Задачи по информатике

Контрольная работа №3  

Задача 1. Аппроксимация функций. Интерполирование.

Дана таблица  значений функции y=f(x) и два значения аргумента x=a и x=b.

Требуется с  помощью полиномов Ньютона третьей степени вычислить приближенное значение функции y=f(x) в точках x=a и x=b, т.е. f(a) и f(b). 

Решение

Построим таблицу  конечных разностей:

Поскольку точка b= 0,62 находится ближе к началу таблицы, а точка a=0,88 – ближе к концу таблицы, то для нахождения значения f(b) будем использовать первый полином Ньютона, а для нахождения f(a) – второй. Ближайшее меньшее к точке b значение узла таблицы – 0.6,  а ближайшее большее к точке a – 1,0.

Выпишем первый и второй полиномы третьей степени:

P (x) =y0 + (∆y0/1!)*q + (∆²y0/2!)*q*(q-1) + (∆³y0/3!)*q*(q-1)*(q-2),

q= (0.62-0.6)/0.1=0.2,

P (x) =y4 + (∆y3/1!)*q + (∆²y2/2!)*q*(q+1) + (∆³y1/3!)*q*(q+1)*(q+2),

q= (0.88-1.0)/0.1= -1.2,

f(0.62) ≈ P (0.62) =0,5646+ (0.0796/1!)*0.2 + (-0.0064/2!)*0.2*(0.2-1) + (0.0009/3!)*0.2*(0.2-1)*(0.2-2)=

= 0.5811

f (0.88) ≈ P (0.88) = 0,8415 + (0.0582/1!)*(-1.2) + (-0.0077/2!)*(-1.2)*(-1.2+1) +

+(0.0004/3!)*(-1.2)*(-1.2+1)*(-1.2+2) = 0.7714. 
 
 
 

Задача 2. Аппроксимация функций. Подбор эмпирической зависимости.

1. Используя  систему нормальных уравнений,  найти параметры a0, a1 для линейной ỹ=a0+a1x и a0,a1,a2 для параболической ỹ=a0+a1x+a2x²  эмпирических зависимостей. Записать эти зависимости.

2. Построить  на одном чертеже графики линейной  и параболической эмпирических  зависимостей, а также нанести  на этот чертёж табличные значения.

3. Определить, какая  из двух эмпирических зависимостей (линейная или параболическая) лучше в смысле МНК.

 Дана таблица  значений функций y=f(x)

Найти эмпирические зависимости для двух случаев:

ỹ=a0+a1x и 

ỹ=a0+a1x+a2x² 

и определить, какая  из них лучше описывает табличные  данные.

Составим таблицу  промежуточных вычислений:

Для определения  параметров a0 и a1  линейной эмпирической зависимости подставим необходимые значения найденных сумм в систему нормальных уравнений.

Получим

10a0 + 13.440a1 = 36.870

13.44a0 + 15.508a1 = 48.402

Решив любым  методом, например методом последовательного  исключения неизвестных, систему, получим a0 = 3.081 и a1 = 0.451. Следовательно, линейная эмпирическая зависимость имеет вид:

ỹ=3.081+0.451x.

Поступая аналогичным  образом, запишем систему нормальных уравнений для определения  a0,a1,a2 квадратической эмпирической зависимости:

10a0 + 13.44a1 + 15.508a2 = 36.84

13.44a0 + 15.508a1 + 22.022a2 = 48.402

15.508a0 + 22.022a1 + 32.651a2 = 68.728

Решив эту систему, получим:

a0 =0.481, a1 = 0.982, a2 = 1.214 

ỹ = 1.214x² + 0.982x+ 0.481

Построим график

f(x)=1.214x^2+0.982x+0.481

f(x)= 0.451x + 3.081 

Чтобы определить, какая из двух эмпирических зависимостей, линейная или квадратическая, лучше  описывает табличные данные, вычислим суммы квадратов отклонений значений каждой из указанных эмпирических зависимостей от табличных: 

Сравнивая полученные суммы квадратов отклонений, делаем вывод, что лучше в смысле МНК  является квадратическая зависимость. 
 
