Выбор в условиях неопределенности

Содержание.

1.Введение…………………………………………………..…………….…3

2. Выбор как  реализация цели………………………………...……….…...3

3. Выбор в условиях неопределенности……………………………….…..5

4. Задание неопределенности  с помощью матрицы………………………6

5. Критерия сравнения  альтернатив при неопределенности  исходов..….8

6. Общее представление о теории игр…………………………………..…9

7. О выборе в условиях статистической неопределенности………….….10

8. О выборе  при расплывчатой неопределенности………………………11

9. Список используемой литературы……………….…………………….12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение.

     Современный системный анализ является прикладной наукой, нацеленной на выяснение причин реальных сложностей, возникших перед «обладателем проблемы» и на выработку вариантов их устранения. В наиболее развитой форме системный анализ включает и непосредственное, практическое улучшающее вмешательство в проблемную ситуацию.

     Главная цель системного анализа – раскрытие  системности любой целенаправленной деятельности. Для этого необходимо построить систему моделей, с помощью которых можно обобщать, передавать и совершенствовать опыт такой деятельности. 

Выбор как реализация цели.

     Выбор является действием, придающим всей деятельности целенаправленность. Именно выбор реализует подчинённость  всей деятельности определенной цели или совокупности целей. Рано или  поздно наступает момент, когда дальнейшие действия могут быть различными, приводящими  к разным результатам, а реализовать  можно только одно действие, причем вернуться к ситуации, имевшей  место в этот момент, уже (как правило) нельзя.

     Способность сделать правильный выбор в таких  условиях – очень ценное качество, которое присуще людям в разной степени.

     Естественно стремление понять, что такое «хороший выбор», выработать рекомендации, как  приблизиться к наилучшему решению, а если возможно, то и предложить алгоритм получения такогомрешения. Работа многих исследователей в этом направлении выявила характерную ситуацию, типичную для моделирования (в данном случае – моделирования процессов принятия решений): полная формализация нахождения наилучшего решения возможна, но лишь для хорошо изученных (структурированных) задач; для решения слабо структурированных задач полностью формальных алгоритмов не существует (если не считать тривиального и далеко не всегда приемлевого алгоритма перебора, т.е. метода проб и ошибок), но опытные и способные специалисты часто делают выбор, оказывающийся хорошим. Современная тенденция практики выбора в естественных ситуациях состоит в сочетании способности человека решать неформализованные задачи с возможностями формальных методови компьютерного моделирования (например, диалоговые системы поддержки решений, экспертные системы, информационно-поисковые системы, системы управления базами данных, автоматизированные системы управления и т.п.).

     Задачи  выбора чрезвычайно многообразны, различны и методы их решения.

     Будем представлять принятие решения как  действие над множеством альтернатив, в результате которого получается подмножество выбранных альтернатив (обычно это  одна альтернатива, что не обязательно, а иногда и невозможно). Сужение  множества альтернатив возможно, если имеется способ сравнения альтернатив  между собой и определения  наиболее предпочтительных. Каждый такой  способ будем называть критерием  предпочтения. При таком описании выбора считают сами собой разумеющимися, уже пройденными, две чрезвычайно важных этапа: 1) порождение множества альтернатив на котором предстоит осуществлять выбор; 2) определение целей, ради достижения которых производится выбор. В практике системного анализа реализация этих этапов связана с определенными трудностями, для преодоления которых необходимы свои приёмы и методы.

