Закон больших чисил

Содержание:

Введение …………………………………………………………………............ 3

6. Основные теоремы вероятности…………………………………………... 4 6.1. Закон больших чисел ………………………………………………………. 4

6.2. Центральная предельная теорема ………………………………………….7

6.3. Вероятность редких событий …………………………………….............. 16

Заключение  ……………………………………………………………………..  18

Список использованных источников и литературы …………………………  19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Не стоит  думать, что там, где речь идет о  случайных событиях бесполезно искать какие-то закономерности - случай он и есть случай. Существует несколько групп случайных явлений, в которых закономерности уже обнаружены и изучены, оценивать и сравнивать прогноз развития событий в этом случае можно и нужно. Само понятие "вероятность" нередко определяют как количественную меру возможности реализации интересующего нас случайного события. Правда, знание вероятности благоприятного исхода - это еще не выигрыш сам по себе, это лишь взвешивание возможностей.

Мы ежедневно  принимаем многие решения в условиях неопределенности. Принято различать неопределенность и риск. Риск - это когда можно сказать, что человек знает, на что он идет, шансы известны, вероятности оценены. Конечно, не всякую неопределенность можно превратить в риск. Но там, где это несложно сделать, это может оказать реальную помощь в принятии решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.1 Закон  больших чисел. Неравенство Чебышева.

 

На практике сложно сказать какое конкретное значение примет случайная величина, однако, при воздействии большого числа различных факторов поведение большого числа случайных величин практически утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Этот факт очень  важен на практике, т.к. позволяет  предвидеть результат опыта при  воздействии большого числа случайных  факторов.

Однако, это возможно только при выполнении некоторых условий, которые определяются законом больших чисел. К законам больших чисел относятся теоремы Чебышева (наиболее общий случай) и теорема Бернулли (простейший случай), которые будут рассмотрены далее.

 

Рассмотрим дискретную случайную величину Х (хотя все сказанное ниже будет справедливо и для непрерывных случайных величин), заданную таблицей распределения:

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

 

Требуется определить вероятность того, что отклонение значения случайной величины от ее математического ожидания будет не больше, чем заданное число e.

 

Теорема. (Неравенство Чебышева) Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше чем .

 

Теорема Чебышева.

 

Теорема. Если Х₁, Х₂, …, Х_n- попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышаю постоянного числа С), то, как бы мало не было положительное число e, вероятность неравенства

 

 

будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Т.е. можно записать:

 

 

Часто бывает, что  случайные величины имеют одно и  то же математическое ожидание. В этом случае теорема Чебышева несколько упрощается:

 

Дробь, входящая в записанное выше выражение есть не что иное как среднее арифметическое возможных значений случайной величины.

Теорема утверждает, что хотя каждое отдельное значение случайной величины может достаточно сильно отличаться от своего математического ожидания, но среднее арифметическое этих значений будет неограниченно приближаться к среднему арифметическому математических ожиданий.

Отклоняясь от математического ожидания как в положительную так и в отрицательную сторону, от своего математического ожидания, в среднем арифметическом отклонения взаимно сокращаются.

Таким образом, величина среднего арифметического  значений случайной величины уже  теряет характер случайности.

 

Теорема Бернулли.

 

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно р.

Возможно определить примерно относительную частоту  появления события А.

 

Теорема. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянно, то сколь угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний р достаточно велико.

 

Здесь т – число появлений события А. Из всего сказанного выше не следует, что с увеличением число испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности р, т.е. . В теореме имеется в виду только вероятность  приближения относительной частоты к вероятности появления события А в каждом испытании.

В случае, если вероятности появления события  А в каждом опыте различны, то справедлива следующая теорема, известная как теорема Пуассона.

 

Теорема. Если производится п независимых опытов и вероятность появления события А в каждом опыте равна р_i, то при увеличении п частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей р_i.

 

6.2. Центральная предельная теорема.

 

Как уже говорилось, при достаточно большом количестве испытаний, поставленных в одинаковых условиях, характеристики случайных событий и случайных величин становятся почти неслучайными. Это позволяет использовать результаты наблюдений случайных событий для предсказания исхода того или иного опыта.

Предельные теоремы  теории вероятностей устанавливают  соответствие между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом  количестве испытаний.

В рассмотренном  выше законе больших чисел нечего не говорилось о законе распределения случайных величин.

Поставим задачу нахождения предельного закона распределения  суммы

когда число  слагаемых п неограниченно возрастает. Эту задачу решает Центральная предельная теорема Ляпунова, которая была сформулирована выше.

В зависимости  от условий распределения случайных  величин X_i, образующих сумму, возможны различные формулировки центральной предельной теоремы.

Допустим, что  случайные величины X_i взаимно независимы и одинаково распределены.

Теорема. Если случайные величины X_i взаимно независимы и имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием т и дисперсией s², причем существует третий абсолютный момент n₃, то при неограниченном увеличении числа испытаний п закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному.

При доказательстве этой теоремы Ляпуновым использовались так называемые характеристические функции.

