Частотные распределения и показатели вариации в статистическом изучении экономических явлений

ВВЕДЕНИЕ. 

     Четкая  организация внутрифирменного управления позволила развитым капиталистическим странам завоевать сильные позиции на внутренних и внешних рынках.

     Предприятие является достаточно сложной системой,  соединяющей людские и материальные ресурсы. Эта сложная система требует эффективного управления, что невозможно без сбора и всестороннего анализа информации о разнообразных явлениях и процессах, протекающих в предприятии. Не владея ситуацией на том или ином рынке, информацией о конкурентах, невозможно, установить цель предприятия и разработать стратегию его достижения. Для разработки стратегии предприятия важно знать численность и состав населения в том или ином регионе, распределение его по уровню доходов; экономический и научно-технический потенциал региона и страны в целом. Именно поэтому почти на каждом этапе своей деятельности  менеджеры фирм обращаются к статистике.

     Управление  предприятием, обоснование эффективности  принимаемых решений и оценка эффективности деятельности требуют измерения и сравнения. Необходимо сравнить достигнутые показатели с запланированными и показателями предыдущих лет. Но статистические методы не ограничиваются простым сопоставлением показателей за различные периоды. Важно выявить факторы, повлиявшие на изменение показателей, исследовать их фактическую повторяемость и определить вероятность повторения тех или иных явлений и результатов. Например, контроль за качеством позволяет установить вероятность появления дефектных изделий.

     Необходимость повышения качества в условиях рыночной экономики обусловлена наличием конкурентной среды. Только качество может сегодня привлечь потребителя. Многие предприятия - производители имеют системы качества, соответствующие международным стандартам. В современной России все большее внимание уделяется качеству, так как только качественная продукция открывает дорогу на западные рынки. Обеспечение качества систем управления требует широкого применения статистических методов. Статистические методы, позволяющие установить закономерности и причины изменений явлений и процессов, имеющих место на фирме, являются мощным инструментом обоснования принимаемых решений и оценки их эффективности.

     Управление  фирмой означает планирование, анализ, контроль. Для решения всех этих задач требуется внешняя и внутренняя статистика. Нередко приходится прибегать к получению информации путем организации специальных обследований (например, изучение требований потенциальных потребителей к продукции фирмы и т. п.)

     Методы  экономико-статистического анализа  носят универсальный характер и  не зависят от отраслевой принадлежности предприятий, позволяют менеджеру анализировать положение дел на фирме, разрабатывать варианты управленческих решений, выбирать наиболее эффективные, оценивать влияние этих решений на результаты деятельности.

     Актуальность  исследования заключается в том, что одним из значимых факторов успешного  развития российской экономики должно стать эффективное и грамотное применение частотных распределений и показателей вариации в статистическом изучении экономических явлений.

     Цель  – изучить частотные распределения и показатели вариации и узнать их роль при статистическом изучении экономических явлений. 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Характеристика вариационных рядов и их виды. 

     Показатель  численности групп представлен  либо частотой (количеством единиц в каждой группе), либо частотностью (удельным весом каждой группы).

     Среди простых группировок особо выделяют ряды распределения.

     Ряд распределения – это группировка, в которой для характеристики групп (упорядоченно расположенных  по значению признака) применяется  один показатель – численность группы. Другими словами, это ряд чисел, показывающий, как распределяются единицы  некоторой совокупности по изучаемому признаку.

     Ряды  распределения, построенные по количественному  признаку, называются вариационными  рядами. Примером вариационного ряда распределения могут служит распределения населения по возрасту, рабочих – по стажу работы, заработной плате и т.д.

     Вариационные  ряды распределения состоят их двух элементов вариантов и частот. Вариантами называются числовые значения количественного признака в ряду распределения, они могут быть положительными и отрицательными, абсолютными и относительными.

     Частоты – это числа, показывающие, как  часто встречаются те или  варианты в данной совокупности. Сумма всех частот называется объемом совокупности и показывает число единиц совокупности, обозначается N.

     Частости – это частоты, выраженные в виде относительных величин: долях единицы или в процентах, рассчитываются как отношение частоты к объему совокупности. Сумма частостей всегда равна единице или 100 %. Замена частот частостями позволяет сопоставлять вариационные ряды с разным числом наблюдений.

       Для анализа совокупности вариационный  ряд дополняют такими элементами, как накопленная частота, накопленная  частость и плотность распределения. Вариационные ряды в зависимости от характера вариации подразделяются на дискретные и интервальные.

     Оценки  колеблемости отдельных значений от средней называют показателями вариации.

       Термин “вариация” происходит  от латинского слова variation – изменение, колеблемость, различие. Однако не всякие различия принято называть вариацией. Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величин исследуемого признака в пределах качественно однородной совокупности, которые обусловлены взаимосвязанным (перекрещивающимся) воздействием различных факторов. Отсюда различают случайную и систематическую вариацию признака.

