Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Численное моделирование и анализ переходных процессов в электрической цепи. 2

Нижегородский государственный технический университет

Кафедра: «Прикладная математика»

Дисциплина: «Информатика»

Курсовая работа

Тема: “Численное моделирование и анализ переходных процессов

в электрической цепи”.

Вариант № 3

Выполнил: Ст. гр. 10-ТЭП Ильина О.С Проверил: ОсипенкоН.Н.

г. Нижний Новгород

2011 г.
Содержание.

Введение……………………………………………………………………….….…..3
Постановка задачи. ........................................................................................................3
Условие задания. ...........................................................................................................4

4. Вывод системы дифференциальных уравнений………………………………….....5

5. Описание методов численного решения задачи Коши и методов численного интегрирования ………………………………………………………………………......6

6. Моделирование переходных процессов в электрической цепи.. ..............................8

6.1. Блок–схема алгоритма для создания программы в Pascal. ................................8

6.2. Программа и результаты численного моделирования переходных процессов в Pascal ( 2-ая модификация метода Эйлера).............................................................9

6.3. Печать результатов…………………………………………...……….………...10

Графики зависимости по результатам решения в Pascal……………………..11

6.4. Программа и результаты численного и графического моделирования переходных процессов в пакете MathCAD (метод Рунге–Кутта ). .........................12

6.5. Программа и результаты численного и графического моделирования переходных процессов в пакете MathCAD (2-ая модификация метода Эйлера)...14

6.6. Анализ полученных результатов.........................................................................16

7. Решение задачи аппроксимации зависимости I(t) на интервале 0≤ t≤ 0,006…......16

7.1. Реализация в EXCEL.............................................................................................17

Кусочная аппроксимация с помощью ф-ции Поиск решения………………..18

7.2. Реализация в MathCAD.........................................................................................19

7.3. Анализ полученных результатов.........................................................................22

8. Расчет количества теплоты, выделившейся на резисторе R4..................................23

8.1. Реализация в пакете MathCAD............................................................................23

8.1.1. Реализация в пакете Excel……………………………………………………..26

8.2. Реализация на алгоритмическом языке с иллюстрацией блок-схемы (методом трапеций, левых и правых прямоугольников)…………..……….............................30

8.2.1. Программа в Pascal: расчёт теплоты.................................................................32

8.2.2. Блок-схема (метод Cимпсона) ........................................................................33

8.2.3. Программа в Pascal(метод Симпсона)............................................................34

9. Заключение...................................................................................................................35

10. Список литературы.....................................................................................................36

I. Введение.

Существенным элементом высоких информационных технологий является моделирование и автоматизация обработки данных в различных сферах деятельности как авиации, космической промышленности и т.д. Модель – это подобие реальности, которая с разной точностью отображает картину происходящего. Эффективным средством моделирования является микропроцессорная техника, компьютер и соответствующее программное обеспечение. С помощью программных моделей, проектируемых объектов можно определить основные показатели, характеристики объектов с целью последующего анализа и генерации. Эффективность компьютерного моделирования на этапе проектирования электрической цепи является возможностью проанализировать характеристики для различных вариантов модификации проектируемого объекта. Задачи, возникающие при изменении различных параметров цепи, сводится к математическому расчету. Попытка учесть в физической модели различных особенности, нюансы, приводит к более сложным математическим моделям, решение которых аналитически невозможны или громоздко и поэтому используют численные методы.

Используя знания дисциплины “Информатика”, предстоит рассчитать электрическую цепь и проанализировать все физические процессы, происходящие при замене элементов на другие.

II. Постановка задачи.

Дана схема электрической цепи, содержащая источник переменного тока, катушку индуктивности, конденсатор, набор резисторов и ключ.

Параметры элементов цепи:

- гармонический источник тока; E₀=15В – амплитуда колебаний; - циклическая частота; - линейная частота; - фаза; - текущее время; =30ом, =25ом, =50ом, =1,88ом, =15ом, =50ом – резисторы; L=5,57мГн– катушка индуктивности; С=20мкФ – конденсатор. Параметры задаются по вариантам.

В начальный момент времени t=t₀=0 ключ находится в положении 1. При этом цепь разомкнута, напряжение на конденсаторе и ток на катушке равны нулю (U=0, I=0). Происходит первое переключение ключа (ключ мгновенно переводится в положение 2). При этом происходит заряд конденсатора, меняются значения U и I.

В момент времени t=t₁=0,001с ключ мгновенно переключается в положение 1. Конденсатор разряжается, вновь меняются значения U и I. Анализ схемы заканчивается в момент t=t₂=0,007 с.

III. Условия задания

Численная реализация систем дифференциальных уравнений (2) и (3):

в пакете MathCad, используя алгоритм модифицированного метода Эйлера и метод Рунге-Кутта;

алгоритмическим методом с построением блок-схемы (на языке высокого уровня Pascal);
анализ результатов. На выходе первого этапа должен быть файл данных содержащий дискретные зависимости от времени величин I, U. Шаг дискретизации должен быть таким, чтобы обеспечить не менее 40 значений величин I и U.

