Условия реализации совокупного общественного продукта при простом и расширенном воспроизводстве

Содержание

Введение 3

1 Построение эконометрических  уравнений с использованием инструмента  Регрессия «Пакета анализа» табличного  процессора MS Excel 4

1.1 Активизация  надстройки «Пакет анализа» 4

1.2 Построение модели парной  регрессии 4

1.3 Построение модели множественной регрессии 11

1.4 Заключение 16

2 Построение эконометрических  уравнений без использования  специализированных программных  продуктов 18

2.1 Построение  модели парной регрессии 18

2.2 Построение модели множественной  регрессии 23

2.3 Заключение 29

Список использованных источников 32

Введение

Эконометрика является одной из основных базовых дисциплин  подготовки экономистов и менеджеров. Она позволяет оперативно строить математические модели экономических процессов, по которым можно спрогнозировать как будут изменяться экономические показатели развития рыночной среды. Исходя из этого, контрольная работа по дисциплине «Эконометрика» является актуальной для моей будущей деятельности.

Целью работы является получение  практических навыков построения эконометрических моделей.

Основными задачами работы являются:

1. Построение эконометрической  модели парной регрессии.

2. Построение эконометрической  модели множественной регрессии.

При построении эконометрической модели парной регрессии мною были решены следующие частные задачи:

1. Рассчитаны параметры  уравнения линейной парной регрессии.

2. Оценена теснота  связи зависимой переменной с  объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. На основе использования  коэффициента эластичности выполнена количественная оценка влияния объясняющей переменной на результативную переменную.

4. Определена средняя  ошибка аппроксимации.

5. С помощью F - критерия  Фишера выполнена статистическая  оценка надежности моделирования.

При построении эконометрической модели множественной регрессии мною были решены указанные выше частные задачи и дополнительно выполнена оценка статистической значимости полученных коэффициентов регрессии.

1 Построение  эконометрических уравнений с  использованием инструмента Регрессия «Пакета анализа» табличного процессора MS Excel

1.1 Активизация  надстройки «Пакет анализа»

Для активизации надстройки Пакет анализа необходимо выполнить  следующие действия:

1. Выбрать команду Сервис => Надстройки.

2. В появившемся диалоговом окне Надстройки (рисунок 1) установить флажок Пакет анализа.

3. Щелкнуть по кнопке ОК.

Рисунок 1 – Диалоговое окно Надстройки

1.2 Построение модели  парной регрессии

В соответствии с вариантом  задания, используя статистический материал необходимо:

1. Рассчитать параметры  уравнения линейной парной регрессии.

2. Оценить тесноту  связи зависимой переменной с  объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминаций.

3. Используя коэффициент эластичности, выполнить количественную оценку влияния объясняющей переменной на результативную переменную.

4. Определить среднюю  ошибку аппроксимации.

5. Оценить с помощью  F - критерия Фишера статистическую  надежность моделирования.

Исходные данные для  построения модели парной линейной регрессии приведены в таблице 1.

Линейное уравнение  парной регрессии имеет вид:

_,                                                                                                                 (1)

 где  - оценка условного математического ожидания у;

-эмпирические коэффициенты  регрессии, подлежащие определению.

Таблица 1 - Исходные данные

Эмпирические коэффициенты регрессии  будем определять с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» табличного процессора MS Excel.

Алгоритм определения коэффициентов  состоит в следующем.

1. Вводим исходные данные в табличный процессор MS Excel.

2. Вызываем надстройку Анализ данных (рисунок 2).

3. Выбираем инструмент  анализа Регрессия (рисунок 3).

4. Заполняем соответствующие  позиции окна Регрессия (рисунок 4).

5. Нажимаем кнопку ОК окна Регрессия и получаем протокол решения задачи (рисунок 5)

Рисунок 2 – Активизация надстройки Анализ данных

Рисунок 3 – Выбор инструмента Регрессия

Рисунок 4 – Окно Регрессия

Рисунок 5 – Протокол решения задачи

Из рисунка 5 видно, что  эмпирические коэффициенты регрессии  соответственно равны:

b₀ =227;

b₁ = -0,004.

