Частотна модуляція

  Зміст

1. Частотна модуляція
2. Амплітудний модулятор
3. Однотональна АМ
4. Комбінаційні частоти
5. Степенева апроксимація
6. Кусково-лінійна апроксимація
7. Амплітудна модуляція при складному модулюючому сигналі
8. Проходження АМ сигналу через одно резонансний підсилювач
9. Взаємний енергетичний спектр двох сигналів
10. Зв'язок між енергетичним спектром сигнала, та його автокориляційною функцією
11. Діодний детектор
12. Частотні характеристики паралельного коливального контуру
13. Спектральний склад струму у без інерційному нелінійному елементі при гармонійному зовнішньому впливі у випадку кусково-лінійної апроксимації
14. Резонансний підсилювач малих коливань

Література 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  1.Частотна модуляція.

  При частотній модуляції сигналу (ЧМ) між величинами s(t) і ω(t) є зв'язок вигляду

  

  Тому

  

  Природними  параметрами ЧМ-сигналу загального вигляду відповідно до формули є  девіація частоти вгору ∆ω=ks_max девіація  частоти вниз  ∆ω=ks_min

  Якщо  s(t) — достатньо гладка функція, то зовнішні осцилограми ФМ- і ЧМ-сигналів не відрізняються. Проте є принципова різниця: фазовий зсув між ФМ-сигналом і немодульований коливанням пропорційний s(t), тоді як для ЧМ-сигналу цей зсув пропорційний інтегралу від передаваного повідомлення 

  Задача

   Радіостанція, що працює в УКВ-діапазоні з несучою частотою f₀ = 80 Мгц, випромінює ФМ сигнал, промодульований частотою F=15 кГц. Індекс модуляції m = 12, Знайти межі в яких змінюється миттєва частота сигналу.

  

  Девіація  частоти складе ∆f = m·F = 1,8·103 = 180 кГц, Таким чином, при модуляції миттєва частота сигналу змінюється в межах від f_min = 80 – 0,18 = 79,82 МГц   до f_max = 80 + 0,18 = 80,18 МГц 
 
 
 
 
 
 
 

  2. Амплітудний модулятор

  Найпростіший  амплітудний модулятор служить  однокаскадний підсилювальний пристрій, нелінійного типу з резонансним  навантаженням.

   

    

  Коливний  контур фільтрує колекторний струм  виділяючи на виході АМ

  Робоча  точка переміщується в такт з  НЧ модулюючим коливанням. Відбувається неперервна зміна кута відсічки несучого сигнала.

  Амплітуда першої гармоніки послідовності  імпульсів Ік виявляється не постійною  у часі. Коливний контур фільтрує Ік, виділяючи на виході АМ сигнал, тобто  коливання з амплітудою, що змінюється пропорційно корисному модулюючому  сигналу.

  Задача

  Транзистор, що викорстовується в схемі модулятора має злам характеристики у точці  U_H= 1,5 B.

  Амплітуда коливань несучої частоти на вході  U_{m нес}= 0,3  В.

  Амплітуда модулюючого сигнала U_{m мод}= 0,2   В.

  Початкове зміщення U₀= 0,5  B.

  Визначити коефіцієнт амплітудної модуляції  у даній схемі, коли косинусоїдальні  імпульси немодульовані, тобто U_{m мод}=0, кут відсічки дорівнює

  

  У випадку коли U_{m мод} ≠ 0 положення робочої точки коливається у межах від U₀+U_{m мод}= 0,7 В до U₀ -U_{m мод}= 0,3 В.