       В статистических исследованиях  особый интерес представляет  анализ систематической вариации, т.к. изучая силу и характер  вариации в исследуемой совокупности  можно оценить насколько однородной  является данная совокупность  в количественном, а иногда и  качественном отношении, а следовательно насколько характерной является исчисленная средняя величина. Поэтому средние характеристики необходимо дополнять показателями, измеряющими отклонения от средних.

       Степень близости индивидуальных  значений признака (вариант) к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных статистических показателей. К ним относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, показатели степени вариации с порядковыми (ранговыми) характеристиками распределения, показатели относительного рассеивания.

     Для всех показателей вариации общим  является следующие:

       • если показатель вариации  близко к нулю (т.е. индивидуальные  значения признака мало отличаются  друг от друга), то средняя арифметическая  будет достаточно показательной  (надежной) характеристикой данной  совокупности;

       • если же ряд распределения  характеризуется значительным рассеиванием (величина показателя вариации  сильно отличается от нуля, является  большой), то средняя арифметическая  будет ненадежной и ее практическое  применение будет ограничено. 

     Вариационный  ряд по своей конструкции имеет 2 характеристики:

     1) Значения варьирующего признака — варианты x_i, i = 1,2,…,m;

     2) Число случаев вариантов: абсолютные — частоты n_i (f_i), относительные — частости w_i (относительные доли частот в общей сумме частот).

     Ряд распределения построенный по количественному признаку называют вариационным. Построить вариационный ряд - значит упорядочить количественное распределение единиц совокупности по значениям признака, а затем подсчитать числа единиц совокупности с этими значениями (построить групповую таблицу).

     Выделяют  три формы вариационного ряда: ранжированный ряд, дискретный ряд  и интервальный ряд.

     Ранжированный ряд - это распределение отдельных единиц совокупности в порядке возрастания или убывания исследуемого признака. Ранжирование позволяет легко разделить количественные данные по группам, сразу обнаружить наименьшее и наибольшее значения признака, выделить значения, которые чаще всего повторяются.

     Другие  формы вариационного ряда - групповые  таблицы, составленные по характеру  вариации значений изучаемого признака. По характеру вариации различают  дискретные (прерывные) и непрерывные  признаки.

     Дискретный ряд - это такой вариационный ряд, в основу построения которого положены признаки с прерывным изменением (дискретные признаки). К последним можно отнести тарифный разряд, количество детей в семье, число работников на предприятии и т.д. Эти признаки могут принимать только конечное число определенных значений.

     Дискретный  вариационный ряд представляет таблицу, которая состоит из двух граф. В  первой графе указывается конкретное значение признака, а во второй - число  единиц совокупности с определенным значением признака.

     Общий вид дискретного вариационного ряда показан в таблице 1.1. 

     Таблица 1.1

     Если  признак имеет непрерывное изменение (размер дохода, стаж работы, стоимость  основных фондов предприятия и т.д., которые в определенных границах могут принимать любые значения), то для этого признака нужно строить интервальный вариационный ряд.

     Групповая таблица здесь также имеет  две графы. В первой указывается  значение признака в интервале «от - до» (варианты), во второй - число единиц, входящих в интервал (частота).

Интервальный ряд можно представить таблицей таблице 1.2:

     Таблица 1.2

     Частота (частота повторения) - число повторений отдельного варианта значений признака, обозначается f_i , а сумма частот, равная объему исследуемой совокупности, обозначается

     где k - число вариантов значений признака

     Очень часто таблица дополняется графой, в которой подсчитываются накопленные  частоты S, которые показывают, какое  количество единиц совокупности имеет  значение признака не большее, чем данное значение.

     Частоты ряда f могут заменяться частостями w, выраженными в относительных числах (долях или процентах). Они представляют собой отношения частот каждого интервала к их общей сумме, т.е.:

         (1.1)

     При построении вариационного ряда с  интервальными значениями прежде всего необходимо установить величину интервала i, которая определяется как отношение размаха вариации R к числу групп m:

       (1.2)

     где R = x_max - x_min ; m = 1 + 3,322 lgn (формула Стерджесса); n - общее число единиц совокупности.

 Для графического представления атрибутивных рядов распределения используются различные диаграммы: столбиковые, линейные, круговые, фигурные, секторные  и т. д.

 Для дискретных вариационных рядов графиком является полигон распределения.

 Полигоном распределения называется ломаная линия, соединяющая точки с координатами  или  где   - дискретное значение признака,  - частота,   - частость.

 График  строится в принятом масштабе. Вид  полигона распределения приведен на рис. 1.1.

