Четырехполюсник

Введение

     Целью данной курсовой работы является проектирование и изготовление сменного модуля для  проведения лабораторных работ по изучению входных и передаточных характеристик разветвленной резистивной электрической цепи.

     На  практике часто встречаются соединения элементов, которые нельзя свести только к последовательному или параллельному соединению. Примером подобного соединения являются соединения многолучевой звездой и многоугольником. Наиболее часто встречаются случаи трёхлучевой звезды и треугольника. В данной работе четырехполюсник реализован Т-образной схемой с ключом для переключения между резисторами.

     Предложена  лабораторная работа на исследование разветвленной электрической цепи. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1 Теория четырехполюсника

1.1 Общие сведения

     При анализе электрических цепей  в задачах исследования взаимосвязи  между переменными (токами, напряжениями, мощностями и т.п.) двух каких-то ветвей схемы широко используется теория четырехполюсников.

     В технике связи под четырехполюсниками понимают электрическую цепь (или  ее часть) любой сложности, имеющую  две пары зажимов для подключения  к источнику и приемнику электрической  энергии. Зажимы, к которым подключается источник, называются входными, а зажимы, к которым присоединяется приемник (нагрузка),- выходными зажимами (полюсами).

     В общем виде четырехполюсник изображают, как показано на рис. 1.

     К входу четырехполюсника 1-1’ подключен источник электрической энергии с задающим напряжением U_г и внутренним сопротивлением Z_г. К выходным зажимам 2-2’ присоединена нагрузка с сопротивлением Z_н. На входных зажимах действует напряжение U₁;  на выходных – U₂. Через входные зажимы протекает ток I₁, через выходные зажимы – I₂. Заметим, что в роли источника и приемника электрической энергии могут выступать другие четырехполюсники.

Рис. 1 
 

     Различают четырехполюсники линейные и нелинейные. Линейные четырехполюсники отличаются от нелинейных тем, что не содержат нелинейных элементов (НЭ) и поэтому  характеризуются линейной зависимостью напряжения и тока на выходных зажимах  от напряжения и тока на входных  зажимах. Примерами линейных четырехполюсников  являются электрические фильтры, линия  связи, трансформатор без сердечника; примерами нелинейных - преобразователь частоты (содержащий диоды) в радиоприемнике, выпрямитель переменного тока, трансформатор со стальным сердечником (при работе с насыщением стали).

     Все четырехполюсники подразделяются еще  на две группы: пассивные и активные. В пассивных четырехполюсниках  нет зависимых или независимых  источников напряжения (ЭДС) или тока, активные четырехполюсники содержат зависимые  или независимые источники. Пассивными четырехполюсниками являются линии  передачи сигналов, трансформаторы, корректирующие контуры. К активным четырехполюсникам относятся усилители, собранные на транзисторах или электронных лампах.

     Активные  четырехполюсники, содержащие только зависимые источники, называются неавтономными, а включающие и независимые источники,- автономными. Для пассивных проходных  четырехполюсников выполняется  теорема взаимности, в соответствии с которой отношение напряжения на входе к току на выходе не меняется при перемене местами зажимов. Поэтому  они называются обратимыми. Обратимые  четырехполюсники позволяют передавать энергию в обоих направлениях. Для активных четырехполюсников  теорема взаимности выполняется  только в частном случае.

     В зависимости от структуры различают  четырехполюсники мостовые (рис. 2) и  лестничные: Г-образные (рис. 3), Т-образные (рис. 4), П -образные (рис. 5). Промежуточное  положение занимают Т –образно-мостовые (Т -перекрытые) схемы четырехполюсников (рис. 6) 

Рис.  2                                              Рис. 3

Рис. 4                                          Рис. 5

Рис. 6

     Четырехполюсники  делятся на симметричные и несимметричные. В симметричном четырехполюснике перемена местами входных зажимов не изменяет напряжений и токов в цепи, с  которой он соединен.  

     Четырехполюсники, кроме электрической симметрии, могут иметь структурную симметрию, определяемую относительно вертикальной оси симметрии. Так, Т –образный, П –образный и Т –перекрытый  четырехполюсники имеют вертикальную ось симметрии при Z₁=Z₃.

     Мостовая  схема структурно симметрична. Очевидно, четырехполюсники, симметричные в структурном  отношении, обладают электрической  симметрией.

     Четырехполюсники  могут быть уравновешенными и неуравновешенными. Уравновешенные четырехполюсники имеют горизонтальную ось симметрии (например, мостовая схема на рис. 2) и используется, когда необходимо сделать зажимы симметричными относительно какой-либо точки (например- земли). Можно сделать уравновешенной любую из лестничных схем четырехполюсников.