  Тоді  кут відсічки буде змінюватися таким  чином

  

  Амплітуда першої гармоніки колекторного струму рівна

  

  Тобто амплітуда першої гармоніки колекторного струму пропорційна функції γ₁(θ), яке залежить від кута відсічки, а тому змінюється у межах

    

  Звідси  знаходимо коефіцієнт модуляції  вихідного сигнала

    

  3. Однотональна АМ

  У випадку одно тональної АМ:

U_AM(t₀)=U₀cos(ω₀t+Ψ₀)+(U₀M/2)cosА[(ω₀+λ)t+ Ψ₀+Ф₀]+(U₀M/2)cos[(ω₀-λ)t+ Ψ₀--Ф₀].

Спектральний  склад  одно тонального АМ сигнала:

  ω₀-несуча частота;

  ω₀+λ-верхня бокова частота;

  ω₀-λ-нижня бокова частота;

Обвідна U(t) і модулюючий корисний сигнал S(t) зв’язані таким чином:

  U(t)=U₀[1+MS(t)]

  U₀-амплітуда несучого коливання.

  S-коефіцієнт модуляції. 

  Задача

  Амплітуда несучого коливання 4В. Амплітуда модульованого  сигнала 1В. Коефіцієнт модуляції 70℅. Знайти максимальне і мінімальне значення АМ сигнала.

  У випадку однотональної АМ: S_max(t)=1В; S_min(t)=-1В.

  Тоді: U_max(t)=U[1+MS_max(t)]=4(1+0.7*1)=6.8В

     U_min(t)=U*[1-MS_min(t)]=4*(1-0.7)=1.2В 

  Задача

  Амплітуда несучого коливання U₀=4В. Коефіцієнт модуляції М=0.65.Визначити амплітуду верхньої бокової складової.

  Uв.б=U₀M/r=4*0.6/r=1.3В.  
 
 
 
 

  4.Комбінаційні частоти.

  Всілякі частоти гармонійних коливань, що входять у формулу 

   ,

  називають комбінаційними частотами:

  

  де  n1,n2…nm— будь-які цілі числа, позитивні і негативні, включаючи нуль.

  Таким чином, показано, що спектр струму в  безінерційному нелінійному двополюснику, що знаходиться під впливом декількох  гармонійних сигналів з різними  частотами, утворений в загальному випадку нескінченною сукупністю комбінаційних  частот вигляду 

  Комбінаційні  частоти прийнято групувати, об'єднуючи  разом всі частоти, для яких

  

  Число N називають порядком комбінаційної частоти.

  Розглянутий раніше приватний приклад показує, що в спектрі струму, що проходить  через нелінійний елемент з характеристикою, ступеню, що містить, не вище 3-й, при  збудженні системи сумою двох гармонійних сигналів спостерігаються  комбінаційні наступні частоти:

  

  Можна помітити закономірність: доданок із ступенем N у вольт-амперної характеристиці елемента дає комбінаційні складові з граничним порядком, рівним ступеню  цього доданку. При цьому якщо N - парне число, то виникають комбінаційні частоти парних порядків: N, N — 2, N - 4 . аж до N = 0 (постійна складова). Якщо ж N непарний, то порядки комбінаційних частот також непарні: N, N - 2, N - 4 ... аж до N =1 

  Задача

  Нелінійний  двополюсник має кубічну ВАХ  , вхідна напруга є сумою трьох гармонічних коливань

  

  Знайти  частоти всіх комбінаційних складових  струму.

  Оскільки  ступінь ВАХ рівний трьом, спостерігатимуться комбінаційні частоти зN=1іN = 3.

   Комбінаційні  частоти 1-го порядку: ω₁, ω₂, ω₃. 
 
 
 
 
 
 

  Комбінаційні  частоти 3-го порядку: 3ω₁, 3ω₂, 3ω₃

  

  Фактично  необхідно враховувати частоти, що лише розрізняються. Так, виразам 2ω₁+ ω₂ і -2ω₁- 2ω₂ відповідає одна і та ж частота. 
 
 
 
 
 
 

  5.Степенева апроксимація

  Цей прийом апроксимації ґрунтується на розкладанні нелінійної вольт-амперної  характеристики I(U) в ряд Тейлора, що сходиться у деякому околі робочої точки U₀.