     Для изображения интервальных вариационных рядов применяют гистограммы, представляющие собой ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников, основания которых равны ширине интервала   , а высота - частоте   (частости  ) равноинтервального ряда или плотности распределения неравноинтервального   Построение диаграммы аналогично построению столбиковой диаграммы. Общий вид гистограммы приведен на рис. 1.2.

     Для графического представления вариационных рядов может использоваться также кумулята – ломаная линия, составленная по накопленным частотам (частостям). Накопленные частоты наносятся в виде ординат; соединяя вершины отдельных ординат отрезками прямой, получаем ломаную линию, имеющую неубывающий вид. Координатами точек на графике для дискретного ряда являются  для интервального ряда -  Начальная точка графика имеет координаты  самая высокая точка -  Общий вид кумуляты приведен на рис.1.3. Использование кумуляты особенно удобно при проведении сравнений вариационных рядов. 
 
 

     2. Показатели вариации в анализе взаимосвязей социально-экономических явлений. 

     2.1. Показатели центра распределения в статистическом анализе.

     Для определения средних или наиболее типичных значений совокупности используются показатели центра распределения. Основные из них — математическое ожидание, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, степенные средние, взвешенные средние, центр сгиба, медиана, мода.

     Расчёт  средних величин производится разными  способами, и, соответственно, применение их тоже зависит от исследуемой совокупности.

     У симметричного одномерного унимодального  распределения математическое ожидание, медиана и мода одинаковы. 

       При проведении эмпирического исследования ряда распределения рассчитываются и анализируются  следующие группы показателей:

     • показатели положения центра распределения;

     • показатели степени его однородности;

     • показатели формы распределения.

     Показатели  положения центра распределения.   К ним относятся степенная средняя    в виде средней арифметической и структурные средние – мода и медиана.

     Медиана  ( Me ) -  значение признака у статистической единицы, стоящей в середине ранжированного ряда и делящей совокупность на две равные по численности части.

     Мода  ( Mo )  -  наиболее часто встречаемое значение признак в совокупности. Мода широко используется в статистической практике при изучении  покупательского спроса, регистрации цен и др. 

     Медиану используют как наиболее надежный показатель типичного значения неоднородной совокупности,  так как она нечувствительна    к крайним значениям признака,  которые могут значительно    отличаться от основного массива его значений. 

     2.2. Характеристика показателей вариации (колеблемости) признака в сравнительном анализе.

     Вариацию можно определить как количественное различие значений одного и того же признака у отдельных единиц совокупности. Термин «вариация» имеет латинское происхождение - variatio, что означает различие, изменение, колеблемость. Изучение вариации в статистической практике позволяет установить зависимость между изменением, которое происходит в исследуемом признаке, и теми факторами, которые вызывают данное изменение. Для измерения вариации признака используют как абсолютные, так и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсию.

     К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение и др.

     Размах  вариации R. Это самый доступный  по простоте расчета абсолютный показатель, который определяется как разность между самым большим и самым  малым значениями признака у единиц данной совокупности:

       (2.1)

     Размах вариации (размах колебаний) - важный показатель колеблемости признака, но он дает возможность увидеть только крайние отклонения, что ограничивает область его применения. Для более точной характеристики вариации признака на основе учета его колеблемости используются другие показатели.

     Среднее линейное отклонение d, которое вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности. Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений от средней. Так как сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, то все отклонения берутся по модулю.

     Формула среднего линейного отклонения (простая)

       (2.2)

     Формула среднего линейного отклонения (взвешенная)

       (2.3)

     При использовании показателя среднего линейного отклонения возникают  определенные неудобства, связанные  с тем, что приходится иметь дело не только с положительными, но и  с отрицательными величинами, что  побудило искать другие способы оценки вариации, чтобы иметь дело только с положительными величинами. Таким  способом стало возведение всех отклонений во вторую степень. Обобщающие показатели, найденные с использованием вторых степеней отклонений, получили очень  широкое распространение. К таким  показателям относятся среднее квадратическое отклонение  и среднее квадратическое отклонение в квадрате  , которое называют дисперсией.

     Средняя квадратическая простая

       (2.4)

     Средняя квадратическая взвешенная

       (2.5)

     Дисперсия есть не что иное, как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины.

     Формулы дисперсии взвешенной   и простой  :

       (2.6)

     Расчет  дисперсии можно упростить. Для  этого используется способ отсчета  от условного нуля (способ моментов), если имеют место равные интервалы  в вариационном ряду.

     Кроме показателей вариации, выраженных в  абсолютных величинах, в статистическом исследовании используются показатели вариации (V), выраженные в относительных  величинах, особенно для целей сравнения  колеблемости различных признаков одной и той же совокупности или для сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях.