Тогда уравнение парной линейной регрессии, связывающее величину ежемесячной пенсии у с величиной прожиточного минимума х, имеет вид:

=227 - 0,004х ,                                                                                             (2)

Далее, в соответствии с заданием необходимо оценить тесноту статистической связи между величиной прожиточного минимума х и величиной ежемесячной пенсии у. Эту оценку можно сделать с помощью коэффициента корреляции r_yx. Величина этого коэффициента на рисунке 5 обозначена как множественный R и соответственно равна 0,013. Поскольку, в общем случае, величина данного коэффициента находится в пределах от -1 до +1, то можно сделать вывод о несущественности статистической связи между величиной прожиточного минимума х и величиной ежемесячной пенсии у.

Параметр R - квадрат, представленный на рисунке, представляет собой  квадрат коэффициента корреляции r_yx и называется коэффициентом детерминации. Величина данного коэффициента характеризует долю дисперсии зависимой переменной у, объясненную регрессией (объясняющей переменной х).

Соответственно величина 1-r²_yx характеризует долю дисперсии переменной у, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных. Из рисунка 5 видно, что доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет: 1-0,0002 = 0,9998 или 99,98% .

На следующем этапе, в соответствии с заданием, необходимо выполнить количественную оценку влияния объясняющей переменной х на результативную переменную у, используя коэффициент эластичности. Коэффициент эластичности для модели парной линейной регрессии определяется в виде:

,                                                                                                       (3)

Тогда

Следовательно, при изменении прожиточного минимума на 1% величина ежемесячной пенсии снизится на 0,003%. Далее определяем среднюю ошибку аппроксимации по зависимости:

,                                                                                        (4)

Для этого исходную таблицу 1 дополняем  двумя колонками, в которых определяем значения , рассчитанные с использованием зависимости (2) и значения разности .

Таблица 2 – Расчет средней  ошибки аппроксимации

Тогда средняя ошибка аппроксимации равна:

Из практики известно, что значение средней ошибки аппроксимации  не должно превышать (12...15)%. На последнем этапе выполним оценку статистической надежности моделирования с помощью F - критерия Фишера. Для этого выполним проверку нулевой гипотезы Н₀ о статистической не значимости, полученного уравнения регрессии по условию: если при заданном уровне значимости =0,05 теоретическое значение F - критерия F_т больше его критического значения F_крит, то нулевая гипотеза отвергается, и полученное уравнение регрессии принимается значимым.

Из рисунка 5 следует, что F_т = 0,0007. Критическое значение F – критерия F_крит определяем с помощью использования статистической функции FPACIIOBP ( ) табличного процессора MS Excel (рисунок 6). Входными параметрами функции является уровень значимости (Вероятность) и число степеней свободы 1 и 2 . Для модели парной регрессии число степеней свободы соответственно равно 1 (одна объясняющая переменная) и n-2 = 6-2=4.

Рисунок 6 – Окно статистической функции FРАСПОБР

Из рисунка 6 видно, что  критическое значение F-критерия F_крит =7,71. Так как F_т < F_крит, то нулевая гипотеза не отвергается и полученное регрессионное уравнение статистически незначимо.

1.3 Построение  модели множественной регрессии

В соответствии с вариантом  задания, используя статистический материал, необходимо.

1. Построить линейное  уравнение множественной регрессии.

2. Дать сравнительную  оценку тесноты связи объясняющих  переменных с зависимой переменной с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.

3. Оценить статистическую  значимость коэффициентов регрессии  с помощью t - критерия и нулевую гипотезу о значимости уравнения с помощью F - критерия.

4. Оценить качество  уравнения посредством определения  средней ошибки аппроксимации.

Исходные данные для  построения модели парной регрессии  приведены в таблице 3.

Таблица 3 - Исходные данные

Технология построения уравнения регрессии аналогична алгоритму, изложенному в п.п.1.1. Протокол построения уравнения регрессии показан на рисунке 7.

Рисунок 7 - Протокол решения  задачи

Из рисунка 7 видно, что  эмпирические коэффициенты регрессии  соответственно равны:

b0 = 0,845

b1 = 0,015

b2 = 0,066.