  I(u)=a₀+a₁(u-U₀)+a₂(u-U₀)²+…..

  Коефіцієнти а₀, а₁, а₂,…..-дійсні числа. Кількість членів розкладання визначається заданою точністю розрахунків. Степенева апроксимація використана у випадку відносно молих зовнішніх впливів.

  Задача

  Задана  характеристика транзистора Iб=f(Uб-е). Необхідно знайти коефіцієнти а₀, а₁, а₂ для степеневої апроксимації цієї характеристики в околі робочої точки U₀=0.7В.

  

  У якості вузлів апроксимації вибираємо  точки 0.5; 0.7; 0.9 В. Щоб знайти невідомі коефіцієнти, слід розв’язати систему  рівнянь, що враховують вид апроксимації: і_б=а₀+а₁ (U_б-е-U₀)=a₂(U_б-е –U₀)² і величини напруг.

  а₀=а₁+0.04а₂=0.05

  а₂=0.15

  а₀=0.2а₀+0.04а₂=0.5

     В результаті будемо мати:

  а₀=0.15мА

  а₁=1.25мА/В

  а₂=3.125мА/В² 

  6.Кусково-лінійна апроксимація

  Вольт-амперні  характеристики нелінійних елементів, одержані експериментально, необхідно  відтворити у математичній формі, придатній  для розрахунків.

  Кусково-лінійна  апроксимація ґрунтується на наближеній заміні реальної характеристики відрізками прямих ліній з різними нахилами. Як правило застосовується при розрахунках  процесів у нелінійних елементах  при великих амплітудних зовнішніх  впливів.

  Задача

  На  графіку представлена вхідна характеристика транзистора. За допомогою кусково-лінійної апроксимації записати у аналітичному вигляді залежність струму бази від  напруги база-емітер.

  

  Апроксимація  визначається двома параметрами  – напругою початку характеристики Uп і крутизною S, що має розмірність провідності. Математична форма запису така:

  I(u)=  

  Як  видно з рисунка, Un=0.6В. Розглянемо точку і=1.5мА, Uб-е=0.9В. Тоді: 0.5=(0.9-0.6)=0.3S.

  В результаті: S=0.5/0.3=5/3=1.67mA/B.

  Тоді  маємо:

  І(u)=     

  7.Амплітудна модуляція при складному модулюючому сигналі.

    На практиці однотональні АМ  сигнали використовуються рідко.  Набагато більш реальний випадок,  коли модулюючий низькочастотний  сигнал має складний спектральний  склад. Математичною моделлю такого  сигналу може бути, наприклад,  тригонометрична сума

  

  Тут частоти Ω_i утворюють впорядковану зростаючу послідовність Ω₁ < Ω₂<…< Ω_N тоді як амплітуди α_і початкові фази Ф_i, - довільні.

  Підставивши формулу, одержимо

  

<

p align="justify">  Введемо сукупність парціальних (часткових) коефіцієнтів модуляції

  

  і запишемо аналітичний вираз складномодульованого (багатотонального) АМ сигналу у  формі, яка узагальнює вираз:

  

  Спектральне розкладання проводиться так  само, як і для однотонального АМ сигналу:

  

  На  мал., а зображена спектральна  діаграма модулюючого сигналу, Мал. би відтворює спектральну діаграму багатотонального АМ сигналу, що відповідає цьому модулюючому коливанню.

  

  Рис. - Спектральні діаграми:

  а — модулюючого сигналу; б —  АМ - сигналу при багатотональній  модуляції

  Отже, в спектрі складномодульованого АМ-сигналу, крім несучого коливання  містяться групи верхніх і  нижніх бічних коливань. Спектр верхніх  бічних коливань є масштабною копією спектру модулюючого сигналу, зсунутою в область високих частот на величину Спектр нижніх бічних коливань також  повторює спектральну діаграму сигналу  s(t), ио розташовується дзеркально відносно несучої частоти ω₀.

