Четырехмерный вектор тока
Содержание.
1.Введение……………………………………………………
Физический объект исследований в теории поля (микроскопической электродинамике)
2. Плотность зарядов.
Четырехмерный вектор
2.1. Основные свойства одномерной дельта-функции Дирака………………………….5
2.2 Свойства трехмерной δ – функции……………………………………………………6
2.3 Определение плотности
заряда с помощью дельта-функции……………………….7
3. Четырехмерный вектор плотности тока………………………………………………..8
4. Четырехмерный
вектор тока…………………………………………………
5. Уравнение непрерывности……………………………………………
6. Заключение……………………………………………………
7. Список литературы…………………………………
Введение.
Физическим объектом исследований в микроскопической электродинамике является физическая система, состоящая из материальных тел и электромагнитных полей. Аналог таких систем исследуется в теоретической механике. Отличие от теоретической механики заключается в том, что в электродинамике каждое тело кроме массы m обладает еще и электрическим зарядом e . При этом полагается, что заряд и масса – независимые характеристики тела. Наличие заряда приводит к появлению электромагнитного поля, которое определяет взаимодействие заряда с другими электрическими зарядами.
Введем основные понятия которые будут использоваться в данной работе.
Плотность заряда-это количество заряда, приходящееся на единицу длины, площади или объ
Дельта-функция Дирака- обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенных или приложенных в одной точке.
Плотность зарядов. Четырехмерный вектор плотности тока.
Проблемы, возникающие при попытке описать заряженную материальную точку в терминах плотности заряда. Понятие плотности заряда.
Все имеющиеся в природе заряды можно считать точечными, т. к. элементарные частицы, по сути, являются точечными зарядами, а всякую сложную систему зарядов можно рассматривать как совокупность элемен- тарных (точечных) зарядов. Рассмотрим объем V , в котором заряд Q распределен непрерывно. Введем плотность заряда ρ таким образом, что:
Q= . (1)
Заряд элементарного объема dQ= pdV . Тогда плотность заряда определим так:
p = = . (2)
В общем случае плотность заряда есть функция координат и времени:
p=p (,t). (3)
В действительности заряды являются точечными. Материальная точка не имеет объема, т. е. Δ →V 0, поэтому плотность заряда ρ , определенная согласно (2), будет стремиться к бесконечности.
Это происходит потому, что мы пытаемся определить плотность дискретного заряда, используя понятие плотности заряда, введенное для непрерывного распределения заряда. Для точечного заряда плотность заряда равна нулю везде, кроме точки, где находится сам заряд, в этой точке ρ → ∞. Следовательно, ρ для точечного заряда можно записать с помощью дельта-функции, которая позволит связать дискретное распределение зарядов с непрерывным.
Основные свойства одномерной дельта-функции Дирака.
1) По определению:
δ (x)= (1.1)
δ - функция интегрируема в бесконечных пределах, т. е.
(1.2)
Это дает возможность представить модель δ - функции в виде прямоугольника, основание которого стремится к нулю при равенстве единице его площади.
(1.3)
2) Условие нормировки:
(1.4)
3)
(1.5)
4) δ - функция является четной функцией
(1.6)
Свойства трехмерной δ – функции.
Введем в рассмотрение радиус-вектор = и произвольный вектор
=
1) Трехмерную δ - функцию будем определять так:
)=;
=
2) Условие нормировки:
-)dV=(z-za)dxdydz = (1.7)
3) δ - функция является четной функцией.
=).
Определение плотности заряда с помощью дельта-функции.
Рассмотрим объем V , в котором сосредоточены точечные заряди ei , характеризующиеся радиус-векторами , – радиус-вектор точки наблюдения – точки, в которой определяем плотность заряда. Введем плотность заряда, воспользовавшись понятием δ – функции:
p(r)=-). (1.8)
Для введенной таким образом плотности зарядов выполняется условие:
p( (1.9)
Найдем полный заряд Q объема V.
Q=-)dV=-)dV=. (1.10)
Здесь мы воспользовались свойством дельта-функции из уравнения (1.7), поскольку
.
Выясним, является ли плотность заряда инвариантом относительно преобразований Лоренца. Заряд объема dV определяется таким образом:
dQ=pdV (1.11)
Заряд dQ является инвариантом, а элементарный объем dV – не инвариант (что следует из преобразований Лоренца). Следовательно, ρ не является инвариантом.
Четырехмерный вектор плотности тока, его составляющие
Рассмотрим в качестве dV сколь угодно малый объем. dQ – заряд dV . В классической физике плотность тока вводилась таким образом:
= p. (2.1)
Где – скорость движения заряженных частиц.
Домножим (1.11) на dxμ
dQx (2.2)
Величина, стоящая слева, является 4-вектором. Значит и справа должен стоять 4-вектор. dVdt является скаляром. Введем вектор плотности тока так :
J=p ; (2.3)
По месту расположения плотности тока в уравнении (2.2) jμ является 4- вектором.
Четырехмерный вектор тока.