     Данные  показатели рассчитываются как отношение  размаха вариации к средней величине признака (коэффициент осцилляции), отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака (линейный коэффициент вариации), отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака (коэффициент вариации) и, как правило, выражаются в процентах.

     Формулы расчета относительных показателей  вариации:

       (2.7)

     где VR - коэффициент осцилляции;   - линейный коэффициент вариации;   - коэффициент вариации.

     Из  приведенных формул видно, что чем  больше коэффициент V приближен к  нулю, тем меньше вариация значений признака.

     В статистической практике наиболее часто  применяется коэффициент вариации. Он используется не только для сравнительной  оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент  вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

     2.3. Особенности показателей формы и кривых статистического распределения.

      
           Основной целью анализа вариационных рядов является выявление закономерности распределения, исключая при этом влияние случайных для данного распределения факторов. Этого можно достичь, если увеличивать объем исследуемой совокупности и одновременно уменьшать интервал ряда. При попытке изображения этих данных графически мы получим некоторую плавную кривую линию, которая для полигона частот будет являться некоторым пределом. Эту линию называют кривой распределения.

     Иными словами, кривая распределения есть графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, которое функционально связано с изменением вариант. Кривая распределения отражает закономерность изменения частот при отсутствии случайных факторов. Графическое изображение облегчает анализ рядов распределения .

     Известно  достаточно много форм кривых распределения, по которым может выравниваться  вариационный ряд, но в практике статистических исследований наиболее часто используются такие формы, как нормальное распределение  и распределение Пуассона.

     Нормальное  распределение зависит от двух параметров: средней арифметической   и среднего квадратического отклонения  . Его кривая выражается уравнением

       (2.8)

     где у - ордината кривой нормального распределения;   - стандартизованные отклонения; е и π - математические постоянные; x - варианты вариационного ряда;   - их средняя величина;  - cреднее квадратическое отклонение.

     Если  нужно получить теоретические частоты  f' при выравнивании вариационного ряда по кривой нормального распределения, то можно воспользоваться формулой

       (2.9)

     где   - сумма всех эмпирических частот вариационного ряда; h - величина интервала в группах;   - cреднее квадратическое отклонение;   - нормированное отклонение вариантов от средней арифметической; все остальные величины легко вычисляются по специальным таблицам.

При помощи этой формулы мы получаем теоретическое (вероятностное) распределение, заменяя им эмпирическое (фактическое) распределение, по характеру они не должны отличаться друг от друга.

     Тем не менее в ряде случаев, если вариационный ряд представляет собой распределение по дискретному признаку, где при увеличении значений признака х частоты начинают резко уменьшаться, а средняя арифметическая, в свою очередь, равна или близка по значению к дисперсии ( ), такой ряд выравнивается по кривой Пуассона.

     Кривую Пуассона можно выразить отношением

       (2.10)

     где Px - вероятность наступления отдельных значений х;   - средняя арифметическая ряда.

     При выравнивании эмпирических данных теоретические  частоты можно определить по формуле

       (2.11)

     где f' - теоретические частоты; N - общее число единиц ряда.

     Сравнивая полученные величины теоретических  частот f' c эмпирическими (фактическими) частотами f, убеждаемся, что их расхождения могут быть весьма невелики.

     Объективная характеристика соответствия теоретических  и эмпирических частот может быть получена при помощи специальных  статистических показателей, которые  называют критериями согласия.

     Для оценки близости эмпирических и теоретических  частот применяются критерий согласия Пирсона, критерий согласия Романовского, критерий согласия Колмогорова.

     Наиболее  распространенным является критерий согласия К. Пирсона  , который можно представить как сумму отношений квадратов расхождений между f' и f к теоретическим частотам:

       (2.12)

     Вычисленное значение критерия   необходимо сравнить с табличным (критическим) значением  . Табличное значение определяется по специальной таблице, оно зависит от принятой вероятности Р и числа степеней свободы k (при этом k = m - 3, где m - число групп в ряду распределения для нормального распределения). При расчете критерия согласия Пирсона должно соблюдаться следующее условие: достаточно большим должно быть число наблюдений (n   50), при этом если в некоторых интервалах теоретические частоты < 5, то интервалы объединяют для условия > 5.

     Если  , то расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами распределения могут быть случайными и предположение о близости эмпирического распределения к нормальному не может быть отвергнуто.

     В том случае, если отсутствуют таблицы  для оценки случайности расхождения  теоретических и эмпирических частот, можно использовать критерий согласия В.И. Романовского КРом , который, используя величину  , предложил оценивать близость эмпирического распределения кривой нормального распределения при помощи отношения

       (2.13)

     где m - число групп; k = (m - 3 ) - число степеней свободы при исчислении частот нормального распределения.