 

Задача 3. Методом Гаусса-Зейделя  для решения СЛАУ 

По данным своего варианта записать систему трёх уравнений  с тремя неизвестными, привести её к виду с диагональным преобладанием и решить методом Гаусса-Зейделя с точностью ε = 0.05. Сделать проверку.

Дано: 

3.1x1+ 2.8x2+ 1.9x3= 0.2       (I)

1.9x1+ 3.1x2+ 2.1x3= 2.1       (II)

7.5x1+ 3.8x2+ 4.8x3= 5.6       (III) 
 

Выберем начальное  приблежение:

Х1͑º͗ = Х2º͗ = Х3º͗ = 0.

Любое следующее  приблежение будем вычислять  по формулам: 

Х1  = 1/5.9*(-16,8 + 2.2 x3     )

Х2  = 1/7.1*(9.7 - 0.2x1 -4.8 x3     )

Х3 = 1/6.0*(17 - 0.3x1 -5.6 x2     )

На каждом шаге необходимо проверять условие на окончание итерационного процесса:

|xi – xi  |˂ 0.05, i=1,2,3

Результаты вычислений приведены в таблице:

Таким образом, условие на окончание итерационного  процесса выполнено после 17 шагов. Приближённое решение:

Выполним проверку, подставив полученное решение в  исходную систему: 

3.1*(-1,2767)+ 2.8*(-1,4459)+ 1.9*4,2624= 0,0920       (I)

1.9*(-1,2767)+ 3.1*(-1,4459)+ 2.1*4,2624= 2,0428        (II)

7.5*(-1,2767)+ 3.8*(-1,4459)+ 4.8*4,2624= 5,3895        (III)

Задача 4. Решение нелинейных алгебраических уравнений методом простой итерации.

С точностью  ε = 0.05 найти приближённое значение корня уравнения F(x) = 0 на интервале изоляции [a,b] методом простой итерации.

Уравнение f(x) = 0 имеет вид:

D1x³ = D2x² + D3x + D4 =0.

 Дано нелинейное  алгебраическое уравнение

F(x) = x³ - 10x – 5 = 0

И интервал изоляции корня [3,4] методом простой итерации.

Для применения метода простой итерации приведём исходное уравнение к виду:

X = φ(x),

Где φ(x) = x + c*(x³ - 10x – 5); c- const.

Подберём константу c так, чтобы выполнялось условие:

|φˈ(x)|˂1 для 3 ≤ x ≤ 4

φˈ(x) = 1+c*(2x²-10),

φˈ(3) = 1+ 8c, φˈ(4) = 1+ 14c.

Таким образом, для c можно взять значение -0.05. Убедимся в правильности построения φ(x).

max3 ≤ x ≤ 4|φˈ(x)| = max3 ≤ x ≤ 4|1-0.05(2x²-10)| = 0.1˂1

Итерациональная формула при выбранном c будет иметь вид

Xk+1=Xk – 0.05(Xk³ - 10Xk – 5) или

Xk+1= – 0.05Xk³ + 1.5Xk + 0.25 

В качестве начального приближения выберем X0 = 3.5.

Результат вычислений оформим в виде таблицы

Ответ: Х ≈  3,38618

Проверка: 3,38618³ - 10 * 3,38618 -5 = -0,03513. 
 
 

Задача 5. Вычисление определённого  интеграла по формулам трапеций и Симпсона.

1. Вычислить ∫ F(x) dx двумя способами:

   а) по  формуле трапеций;

   б) по  формуле Симпсона.

2. Оценить  погрешность вычисления интеграла  по формуле Симпсона.

Дано 

F(x) = 1/x² , количество узловых точек на [1,3] , n = 9

Решение

Вычислить интеграл ∫ 1/x² dx по формулам:

а) трапеций;

б) Симпсона.

Определим шаг  интегрирования:

Вычисление интеграла  по формуле трапеций:

I ≈ ∆x( (y0+y8)/2 + y1+ y2+ y3+ y4+ y5+ y6+ y7) =0,67657