     Проблема  выбора не тривиальна и допускает  существенно различающиеся математические постановки задач. Дело в том, что  каждая компонента ситуации выбора может  реализовываться в качественно  различных вариантах. Отметим основные из этих вариантов:

     Множество альтернатив может быть конечным, счетным или континуальным;

     Оценка  альтернативы может осуществляться по одному или по нескольким критериям, которые в свою очередь могут  иметь как количественный, так  и качественный характер;

     Режим выбора может быть однократным (разовым) или повторяющимся, допускающим  обучение на опыте;

     Последствия выбора могут быть точно известны (выбор в условиях определенности), иметь вероятный характер, когда  известны вероятности важных исходов  после сделанного выбора (выбор в  условиях риска), или иметь неоднозначный  исход, не допускающий введения вероятностей (выбор в условиях неопределенности);

     Ответственность за выбор может быть односторонней (в частном случае индивидуальной) или многосторонней. Соответственно различают индивидуальный и групповой  выбор;

     Степень согласованности целей при многостороннем выборе может варьироваться от полного  совпадения интересов сторон (кооперативный  выбор) до их противоположности(выбор в конфликтной ситуации). Возможны также промежуточные случаи, например компромиссный выбор, коалиционный выбор, выбор в условиях нарастающего конфликта и т.д.

     Различные сочетания перечисленных вариантов  и приводят к многообразным задачам  выбора, которые изучены не в одинаковой степени.

     Выбор в условиях неопределенности.

     Существуют  подходы к описанию и осуществлению  выбора в таких условиях, когда  последствия сделанного выбора были определены однозначно. Выбор одной  из альтернатив хЄХ был связан с известным выбирающему однозначным следствием, и вся проблема выбора-это проблема сравнения разных следствий (или, что в данном случае то же самое, альтернатив). 
 
 
 
 
 
 

     Задание неопределенности с  помощью матрицы.

     В реальной практике нередко приходится иметь дело со сложной ситуацией, когда выбор альтернативы неоднозначно определяет последствия сделанного выбора: имеется набор возможных исходов yЄY, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но какой именно – в момент выбора неизвестно, а станет ясным позже, когда выбор уже сделан и изменить ничего нельзя. Хотя с каждой альтернативой х связано одно и то же множество исходов Y, для разных альтернатив одинаковые исходы имеют разное значение. В случае дискретного набора альтернатив и исходов такую ситуацию можно изобразить с помощью следующей матрицы:

     Y

x1         q11       q12  …   q1j  …  q1m

… …    …    …   …   …  …

xi          qi1        qi2  …   qij    …   qim

…         …         …     …     …    …    …

xn        qn1       qn2    …     qnj   …    qnm 

      В этой матрице все возможные исходы образуют вектор y=(y1,…ym), числа qij выражают оценку ситуации, когда сделан выбор альтернативы xi и реализовался исход yj. В разных случаях числа qij могут иметь различный смысл: иногда это «выигрыши», иногда «потери», «платежи»; в литературе употребляются также и другие названия.

      Если  все строки qi = (qi1,…,qim) при любых i одинаковы, то проблемы выбора между альтернативами нет. Если же строки матрицы различны, то возникает вопрос, какую альтернативу предпочесть, не зная заранее, какой из исходов реализуется.

      Аналогично, в случае непрерывных множеств X и Y ситуация описывается с помощью задаваемой на этих множествах функции q(x,y), xЄX, yЄY с соответствующей постановкой вопроса о выборе х.

      Сказанного  до сих пор недостаточно для формальной постановки задачи выбора. При различной  конкретизации этой задачи она приобретает  различный смысл и требует  различных методов решения. Исторически  сложилось так, что первыми были формализованы искусственные, игровые  задачи, что придало всей терминологии несколько легкомысленное звучание (взаимодействующие стороны называются «игроками», выбираемые ими альтернативы - «ходами», правила выбора – «стратегиями», величины qij – «выигрышами», а вся теория – «теорией игр»).

      Один  класс задач называется «играми  против природы». В таких задачах  считается, что исходы y1,…ym есть возможные «состояния природы». Желательность каждой альтернативы xi зависит от того, каково состояние природы, но узнать, каково оно, мы сможем лишь после того, как сделаем выбор.