  Із  Зв'язаного виходить важливий висновок: ширина спектру АМ-сигналу рівна  подвоєному значенню щонайвищої частоти  в спектрі модулюючого низькочастотного сигналу. 

  Задача

    Оцінити число мовних радіоканалів, які можна розмістити в діапазоні  частот від 0.5 до 1,5 Мгц (приблизні  межі середньохвильового мовного  діапазону).

  Для задовільного відтворення сигналів радіомовлення необхідно відтворювати звукові частоти від 100 Гц до 12 кГц. Таким чином, смуга частот, що відводиться  одному АМ-каналу, рівна 24 кГц. Щоб уникнути перехресних перешкод між каналами, слід передбачити захисний інтервал завширшки в 1 кГц. Тому допустиме  число каналів 

  N = (1,5-0,5)·10^-6/(25∙10^-3)=40

    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  8. Проходження АМ  сигнала через  одно резонансний  підсилювач 

  Однотональне  АМ коливання

  U_вх(t) = U₀ (1+McosΩt)cosω₀t    (6.1)

  Здійснемо вплив на однокаскадний резонансний  підсилювач з частотним коефіцієнтом передачі

        (6.2)

  де  τ_к – постійна часу контуру       (6.3)

  для спрощення будемо вважати, що резонансна частота ω_рез і частота несучого коливання ω₀ співпадають.

  Вихідна комплексна обвідна запишеться таким  чином

   ,    (6.4)

  де  υ=arctgΩτ_к      (6.5)

  Вихідний  сигнал дорівнює

     (6.6)

          (6.7)

  ξ_Ω – узагальнене розкладання контура підсилювача на частоті верхнього бокового коливання.

  На  виході підсилювача спостерігається  коливання яке є підсиленим за амплітудою і в той же час же час залишається АМ сигналом.

    Відмінність від вхідного сигнала полягає у меншому коефіцієнті модуляції.

      (6.8)

  Обвідна вихідного сигнала затримана  відносно обвідної сигнала на вході  на інтервал

       (6.9) 

  Задача

  Припустимо, що АМ сигнал з параметрами  , , проходить через підсилювач налаштований на несучу частоту . Контур підсилювача має еквівалентну добротність . Знайти величину коефіцієнта модуляції у вихідному сигналі і величину затримки обвідної.

  Знайдемо  за формулою (7) величину узагальненого  розкладання контура підсилювача  на частоті верхнього бокового коливання :

   ;

  Тоді  за формулою (8) знаходимо коефіцієнт модуляції вихідного сигнала:

   ;

  Тобто спостерігається відчутне зниження глибини модуляції. Знайдемо згідно співвідношенню (3) постійного часу контуру:

  

  Знайдемо  згідно формули (5) величину:

   ;

  Тоді  величина затримки обвідної складатиме:

   ; 
 

  9. Взаємний енергетичний  спектр двох сигналів.

  Припустимо, що ми маємо два сигнали  та . Будемо вважати що ці сигнали описуються дійсними  функціями часу.

  Дійсну  функцію  називають взаємним енергетичним спектром.

   ;

  Скалярний добуток сигналів та можна записати таким чином:

   ;

  Спектральна щільність експоненційного відеоімпулсу:

   ;

  U – амплітуда імпульсу ;

  Якщо  то спектр сигнала зсунутого у неї:

   ; 

  Задача

  Припустимо, що ми маємо два експоненційних відеоіпульси однакової форми з одиночною  амплітудою, що поступають один за одним  з інтервалом часу . Записати аналітичний вираз для взаємного енергетичного спектра сигналів і розрахувати його максимальне значення при заданих і .