1.2 Уравнения четырехполюсников

     Зависимости между напряжениями на входе и  выходе и токами, протекающими через  входные и выходные зажимы, могут  быть написаны в различной форме. Если считать две из указанных  величин заданными, то две другие величины будут связаны с ними системой двух уравнений, которые называются уравнениями четырехполюсника.

     Сложная электрическая цепь, имеющая входные  и выходные зажимы, может рассматриваться  как совокупность четырехполюсников, соединенных по определенной схеме. Зная параметры этих четырехполюсников, можно вычислить параметры сложного четырехполюсника и получить тем  самым зависимость между напряжениями и токами на зажимах результирующего  сложного четырехполюсника, не производя  расчетов всех напряжений и токов  внутри заданной схемы.

     Кроме того, теория четырехполюсников позволяет  решить обратную задачу: по заданным напряжениям  и токам найти параметры четырехполюсника и затем построить его схему  и рассчитать элементы, т. е. решить задачу синтеза.

     Например, если к вторичным выводам четырехполюсника подключен приемник с сопротивлением нагрузки Z_н, а к первичным — источник ЭДС Е₁ (рис. 1), то при заданном напряжении на выводах приемника U₂ и токе I₂=U₂/Z₂ можно определить необходимое напряжение источника питания на первичных выводах U₁=E₁ и ток источника I₁ по уравнению:

     U₁=A₁₁U₂+A₁₂I₂ 

       I₁=A₂₁U₂+A₂₂I₂                                                                               (1)

     Коэффициенты, входящие в систему уравнений, связывающую  входные  U₁  и I₁ и выходные U₂ и I₂ напряжения и токи называются А-параметрами, или обобщенными параметрами. Уравнения называются уравнениями передачи в А-параметрах. Параметры А₁₁ и А₂₂ являются безразмерными, параметр А₁₂ имеет размерность сопротивления; параметр А₂₁- размерность проводимости.

     Всего можно записать шесть различных  по форме, но по существу эквивалентных, т.е. математически равносильных(Приложение А).

1.3 Применение матриц  к расчету четырехполюсников

     Любую из систем уравнений передачи четырехполюсника можно записать в матричной форме. В частности для системы уравнений  в А- параметрах.

U₁=A₁₁U₂+A₁₂I₂

 I₁=A₂₁U₂+A₂₂I₂           

 получим:

                                                                               (2)

 где    - квадратная матрица коэффициентов;

 и  – матрицы-столбцы напряжения и тока соответственно на первичных и вторичных выводах.

     Всего можно записать шесть различных  по форме, но по существу эквивалентных, т. е. математически равносильных, пар  уравнений (число сочетаний из четырех  по два).

Уравнения типа Y

или

, где все коэффициенты —  проводимости.

Уравнения типа Z

или

 с коэффициентами — сопротивлениями. 

Уравнения типа H

или

с коэффициентами, размерность которых, как и в  первых трёх системах уравнений, непосредственно  следует из самой записи уравнений.

Уравнения типа G

или

.

Уравнения типа B

или

. 
 
 
 

1.4 Свойства параметров-коэффициентов

     СистемыA-, Y-, Z-, H-, G-, B-параметров образованы из коэффициентов уравнений передачи объединяют одним названием параметры-коэффициенты. Так же их называют первичными параметрами. Рассмотрим их основные свойства.

1. Параметры-коэффициенты определяются только схемой четырехполюсника и ее элементами и не зависят от внешних цепей, между которыми может быть включен четырехполюсник, т. е. они характеризуют собственно четырехполюсник.
2. Все системы параметров-коэффициентов описывают один и тот же четырехполюсник, поэтому между различными системами параметров-коэффициентов существует однозначная взаимосвязь.
3. Пассивный четырехполюсник полностью характеризуется не более  чем тремя  независимыми параметрами.
4. При изменении направления передачи энергии через четырехполюсник во всех выражениях, включающих А- параметры, коэффициенты А₁₁ и А₂₂ меняются местами.
5. Симметричные пассивные четырехполюсники имеют только два независимых параметра. В самом деле, в случае симметричного пассивного четырехполюсника не имеет значения направление передачи энергии: напряжения и токи на входе и выходе не изменяются при замене местами зажимов.
6. Параметры-коэффициенты имеют определенный физический смысл. Для выявления этого физического смысла следует четырехполюсник поставить в такой режим работы, при котором уравнения передачи содержат лишь один интересующий нас параметр. Подобное произойдет, если использовать режимы холостого хода и короткого замыкания.
7. Из предыдущего свойства следует, что параметры-коэффициенты являются комплексными величинами, так как они определяются отношением комплексных амплитуд (действующих значений) напряжений и токов. В случае анализа четырехполюсника в режиме негармонических колебаний используют спектральные представления электрических величин. Можно показать, что параметры-коэффициенты, рассматриваемые относительно не отдельной частоты, а определенного спектра частот, являются рациональными функциями оператора jω. При переходе от оператора jω к оператору p параметры-коэффициенты представляют собой рациональные функции оператора p.