      В другом классе задач предполагается, что исходы Y – это множество альтернатив, на котором выбор осуществляет второй игрок. В отличие от бесстрастной Природы второй игрок преследует свои интересы, отличные от интересов первого игрока. При этом матрица Q=ІІqijІІ, характеризующая оценки ситуаций с точки зрения игрок, выбирающего х, уже недостаточна для описания всей игры. Необходимо задать вторую матрицу U=ІІuijІІ, описывающую игру с позиций второго игрока. Задание X, Y, Q и U называется нормальной формой игры. Расхождения между матрицами Q и U определяют степень антагонизма игроков. Если aij + uij = const для всей i и j, то соперничество называется строгим. В случае qij + uij = 0 имеем игру с нулевой суммой. Можно представить себе игры, где выигрыши и проигрыши сторон не связаны линейно и это будет отражать усиление или ослабление конфронтации сторон. Можно также рассматривать изменение матриц платежей после очередного хода. Например, интерес исследователей привлекли игры с нарастающей конфликтностью; примером может служить игра «в цыпленка», но, конечно, у такой задачи есть и более серьезные приложения. Возможны и другие обобщения, например рассмотрение игр с участием большего числа участников, с образованием коалиций между ними и т.д.

      Разнообразие  задач выбора в условиях неопределенности существенно возрастает в связи  с тем, что и сам характер неопределенности может быть различным. Например, в  «игре против природы» можно считать, что состояние природы «совершенно  неизвестно», а можно ввести на множестве  Y вероятностную меру, что даст основания для усиления различий между исходами; также разные постановки задач дают, естественно, и различные их решения.

Критерия  сравнения альтернатив  при неопределенности исходов.

      Вряд  ли возможно (да и целесообразно) в  кратком обзоре рассмотреть все  важнейшие результаты теории игр (опубликовано много монографий) Однако об основных идеях и подходах к решению  задач теории игр желательно иметь  представление всем, кому придется проводить исследования систем.

      Центральным моментом является введение критерия для оценки выбираемого варианта. В силу неопределенности исхода нужно  дать оценку сразу целой строке платежной  матрицы; имея такие оценки для всех строк и сравнивая их, мы и можем  делать выбор.

      Самым распространенным является критерий выбора «наименьшего из зол», называемый максиминным критерием. В каждой из строк матрицы платежей находится наименьший выигрыш minq_ij, который характеризует гарантированный выигрыш в самом худшем случае и считается оценкой альтернативы x_i. Теперь остается найти альтернативу х*, обеспечивающую наибольшее значение этой оценки: х*=arg max min q_ij.Эта альтернатива и называется оптимальной по максиминному критерию. Поскольку часто платёжную матрицу определяют не через выигрыш, а через проигрыш, тот же принцип приводит к минимаксному критерию.

      Минимаксный критерий является крайне осторожным, очень пессимистическим, поэтому  были предложены другие критерии. Таков, например, критерий минимаксного сожаления, предложенный Сэвиджем. При этом по платежной матрице Q вычисляется  “матрица сожалений» S, элементы которой определяются как s_ij=q_ij – minq_ij, и минимаксный критерий применяется к матрице S:х*=arg min maxs_ij.

      Дальнейшее  ослабление пессимистичности оценки альтернатив дает критерий пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица), который сводится к взвешенной комбинации наилучшего и наихудшего исходов. А именно: за оценку альтернативы x_i в критерии Гурвица принимается величина

g(x_i) = a min q_ij + (1-a) max q_ij, 0≤a≤1.

      Показатель а называется показателем пессимизма – оптимизма (при а=1 имеем снова максиминный критерий); оптимальная альтернатива есть х*=arg max g(x_i). 
 

Общее представление о  теории игр.

      Некоторые особенности игровых ситуаций хорошо видны на простейшем примере. Пусть  имеется игра с континуальными множествами  X и Y, строгим соперничеством сторон и нулевой суммой. Это делает достаточным рассмотрение лишь одной функции платежей q(x,y), которую один игрок старается максимизировать по х, а другой – минимизировать по y.