   ;

    Визначимо спектральні щільності  імпульсу: 

   ;

  Спектральні щільності імпульсу можна записати таким чином: 

   ;

   ;

  Тоді  буде рівною:

   ;

  Знайдемо  чому дорівнює добуток:

   Тоді взаємний енергетичний спектр враховуючи співвідношення: 

   :

   ; (1)

  Якщо  зафіксувати параметри  , що визначає формула сигнала то частинні властивості взаємного енергетичного спектра буде увс’якому залежати від часового зсуву між сигналами. На рис.1 зображенні два характерних графіка функції :   

  

                                                                                   
 
 

  

                                                                                         

  

                       Рис.1.а.  Рис.1.б.

                   при             при

  Рис.1 взаємний енергетичний спектр двох експоненційних відеоімпульсів.

  Основний  інтерес викликає випадок коли добуток  імпульсів дуже перекриванних у часі.

  Формула (1) і графік 1.б мають виражений  низькочастотний характер. Звідки випливає, що для того, щоб зменшити величину скалярного добутку таких сигналів і зробити так, що їх було легше  розрізняти, слід скористатися фільтром верхніх частот (ФВЧ) який подавляє усі коливання з частотами  меншими за деякої граничної частоти  .

  Фронт імпульса який швидко змінюється, утворюється  за рахунок додавання високо частотних  компонентів спектра які без  перешкод переходять на вихід ФВЧ. У  той час при фільтрації низькочастотних  складових спектра тривалість імпульса на виході буде суттєво скорочена. Як наслідок цього ефект перекриття імпульсів може бути доведений до будь-якої прийнятної малої величини, так що імпульси не виході ФВЧ виявляються  досить близькими до ортогональних.       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  10. Зв'язок між енергетичним  спектром сигнала,  та його автокориляційною функцією.

  Величина  має назву спектральної щільності енергії сигнала або енергетичного спектра:

        (1)

    Автокориляційна функція: 

        (2)

  Квадрат модуля спектральної щільності являє  собою енергетичний спектр сигнала, отже енергетичний спектр та функція  автокореляції зв’язані перетворенням  Фур’є :

      (3)

  Задача  знайти функцію автокореляції сигнала  з рівномірним та обмеженим за частотою енергетичним спектром   

    
 
 
 

  Припустимо, що сигнал характеризується енергетичним спектром виду

   ;

  Таким чином автокориляційна функція  розглянутого сигнала має пелюстковий  вигляд    
 

    
 
 
 
 
 

  Автокориляційну функцію можемо  знайти  за формулою (2)

   ;

  Часто вводять зручний числовий параметр інтервал кореляції  ,який являє собою оцінку ширини основної пелюстки авто кореляційної функції.

  Легко бачити, що у розглянутому випадку  величина повинна знаходитись з співвідношення .Звідки випливає, що 

   ;

   - виявляється меншим, чим вище  встановлена гранична частота  енергетичного спектра сигнала.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  11. Діодний детектор.

  

  Вольт-амперна  характеристика діода має кусково-лінійний вигляд з нульовою напругою початку:

  

  На  вході:  Uвх(t)=UмахCOSω₀t

  Для нормального функціонування схеми  необхідно, щоб Rн значно переважало опір діода у прямому напряку, тобто  S*Rн>>1.

  Коефіцієнт  детектування в даній схемі:

  Кут відсічки знаходиться співвідношенням:

  -U₀=I₀*R_н=SU_maxγ₀(U)R_н.

  Напруга U_вих, прикладена до діода у зворотній полярності і служить для нього напругою зміщення U₀=-U_вих.

  При S*R_н>>1, Кут відсічки близький до нуля, тоді розрахункове співвідношення:

  К_дет=сos . 

  Задача

  У схемі діодного детектора R_н=18кОм, крутизна характеристики діода S=10мА/В. Визначити коефіцієнт детектування.

  Добуток SR=10*18=180, тобто SR_н>>1.

  Тоді  коефіцієнт детектування дорівнює:

  К_дет=сos = =180.