Тогда уравнение множественной  линейной регрессии, связывающее величину чистого дохода у с оборотом капитала х1 и использованным капиталом х2 имеет вид:

=0,845+0,015 х1+0,066 х2.                                                                     (5)

На следующем этапе, в соответствии с заданием необходимо выполнить количественную оценку влияния объясняющих переменных х1 и х1 на результативную переменную у, используя коэффициенты эластичности. Коэффициенты эластичности для модели множественной линейной регрессии определяется в виде:

                                                                                            (6)

Тогда:

Следовательно, при изменении оборота  капитала на 1%, величина чистого дохода копании изменяется на 0,177%.

При изменении использованного  капитала на 1% величина чистого дохода компании изменяется на 0,53%.

На третьем этапе исследования необходимо оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t - критерия и нулевую гипотезу о значимости уравнения с помощью F - критерия.

Технология оценки статистической значимости коэффициентов регрессии также основывается на проверке нулевой гипотезы о не значимости коэффициентов регрессии. При этом проверяется выполнение условия:

если tт > tкрит, то нулевая гипотеза отвергается, и коэффициент регрессии принимается значимым. Из рисунка 7 видно, что tт для первого коэффициента регрессии равен 1,3, а для второго 4,5. Критическое значение tкрит при уровне значимости = 0,05 определяем с использованием статистической функции СТЬЮДРАСПОБР( ) рисунок 8. Входными параметрами функции является уровень значимости (Вероятность) и число степеней свободы. Для рассматриваемого примера число степеней свободы соответственно равно n-3 (так как, для двухфакторной модели множественной регрессии, оценивается три параметра b0 ,b1 b2). Тогда число степеней свободы равно 10-3=7.

Рисунок 8 - Окно статистической функции СТЬЮДРАСПОБР

Из рисунка 8 видно, что  критическое значение tкрит =2,36. Так как tт < tкрит для первого коэффициента регрессии (1,3 < 2,36), то нулевая гипотеза не отвергается и объясняющая переменная x1 является статистически незначимой и ее можно исключить из уравнения регрессии. И наоборот, для второго коэффициента регрессии tт > tкрит (4,5 > 2,36) и объясняющая переменная x2 является статистически значимой.

Проверка значимости уравнения множественной регрессии  в целом с использованием F - критерия аналогична проверке уравнения парной регрессии.

Из рисунка 7 следует, что Fт=12,6. Критическое значение F – критерия Fкрит, определяем с помощью использования статистической функции FРАСПОБР( ). Для модели множественной регрессии с двумя переменными число степеней свободы соответственно равно 2 (две объясняющие переменные x1 и х2) и n-k-1(где к=2 - число объясняющих переменных). И второе число степеней свободы равно 10-3=7. Критическое значение Fкрит=4,74. Следовательно:

Fт > Fкрит (15,23 > 4,74), и уравнение регрессии в целом является значимым.

На последнем этапе  исследования необходимо оценить качество уравнения посредством определения средней ошибки аппроксимации по зависимости (4). С этой целью представим таблицу 3 в виде вспомогательной таблицы 4.

Тогда средняя ошибка аппроксимации составит:

Значительная ошибка аппроксимации превышает 15%, что свидетельствует о не достоверности и не адекватности полученной эконометрической модели реальному процессу.

Таблица 4 - Расчет средней  ошибки аппроксимации

1.4 Заключение

1. Сформирована эконометрическая  модель в виде линейного уравнения парной регрессии, связывающая величину ежемесячной пенсии у с величиной прожиточного минимума х

2. На основании анализа  численного значения коэффициента  корреляции ryx=0,013 установлено отсутствие статистической связи между величиной прожиточного минимума х и величиной ежемесячной пенсии у. Показано, что доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет 99,98% .

3. Путем расчета коэффициент  эластичности показано, что при  изменении прожиточного минимума на 1% величина ежемесячной пенсии снизится несущественно, всего на 0,003%.

4. Рассчитана средняя  ошибка аппроксимации статистических  данных линейным уравнением парной регрессии, которая составила 3,2%, что является вполне допустимой величиной.