      В тех случаях, когда max  min q(x,y)=min max q(x,y), точка (x,⃰ y⃰), в которой достигается это равенство, одновременно  удовлетворяет амбиции обоих игроков. Эта точка равновесия интересов сторон называется седловой. Отдох от этой точки невыгоден обеим сторонам, так что ее выбор решает игру.

      Однако  существуют игры без седловой точки. В такой ситуации становится выгодным скрывать от противника свой выбор и даже свой способ выбора. Это достигается введением смешанной стратегии. В отличие от чистой стратегии, при которой альтернатива выбирается  однозначно по детерминированному правилу, смешанная стратегия состоит в том, что задаются лишь вероятности выбора альтернатив, а сам выбор осуществляется случайным механизмом, подчиняющимся заданному распределению. В результате получаемый выигрыш становится  случайной величиной и сравнение стратегий можно вести через средние значения выигрыша. Оказывается (теорема фон Неймана), что любые матричные игры сос строгим соперничеством имеют решение в смешанных стратегиях. Кроме того, матричную игру можно свести к задаче линейного программирования, что дает не только практические методы численного решения игр, но и позволяет перенести ряд теоритических результатов программирования в теорию игр.

      Неопределенность  в момент выбора характеризуется  распределением потерь и выигрышей  по исходам, связанным с каждой альтернативой. Вводя подходящую числовую характеристику этого распределения, мы получаем возможность  упорядочения (сравнения) альтернатив. Разнообразие задач теории игр связано с разными числовыми характеристиками  распределения потерь, различными степенями конфликтности между сторонами, с другими особенностями конкретных задач. 
 
 

О выборе в условиях статистической неопределенности.

      Существует  класс задач выбора, особенностью которых является наличие неопределенности даже после того, как проведена  серия наблюдений, измерений. Дело в  том, что данные, полученные в результате эксперимента, связаны с интересующим нас аспектом явления не непосредственно, не однозначно, а в совокупности с другими, неконтролируемыми факторами.

      Неопределенность  в статистических задачах имеет  «двухэтажную» природу. Наблюдаемые  данные подчинены конкретному вероятностному распределению, и связанная с  этим распределением неопределенность образует «первый этаж». Имеется  и другая неопределенность – относительно того, какое же именно распределение из некоторого множества порождало экспериментальные данные. Эту-то «вторую» неопределенность и требуется снять, осуществив выбор на данном множестве альтернативных распределений. Алгоритм такого выбора самого распределения (или значения некоторого его признака) называется статистической процедурой. Использование статистических выводов сопряжено с определенными сложностями, «ловушками», опасностями, риском; требуется знание и соблюдение правил «статистической безопасности». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

О выборе при расплывчатой неопределенности.

      Любая задача выбора является задачей целевого сужения множества альтернатив. Как описание альтернатив (перечень их признаков, параметров и т.п.), так  и описания (критериев, отношений) даются в терминах той или иной измерительной  шкалы. Известно, что любая измерительная  шкала допускает размытие. Точнее говоря, в жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, описать которые  можно лишь в размытых шкалах. Это, разумеется, относится к ситуациям, приводящим к выбору. В результате мы приходим к задачам выбора в  условиях расплывчатой неопределенности. До настоящего времени рассмотрено  лишь незначительное число таких  задач, однако ведется работа в этом направлении.

      Ряд ситуаций выбора характеризуется расплывчатой неопределенностью. Рассмотрено несколько  различных вариантов таких ситуаций; функции принадлежности в них  имеют разный смысл (либо сами служат критериями, либо описывают размытость некоторого параметра критериальной функции). Естественно, это приводит к разным алгоритмам выборов.

      Начато  исследование различий и аналогий между  статистической и размытой неопределенностями. В целом идеи теории расплывчатых множеств привлекают все больший интерес, поскольку в этой модели удалось отразить многие особенности  языковых моделей и действий человека на их основе. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  используемой литературы.

1. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ: учебное пособие для вузов. – М.: Высш.шк., 1989.
2. Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении: учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2007.