 

Определение. Характеристической функцией случайной величины Х называется  функция

 

 

эта функция представляет собой математическое ожидание некоторой  комплексной случайной величины , являющейся функцией от случайной величины Х.  При решении многих задач удобнее пользоваться характеристическими функциями, а не законами распределения.

Зная закон распределения, можно найти характеристическую функцию по формуле (для непрерывных  случайных величин):

Как видим, данная формула представляет собой не что  иное, как преобразование Фурье для функции плотности распределения. Очевидно, что с помощью обратного преобразования Фурье можно по характеристической функции найти закон распределения.

Введение характеристических функций позволяет упростить  операции с числовыми характеристиками случайных величин.

В случае нормального распределения  характеристическая функция имеет  вид:

 

Сформулируем некоторые  свойства характеристических функций:

1. Если случайные величины Х и Y связаны соотношением

где а – неслучайный множитель, то

2) Характеристическая  функция суммы независимых случайных  величин равна произведению характеристических  функций слагаемых.

 

Случайные величины X_i, рассмотренные в центральной предельной теореме, могут обладать произвольными распределениями вероятностей.

Если  все эти случайные  величины одинаково распределены, дискретны  и принимают только два возможных  значения 0 или 1, то получается простейший случай центральной предельной теоремы, известный как теорема Муавра – Лапласа.

 

Теорема. (Теорема Муавра – Лапласа) Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется  с вероятностью р, то для любого интервала (a, b) справедливо соотношение:

 

 

где Y – число появлений события А в п опытах, q = 1 – p, Ф(х) – функция Лапласа, - нормированная функция Лапласа .

Теорема Муавра – Лапласа  описывает поведение биноминального распределения при больших значениях п.

Данная теорема позволяет существенно упростить вычисление по формуле биноминального распределения.

Расчет вероятности попадания  значения случайной величины в заданный интервал при больших значениях п крайне затруднителен. Гораздо проще воспользоваться формулой:

 

 

Теорема Муавра – Лапласа  очень широко применяется при  решении практических задач.

Пример. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что в 10000 испытаниях отклонение относительной частоты появления события А от его вероятности не превзойдет по абсолютной величине 0,01.

В соответствии с неравенством Чебышева  вероятность  того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет  меньше некоторого числа e, ограничена в соответствии с неравенством   .

Надо определить математическое ожидание и дисперсию числа появления события А при одном опыте. Для события А случайная величина может принимать одно из двух значений: 1- событие появилось, 0- событие не появилось. При этом вероятность значения 1 равна вероятности р=0,3, а вероятность значения 0- равна вероятности ненаступления события А

q=1 – p =0,7.

По определению  математического ожидания имеем:

Дисперсия:

 

В случае п независимых испытаний получаем Эти формулы уже упоминались  выше.

В нашем случае получаем:

Вероятность отклонения относительной частоты появления  события А в п испытаниях от вероятности на величину, не превышающую e=0,01 равна:

Выражение полученное в результате этих простых преобразований представляет собой не что иное, как вероятность отклонения  числа т появления события А от математического ожидания на величину не большую, чем d=100.

В соответствии с неравенством Чебышева эта вероятность будет не меньше, чем величина

 

Пример. Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,96, можно было ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты годных деталей от вероятности детали быть  годной, равной 0,98, не превысит 0,02.

Условие задачи фактически означает, что выполняется  неравенство:

Здесь п- число годных деталей, т- число проверенных деталей. Для применения неравенства Чебышева преобразуем полученное выражение:

После домножения выражения, стоящего в скобках, на т получаем вероятность отклонения по модулю количества годных деталей от своего математического ожидания, следовательно, можно применить неравенство Чебышева, т.е. эта вероятность должна быть не меньше, чем величина , а по условию задачи еще и не меньше, чем 0,96.

Таким образом, получаем неравенство  . Как уже говорилось в предыдущей задаче, дисперсия может быть найдена по формуле .

Итого, получаем:

 

Т.е. для выполнения требуемых  условий необходимо не менее 1225 деталей.

 

Пример. Суточная потребность электроэнергии в населенном пункте является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 3000 кВт/час, а дисперсия составляет 2500. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте будет от 2500 до 3500 кВт/час.

 

Требуется найти  вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

 

Крайние значения интервала отклоняются от математического  ожидания на одну и ту же величину, а  именно – на 500. Тогда можно записать с учетом неравенства Чебышева:

Отсюда получаем:

Т.е. искомая вероятность  будет не меньше, чем 0,99.

 

Пример. Среднее квадратическое отклонение каждой из 2500 независимых случайных величин не превосходит 3. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превосходит 0,3.

 

Требуется найти  вероятность

Неравенство Чебышева в случае суммы случайных величин  имеет вид:

 

 

 

Если среднее  квадратическое отклонение не превосходит 3, то, очевидно, дисперсия не превосходит 9. Величина e по условию задачи равна 0,3.