Вместо того чтобы рассматривать заряды как точечные, в целях математического удобства часто рассматривают заряд как распределенный в пространстве непрерывным образом. Тогда можно ввести плотность заряда ρ так, что ρdV есть заряд, находящийся в объеме dV; ρ есть, вообще говоря, функция от координат и времени. Интеграл от ρ по некоторому объему есть заряд, находящийся в этом объеме.
При этом надо помнить, что в действительности заряды являются точечными, так что плотность ρ равна нулю везде, кроме тех точек, где находятся точечные заряды, а интеграл ∫ ρdV должен быть равен сумме тех зарядов, которые находятся в данном объеме. Поэтому ρ можно написать с помощью δ-функций в следующем виде:
p=. (3.1)
где сумма берется по всем имеющимся зарядам, а — радиус-вектор заряда ei
δ-функция определяется следующим образом: δ(x)=0 при всех не равных нулю значениях x; при x=0 δ(0)=, причем так, что интеграл:
Из этого определения вытекают следующие свойства: если f(x) — любая непрерывная функция, то:
В частности:
(пределы интегрирования, разумеется, не обязательно должны быть ± ; областью интегрирования может быть любая область, заключающая ту точку, в которой δ-функция не исчезает).
Смысл следующих равенств заключается в том, что их левая и правая части дают одинаковые результаты, если их применять в качестве множителей под знаком интегрирования:
Последнее равенство является частным случаем более общего соотношения:
где φ(x) — однозначная функция (обратная ей функция не обязана быть однозначной), а ai — корни уравнения φ(x)=0.
Подобно
тому как δ(x) определена
для одной переменной x,
можно ввести трехмерную δ-функцию δ(
Заряд частицы есть, по самому своему определению, величина инвариантная, т. е. не зависящая от выбора системы отсчета. Напротив, плотность ρ не есть инвариант, — инвариантом является лишь произведение ρdV.
Умножим обе части равенства de=ρdV на dxi:
ded.
Слева стоит 4-вектор (так как de есть скаляр, а dxi — 4-вектор). Значит, и справа должен стоять 4-вектор. Но dVdt есть скаляр, а потому ρdxi/dt есть 4-вектор. Этот вектор (обозначим его через ji) носит название 4-вектора плотности тока:
. (3.2)
Его три пространственные компоненты образуют трехмерную плотность тока:
=p. (3.3)
есть скорость заряда в данной точке. Временная же составляющая 4-вектора (28.2) есть cρ. Таким образом,
=(cp). (3.4)
Полный заряд, находящийся во всем пространстве, равен интегралу ∫ρdV по всему пространству. Можно написать этот интеграл в четырехмерном виде:
.(3.5)
где интегрирование производится по всей четырехмерной гиперплоскости, перпендикулярной к оси x0 (очевидно, что это и означает интегрирование по всему трехмерному пространству). Вообще интеграл взятый по любой гиперповерхности, есть сумма зарядов, мировые линии которых пересекают эту гиперповерхность.
Введем 4-вектор тока в выражение для действия и преобразуем второй член в этом выражении. Введя вместо точечных зарядов е непрерывное распределение с плотностью ρ, напишем этот член в виде
dV.
заменив сумму по зарядам интегралом по всему объему. Переписав его как:
-
мы видим, что этот член равен:
-.
Таким образом, действие S принимает вид
S= -. (3.6)
Уравнение непрерывности
– это математическая формулировка фундаментального
закона физики – закона сохранения заряда.
Этот закон более фундаментален, чем классическая
электродинамика, описанию которой в основном
посвящен этот курс лекций. Нарушение
закона сохранения заряда не наблюдалось
никогда. Даже в квантовой электродинамике
закон сохранения заряда выполняется.
Разумеется, уравнения, используемые нами
в классической электродинамике, должны
не противоречить этому фундаментальному
закону. Ниже мы покажем, что формальное
выражение закона сохранения заряда, то
есть уравнение непрерывности, естественным
образом вытекает из уравнений Максвелла.
Однако из этого совершенно не следует
подчиненное значение этого закона к уравнениям
Максвелла. Если бы эти уравнения противоречили
уравнениям Максвелла, то эти уравнения
следовало бы выбросить в первую очередь.
Сам же по себе …
закон сохранения заряда
формулируется очень просто: заряд из
ничего не возникает и не исчезает. Уменьшение
(увеличение) заряда в некоторой области
означает, что в какой-то другой области
заряд увеличился (уменьшился).
Изменение со временем заряда, находящегося в некотором объеме, дается производной:
(4.1)
С другой стороны, изменение за единицу времени определяется количеством заряда, выходящего за это время из данного объема наружу, или, наоборот, входящего внутрь его. Количество заряда, проходящего за единицу времени через элемент df поверхности, ограничивающей наш объем, равно ρv df, где v есть скорость заряда в той точке пространства, где находится элемент df. Вектор df направлен, как это всегда принимается, по внешней нормали к поверхности, т. е. по нормали, направленной наружу от рассматриваемого объема. Поэтому ρv df положительно, если заряд выходит из нашего объема, и отрицательно, если заряд входит в него. Полное количество заряда, выходящего в единицу времени из данного объема, есть, следовательно, df, где интеграл распространен по всей замкнутой поверхности, ограничивающей этот объем.