1.5 Режимы четырехполюсников

     При расчете режима работы четырехполюсника с применением различных типов  уравнений принято выбирать положительные  направления токов неодинаковыми. Положительные направления токов  по рис.1 (I₁ и I₂) часто выбирают для пассивных четырехполюсников с источником питания на первичных — входных выводах и приемником с сопротивлением Z_н на вторичных выходных выводах и записи уравнений типа А, а обратные положительные направления – с источником питания на вторичных и приемником с сопротивлением Z_н на первичных и записи уравнений типа В.

     Рассмотрим  входные сопротивления четырехполюсников. Отношение напряжения U₁ к току I₁ при питании четырехполюсника со стороны первичных выводов Z_2н на вторичных (рис. 7) называется входным сопротивлением четырехполюсника со стороны первичных выводов Z_1вх.

     При питании четырехполюсника со стороны  вторичных выводов и сопротивлении  нагрузки Z_1н на первичных (рис. 8) отношение напряжения U₂ к току I₂ — это входное сопротивление четырехполюсника со стороны вторичных выводов Z_2вх. 

     Входное сопротивление четырехполюсника определяет режим работы источника питания  и зависит от структуры и параметров составляющих четырехполюсник элементов, т. е. коэффициентов четырехполюсника, а также от сопротивления нагрузки, т. е. сопротивления приемника.

     Для определения входных сопротивлений  Z_1вх и Z_2вх можно воспользоваться любым из типов уравнений, однако наиболее простые выражения получаются, если соответственно выбрать уравнения типов А и В: 

                                                  (3)

                                                    (4)

Рис. 7

Рис. 8

     Входное сопротивление четырехполюсника не является его внутренним параметром, так как оно зависит не только от свойств четырехполюсника, но и  от свойств внешней цепи (нагрузки), на которую замкнута пара зажимов  четырехполюсника. 

1.6 Расчеты четырехполюсников

     Рассмотрим  симметричный четырехполюсник. При  питании четырехполюсника со стороны  первичных выводов и разомкнутых  вторичных получаем Z_1х=Z₁₁. При питании со стороны вторичных выводов и разомкнутых первичных у симметричного четырехполюсника должно быть такое же входное сопротивление Z_2х=Z_1х.

Из уравнений

U₁=Z₁₁I₁+Z₁₂I₂                        

U₂=Z₂₁I₁+Z₂₂I₂     

или

при I₁=0 получаем Z₂₂=U₂/I₂=Z_вх, и, следовательно,     Z₂₂=Z₁₁.

     Такие же рассуждения приводят к равенствам

A₁₁=A₂₂; Y₁₁=Y₂₂.

      Если два  Г-образных четырехполюсника соединить  соответственно друг с другом выводами 1 и 1', то получится симметричный Т- образный четырехполюсник. 
 
 
 

Рис. 9

     Найдем  коэффициенты уравнений типа А симметричного  Т- образного четырехполюсника (рис. 9).

     При холостом ходе на вторичных выводах (I'₂=0) из рис.9 следует, что

I_1X=U₁/(Z₁/2+Z₂)

U_2X=Z₂ I_1X                                                                                         (5)

 Или

 U_2X=U₁Z₂/(Z₁/2+Z₂).                                                                         (6)

       Сравнив эти выражения с уравнениями  при  I₂’=0, определим

A₂₁=1/Z₂

A₁₁=1+Z₁/2Z₂.                                                                                   (7)

     При коротком замыкании вторичных выводов (U₂=0) из рис.9 следует, что I_2K’=I_1KZ₂/(Z₂+Z₁/2) или I_1K=(1+Z₁/2Z₂)I_2K’;

.                                            (8)

     Сравнив эти выражения с уравнениями  при U₂=0, найдем

A₁₂=Z₁(1+Z₁/4Z₂),

A₂₂=(1+Z₁/2Z₂),                                                                                (9)

т. е. A₂₂=A₁₁, как и должно быть у симметричного четырехполюсника. 
 