5. С использованием F- критерия установлено, что полученное уравнение парной регрессии в целом является статистически незначимым, и не адекватно описывает изучаемое явление связи величины ежемесячной пенсии у с величиной прожиточного минимума х.

6. Сформирована эконометрическая  модель множественной линейной регрессии, связывающая величину чистого дохода условной фирмы у с оборотом капитала x1 и использованным капиталом х2.

7. Путем расчета коэффициентов  эластичности показано, что при  изменении оборота капитала 1% величина чистого дохода копании изменяется на 0,177%, а при изменении использованного капитала на 1 % величина чистого дохода компании изменяется на 0,53%.

8. С использованием t - критерия выполнена оценка статистической значимость коэффициентов регрессии. Установлено, что объясняющая переменная x1 является статистически незначимой и ее можно исключить из уравнения регрессии, в тоже время объясняющая переменная х2 является статистически значимой.

9. С использованием F- критерия установлено, что полученное уравнение парной регрессии в целом является статистически значимым, и адекватно описывает изучаемое явление связи величины чистого дохода условной фирмы у с оборотом капитала x1 и использованным капиталом x2.

10. Рассчитана средняя  ошибка аппроксимации статистических данных линейным уравнением множественной регрессии, которая составила 40,55%. Величина данной ошибки свидетельствует о не достоверности и не адекватности полученной эконометрической модели реальному процессу.

2 Построение  эконометрических уравнений без  использования специализированных программных продуктов

2.1 Построение  модели парной регрессии

Используя статистический материал, приведенный в таблице 5 необходимо:

i. Рассчитать параметры  уравнения парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту  связи зависимой переменной с  объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. На основе использования  коэффициента эластичности, выполнить  количественную оценку влияния объясняющей переменной на результативную переменную.

4. Определить среднюю  ошибку аппроксимации.

5. Оценить с помощью  F-критерия Фишера статистическую  надежность моделирования.

Таблица 5 – Исходные данные

Для определения неизвестных  параметров b0, b1 уравнения парной линейной регрессии (1) используем стандартную систему нормальных уравнений, которая имеет вид:

                                                                                (7)

Для решения этой системы  вначале необходимо определить значения величин ∑х, ∑у, ∑x² и ∑xy. Эти значения определяем из таблицы исходных данных, дополняя ее соответствующими колонками (таблица 6)

Таблица 6 - К расчету  коэффициентов регрессии

Тогда система (7) приобретает  вид:

Выражая из первого уравнения b0 и подставляя полученное выражение во второе уравнение, получим:

Тогда

Окончательно уравнение  парной линейной регрессии связывающее величину назначенных ежемесячных пенсий (у) с величиной прожиточного минимума в среднем на одного пенсионера в месяц (х) имеет вид:

у = 227- 0,004х                                                                                              (8)

Далее, в соответствии с заданием необходимо оценить тесноту  статистической связи зависимой переменной у с объясняющей беременной х с помощью показателей корреляции и детерминации.

Так как построено  уравнение парной линейной регрессии, то определяем линейный коэффициент корреляции по зависимости:

                                                                                            (9)

где σxσy - значения среднеквадратических отклонений соответствующих параметров.

Для расчета линейного коэффициента корреляции по зависимости (9) выполним промежуточные расчеты:

;

Подставляя значения найденных параметров в выражение (9), получим:

Полученное значение линейного коэффициента корреляции свидетельствует о наличии слабой обратной статистической связи между величиной назначенных ежемесячных пенсий (у) и величиной прожиточного минимума в среднем на одного пенсионера в месяц (х).

Коэффициент детерминации равен  что означает, что только 0,04% объясняется регрессией объясняющей переменной х на величину у. Соответственно величина 1 - равная 99,96 % характеризует долю дисперсии переменной у, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных.

Коэффициент эластичности определяется по зависимости (3) и равен:

Следовательно, при изменении  величины прожиточного минимума на 1%, величина назначенных ежемесячных пенсий снизится на 0,0035%. Причем, при увеличении прожиточного минимума наблюдается снижение величины назначенных ежемесячных пенсий. Данный вывод противоречит здравому смыслу и может быть объяснен только некорректностью сформированной математической модели.