Из сравнения обоих полученных выражений находим:
. (4.2)
Справа поставлен знак минус, так как левая часть положительна, если полный заряд в данном объеме увеличивается. Уравнение (4.2), выражающее собой закон сохранения заряда, есть так называемое уравнение непрерывности, написанное в интегральном виде. Замечая, что ρv есть плотность тока, можно переписать (4.2) в виде:
d. (4.3)
Напишем это же уравнение в дифференциальном виде. Применив к правой части (4.3) теорему Гаусса
d=dV. (4.4)
Находим
+dV=0. (4.5)
Поскольку это равенство должно иметь место при интегрировании по любому объему, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю:
div+. (4.6)
Это и есть уравнение непрерывности в дифференциальном виде.
Легко убедиться в том, что выражение (3.1) для р в виде δ-функций автоматически удовлетворяет уравнению (4.6). Для простоты предположим, что имеется всего лишь один заряд, так что
p=e().
Тогда ток
=e
где — скорость заряда. Найдем производную ∂ρ/∂t. При движении заряда меняются его координаты, т. е. меняется r0. Поэтому
.
Но ∂/∂t есть не что иное, как скорость v заряда. Далее, поскольку ρ есть функция от − ,
= - .
Следовательно,
= grad p= .
(скорость заряда не зависит, конечно, от ). Таким образом, мы приходим к уравнению (29.3).
В четырехмерной форме уравнение непрерывности (4.6) выражается равенством нулю 4-дивергенции 4-вектора тока:
. (4.7)
Выше мы видели, что полный заряд, находящийся во всем пространстве, может быть написан в виде
.
где интегрирование производится по гиперплоскости x0 = const. В другой момент времени полный заряд изобразится таким же интегралом, взятым по другой гиперплоскости, перпендикулярной к оси x0. Легко проверить, что уравнение (4.7) действительно приводит к закону сохранения заряда, т. е. к тому, что интеграл jidSi одинаков, по какой бы гиперплоскости x0=const мы ни интегрировали. Разность между интегралами jidSi, взятыми по двум таким гиперплоскостям, можно написать в виде jidSi, где интеграл берется по всей замкнутой гиперповерхности, охватывающей 4-объем между двумя рассматриваемыми гиперплоскостями (этот интеграл отличается от искомой разности интегралом по бесконечно удаленной «боковой» гиперповерхности, который, однако, исчезает, так как на бесконечности нетзарядов). С помощью теоремы Гаусса можно, преобразовав этот интеграл в интеграл по 4-объему между двумя гиперплоскостями, убедиться, что
(4.8)
что и требовалось доказать.
Приведенное доказательство остается, очевидно, в силе и для двух интегралов jidSi, в которых интегрирование производится по любым двум бесконечным гиперповерхностям (а не только по гиперплоскостям x0=const), включающим в себя все (трехмерное) пространство. Отсюда видно, что интеграл jidSi действительно имеет одно и то же значение (равное полному заряду в пространстве), по какой бы такой гиперповерхности ни производилось интегрирование.
Мы уже запоминали о тесной связи между калибровочной инвариантностью уравнений электродинамики и законом сохранения заряда. Продемонстрируем ее еще раз на выражении действия в виде (3.6). При замене Ai на Ai−∂f/∂xi ко второму члену в (3.6) добавится интеграл
Именно сохранение заряда, выражаемое уравнением непрерывности (4.7), позволяет написать подынтегральное выражение в виде 4-дивергенции (fji) после чего, согласно теореме Гаусса, интеграл по 4-объему преобразуется в интеграл по граничным гиперповерхностям; при варьировании действия эти интегралы выпадают и, таким образом, не отражаются на уравнениях движения.
Заключение.
Таким образом мы выяснили что:
Четырехерный вектор тока в специальной и общей тео
).
Где:
c-скорость света;
p-скалярная плотность заряда;
=p - 3-вектор плотности тока;
-3- вектор скорости заряда.
В специальной теории относительности
локальное сохранение электрического
заряда выражается уравнением непрерывности, которое означает равенство
нулю инвариантной дивергенции 4-
Список литературы.
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Краткий курс теоретической физики. Кн.1: Механика. Электродинамика. – М.: Наука, 1969. – 271 с.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10 т. Т.2. Тео- рия поля. – М.: Наука, 1988. – 512 с.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.Теоретическая физика. В 10 т. Т.1. Ме- ханика. – М.: Наука, 2002. – 224 с.
4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10 т. Т.8. Элек- тродинамика сплошных сред. – М.: Наука, 1982. – 620 с.
5. Бредов М. М., Румянцев В. В., Топтыгин И. Н. Классическая электро- динамика. – М.: Наука, 1985. – 399 с.
6. Джексон Дж. Классическая электродинамика. – М.: Мир, 1965. – 702 с.
7. Тамм И. Е. Основы теории электричества. – М.: Наука, 1989. – 504 с.
8. Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. Сборник задач по электродинами- ке. – М.: Наука, 1970. – 503 с.
9. Дирак П. А. М. Основы квантовой механики / Пер. с англ. — М., 193.