 

2 Разработка и изготовление сменного модуля для проведения лабораторных работ по исследованию Т-образной электрической цепи

2.1 Проектирование модуля

1. Проектируется схема для проведения исследования Т-образной электрической цепи.
2. Подбираются сопротивления в четырехполюсник, которые будут располагаться на печатной плате будущего сменного модуля.
3. Определяются подключение исследуемой схемы к измерительным приборам, источнику сигнала.

2.2 Изготовление модуля

1. На макетную плату, в соответствии со схемой, монтируются сопротивления.
2. Припаиваются соединительные провода к плате и разъему, соединяющему будущий модуль с установкой “Каскад”.
3. Изготавливается сменный модуль для проведения работы.
4. Проверяется работоспособность сменного модуля.

Схема 1.Схема  сменного модуля соединенного с установкой “Каскад”

Номиналы  резистивных элементов:

R1=750Ом;

R2= R3=1кОм;

R3’=480Ом;

R5=200Ом;

R6=R7=R8=R9=100Ом;

     К входу четырехполюсника подключен  источник питания постоянного напряжения (10В).

     Тумблер SA1 имеет 6 положений для исследования 6 вариантов подключения исследуемой цепи. Тумблер SA2 позволяет переключать между резисторами R3 и R3’.

     Тумблер SA3 позволяет переключаться между режимами измерения входного и выходного напряжения. Тумблер SA4 позволяет менять вход с выходом местами.

3 Расчет и исследование Т-образного четырехполюсника

     Проверим  разработанный сменный модуль на симметричность и найдем входные  и передаточные характеристики.

     Т.к. в симметричном четырехполюснике перемена местами входных зажимов не изменяет напряжений и токов в цепи, с  которой он соединен, то с помощью  тумблеров SA1 и SA4 произведем замену  входных и выходных зажимов и исследуем Т-образный четырехполюсник. C помощью тумблера SA2 произведем замену резистора R3 на R3’, для измерения входных и передаточных характеристик несимметричного четырехполюсника. 

     Снимем  показания вольтметра на входе и  выходе четырехполюсника при входном  напряжении равным 10В.

После проведения лабораторных измерений  получили:

Рассчитаем токи и передаточные сопротивления:

I= Uвх/R=10/1000=0,01А

R54= U5/I=5,33/0,01=533Ом

R44= U4\I=10/0,01=1000Ом

I= Uвх\R=10/1000=0,01А

R45= U4\I=9,9/0,01=990Ом

R55= U5\I=5,37/0,01=537

     Т.К. при изменении местами входа и выхода, передаточные характеристики, напряжения и ток в цепи не изменяется, то при данных значениях сопротивлений четырехполюсник является симметричным.

C помощью тумблера SA2 произведем замену резистора R3 на R3’.

После проведения лабораторных измерений  получили:

Рассчитаем токи и передаточные сопротивления:

I= Uвх\R=10/1000=0,01А

R54= U5\I=6,63/0,01=663Ом

R44= U4\I=9,98/0,01=998Ом

I= Uвх\R=9,99/480=0,02А

R45= U4\I=10/0,02=500Ом

R55= U5\I=6,64/0,02=332Ом

     По  результатам измерений видно, что передаточные характеристики, напряжения и ток в цепи изменяются, следовательно при данных значениях сопротивлений четырехполюсник не будет являться симметричным. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение

     В данной курсовой работе мы спроектировали и изготовили сменный модуль для  проведения лабораторных работ по изучению входных и передаточных характеристик.

     Изготовленный сменный модуль имеет широкое  практическое применение, т.к. два сопротивления, входящие в схему модуля, можно  менять местами в цепи при помощи тумблера тем самым меняя характеристики четырехполюсника.

     Нами  было проведено экспериментальное  исследование Т-образного четырехполюсника на симметричность при разных значениях  сопротивлений.

     Сделан  вывод при каких значениях  сопротивлений четырехполюсник  является симметричным, а при каких  не является. Сделанный вывод подтверждается теоретическими данными. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список использованных источников

1. Бакалов  В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы  теории цепей. –                                          М.:Радио и связь, 2000.

2. Зевеке  Г.В., Ионкин П.А. Основы теории  цепей. - М.: ЭнергоАтомИздат,  1989.

3. Нейман  Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические  основы электротехники. – Ленинград:  ЭнергоИздат,1981.