Тогда . Отсюда получаем при n=2500:

 

Пример. Выборочным путем требуется определить среднюю длину изготавливаемых деталей. Сколько нужно исследовать деталей, чтобы с вероятностью, большей чем 0,9, можно было утверждать, что средняя длина отобранных изделий будет отличаться от  математического ожидания этого среднего (средняя длина деталей всей партии) не более, чем на 0,001 см.? Установлено, что среднее квадратическое отклонение длины детали не превышает 0,04 см.

По условию  если среднее квадратическое отклонение не превышает 0,04, то дисперсия, очевидно, не превышает (0,04)². Также по условию задано, что

Если преобразовать  соотношение, стоящее в скобках  и после этого применить неравенство  Чебышева, получаем:

 

 

 

Т.е. для достижения требуемой  вероятности необходимо отобрать более 16000 деталей.

Описанный подход, как видно, позволяет решить множество  чисто практических задач.

 

Пример. Вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется бракованной, при каждой проверке одна и та же и равна 0,2. Определить вероятность того, что среди 50 наугад выбранных деталей бракованных окажется не менее 6.

 

Для того, чтобы  воспользоваться теоремой Муавра - Лапласа найдем математическое ожидание и дисперсию количества бракованных деталей в 50 – ти отобранных:

 

Фактически  в задаче требуется определить вероятность  того, что бракованных деталей  будет не менее шести, но и, очевидно, не более 50- ти.

 

Значения функции Лапласа находятся по таблице. Конечно, значения функции Лапласа Ф(10) в таблице нет, но т.к. в таблицах указано, что Ф(3)=1,0000, то все значения от величин, превышающих 3 также равны 1. Дополнительно см. Функция Лапласа.

 

Пример. Известно, что 60% всего числа изготавливаемых заводом изделий являются изделиями первого сорта. Приемщик берет первые попавшиеся 200 изделий. Чему равна вероятность того, что среди них окажется из от 120 до 150 изделий первого сорта?

Вероятность того, что деталь окажется первого сорта, равна, очевидно, 0,6.

Математическое  ожидание числа изделий первого  сорта равно:

 

По теореме Муавра - Лапласа  получаем:

Пример. Проверкой установлено, что 96% изделий служат не меньше гарантируемого срока. Наугад выбирают 15000 изделий. Найти вероятность того, что со сроком службы менее гарантируемого будет от 570 до 630 изделий.

Вероятность того, что срок службы изделия будет  менее гарантированного равна:

1 – 0,96 = 0,04

Математическое  ожидание числа таких изделий  равно 

По теореме  Муавра - Лапласа получаем:

 

 

6.3 Вероятность редких событий.

Применение формулы  Бернулли сопряжено с расчетами  трех факториалов, что при достаточно больших значениях n, k, n-q,  осложняет задачу. Поэтому статистики математики разработали ряд примерных методов, заменяющих формулу Бернулли при решении некоторых частных и общих задач.

Пример: Определение вероятности  появления редких событий , k-раз, в n независимых  испытаниях. Причем подразумевается нефиксированное, а бесконечно большое количество испытаний. Такая вероятность определяется по формуле Пуассона (альтернативные независимые события)

 

где k – число появления событий в n независимых испытаниях,

- математическое ожидание (среднее число появлений события в n испытаний)

Формула Пуассона выводится  из формулы Бернулли и после ряда преобразований выглядит следующим образом, где k – количество раз, которое произойдет редкое событие.

Эта формула применяется  в прикладных разработках, в теории массового обслуживания (теории очередей), которая используется для расчета  оптимального числа точек обслуживания, числа бензоколонок, числа рабочих  мест операционистов в банке (такое число, чтобы не было очередей).

Кроме того, формула Пуассона применяется в ситуациях, когда  не требуется высокая точность расчетов, а вероятность события p не велика.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

 

      Таким образом, рассмотрев теорию вероятности, ее историю и положения и возможности, можно утверждать, что возникновение данной теории не было случайным явлением в науке, а было вызвано необходимостью дальнейшего развития технологии и кибернетики, поскольку существующее программное управление не может помочь человеку в создании таких кибернетических машин, которые, подобно человеку,  будут мыслить самостоятельно.     

И именно теория вероятности  может способствовать появлению  искусственного разума.     

«Процессы управления , где бы они ни протекали – живых организмах, машинах или обществе,- происходят по одним и тем же законам», - провозгласила кибернетика. А значит, и те, пусть еще не познанные до конца, процессы, что протекают в голове человека и позволяют ему гибко приспосабливаться к изменяющейся обстановке, можно воспроизвести искусственно в сложных автоматических устройствах.      

Где же пределы, которых могут  достичь кибернетические машины?  

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  использованных источников и литературы

1.     Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука,1965г.  
2.     Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984г.  
3.     Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 2001г.  
4.     Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, Т.2, 1984г.

5. Г.И. Мишкевич «Доктор занимательных наук»

6. Е.П. Бударина    «Теория вероятности и математическая статистика»

8.И.В. Волков    « Высшая математика»

9. Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я., «Элементарное введение в теорию вероятностей»