как значение y_m известно (= ), то решение уравнения дает значение величины q₁. Тогда зоны определяются следующим образом:

      Зона  I: 0<=q<y_m,

      Зона  II: y_m<=q<q₁,

      Зона  III: q>=q₁.

   На рисунке 8 приведено графическое  решение уравнения для рассматриваемого  случая, зависящее от того, где  находится q по отношению к зонам I, II и III. В результате оптимальный размер заказа y^* определяется следующим образом:

   Алгоритм определения y^* можно представить в следующем виде:

1. Определить y_m= . Если q<y_m (зона I), то y^*=y_m и алгоритм закончен. В противном случае перейти к шагу 2.
2. Определить q₁ из уравнения TCU₁(y_m)=TCU₂(q₁) и установить, где по отношению к зонам II и III находится значение q.

а. Если y_m<=q<=q₁ (зона II), то y^*=q.

б. Если q>=q₁ (зона III), то y^*=y_m.

Рисунок 8

3.3. МНОГОПРОДУКТОВАЯ  СТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ  С ОГРАНИЧЕНИЯМИ  СКЛАДСКИХ ПОМЕЩЕНИЙ

   Эта модель предназначена для систем управления запасами, включающие n(>1) видов продукции, которая хранится на одном складе ограниченной площади. Данное условие определяет взаимосвязь между различными видами продукции может быть включено в модель как ограничение.

   Пусть А – максимально допустимая площадь складского помещения для n видов продукции; предположим, что площадь, необходимая для хранения единицы продукции i-го вида, то ограничение на потребность в складском помещении принимают вид .

   Допустим, что запас продукции  каждого вида пополняется мгновенно  и скидки цен отсутствуют. Предположим  далее, что дефицит не допускается.  Пусть b_i, K_i и h_i – интенсивность спроса, затраты на оформление заказа и затраты на хранение единицы продукции в единицу времени для i-го вида продукции соответственно. Общие затраты по продукции каждого вида, по существу, будут теми же, что и в случае эквивалентной однопродуктовой модели. Таким образом, рассматриваемая задача имеет вид минимизировать при для всех i.

   Общее решение этой задачи  находится методом множителей  Лагранжа. Однако, прежде чем применять этот метод, необходимо установить, действуют ли указанное ограничение, проверив выполнимость ограничений на площадь склада для решения неограниченной задачи. Если ограничение выполняется, то оно избыточно, и им можно пренебречь.

   Ограничение действует, если оно  не выполняется для значений  . В таком случае нужно найти новое оптимальное значение y_i, удовлетворяющее ограничению на площадь склада в виде равенства. Этот результат достигается построением функции Лагранжа вида , где l(<0) – множитель Лагранжа.

   Оптимальные значения y_i и l можно найти, приравняв нулю соответствующие частные производные, что дает

               ,

               .

   Из второго уравнения следует,  что значение  должно удовлетворять ограничению на площадь склада в виде равенства. Из первого уравнения следует, что .