Решение задачи аппроксимации зависимости тока от времени

используя пакет Excel и его возможности (поиск решения, мастер диаграмм с выводом уравнения линии тренда);
в пакете MathCad, используя алгоритм метода наименьших квадратов;
анализ полученных результатов с точки зрения аналитической формулы для величины I(t).

Численное интегрирование. Необходимо определить количество теплоты, выделяемой на резисторе R₄ за период времени Т₁≤t≤T₂. Это можно сделать взяв интеграл

где зависимость I(t) берётся по результатам предыдущего этапа.

алгоритмически с построением блок-схемы и программы на базе методов интегрирования (два метода);
в MathCad;
сравнение результатов с оценкой полученных ошибок.

Заключение.

Список литературы.

IV. Вывод системы дифференциальных уравнений.

В соответствии с рисунком запишем выражения для 1-го и 2-го законов Кирхгофа для положения ключа 1:

(1)

Систему (1) можно преобразовать, исключив токи I1 и I2. Тогда для величин I и U получим систему дифференциальных уравнений первого порядка:

(2)

Аналогично может быть получена система дифференциальных уравнений для величин I и U при положении ключа 2. В этом случае имеем:

(3)

В интервале t₀≤ t ≤ t₁ решается система (3) с начальными условиями I(t₀)=0; U(t₀)=0. В интервале t₁ ≤ t ≤ t₂решается система (2).В качестве начальных условий для системы (2) I(t1), U(t1) следует использовать соответствующие значения, полученные в результате решения системы (3).

V. Описание методов численного решения задачи Коши и методов численного интегрирования .

Решение задачи Коши.

2-ая модификация метода Эйлера: Основная идея численных методов для задачи Коши состоит в поочередном вычислении ординат по мере нарастания аргумента искомой функции. Каждое последующее значение искомой функции вычисляется через предыдущее. В основе всех методов лежит метод Эйлера – простой. Возьмем точку x=x₀ и разложим искомую функцию в ряд Тейлора:

Положим x=x₁, чтобы найти y₁:

Пренебрегая слагаемыми начиная со второго порядка малости, получаем итерационные формулы для метода Эйлера–простого:

2-ая модификация метода Эйлера является модификацией данного метода и имеет следующие итерационные формулы:

Метод Рунге-Кутта:

Данный метод является обобщением методов Эйлера и Эйлера с центрированием

Методы численного интегрирования.

Метод левых прямоугольников.

Метод основан на кусочно–постоянной интерполяции, такой, что на каждом i–ом частичном интервале значение подынтегральной функции заменяется константой равной значению функции на правой границе i–ого частичного интервала.

Составная формула для вычисления интеграла по методу правых прямоугольников имеет вид:

Метод парабол (Симпсона).

Метод основан на интерполяции подынтегральной функции y=f(x) парабол на паре соседних частичных интервалов [x_i-1;x_i],[x_i;x_i+1], т.е. интерполяционный полином второй степени .

Тогда оказывается, что частичный интеграл для интерполяционного полинома вычисляется по формуле:

Выбирая число частичных интервалов n четным, получим суммированием составную формулу для приближенного вычисления всего интервала методом парабол:

VI. Моделирование переходных процессов в электрической цепи.

6.1. Блок–схема алгоритма для создания программы в Turbo Pascal.

6.2. Программа на алгоритмическом языке Pascal (модифицированный метод Эйлера)

Program Eiler;

const

t0=0;

t1=0.001;

t2=0.007;

R1=30; R2=25; R3=50; R4=1.88; R5=15; R6=50;

pi=3.141592653589;

L=0.00557; C=0.00002; E0=15;

f=50; w=2*pi*f; fi =5; n=200;

var

h :real;

ft:text;

t :array[0..n] of real;

i :array[0..n] of real;

u :array[0..n] of real;

k :integer;

FUNCTION e1(t:real):real;

begin

if t<t1 then e1:=e0+e0*SIN(w*t+fi)

else e1:=0;

end;

FUNCTION f1(t,i,u:real) :real;

begin

f1:=(e1(t)*(R2/(R1+R2))-i*(R3*((R5+R6)/(R3+R5+R6))+R4+(R1*R2)/(R1+R2))-u*((R5+R6)/(R3+R5+R6)))/L;

end;

FUNCTION f2(i,u:real):real;

begin

f2:=(i*((R5+R6)/(R3+R5+R6))-u/(R3+R5+R6))/c;

end;

BEGIN

assign(ft,'D:\1.txt');

rewrite(ft);

i[0]:=0;

u[0]:=0;

t[0]:=0;

h:=(t2-t0)/n;

writeln(ft,' t I U');

for k:=0 to n-1 do

begin

t[k+1]:=t[k]+h;

i[k+1]:=i[k]+(h/2)*(f1(t[k],i[k],u[k])+f1(t[k]+h,i[k]+h*f1(t[k],i[k],u[k]),u[k]+h*f2(i[k],u[k])));

u[k+1]:=u[k]+(h/2)*(f2(i[k],u[k])+f2(i[k]+h*f1(t[k],i[k],u[k]),u[k]+h*f2(i[k],u[k])));

end;

k:=0;

repeat

writeln(t[k] :3:4,' ',i[k]:3:5,' ',u[k]:3:5);

writeln(ft,t[k] :3:4,' ',i[k]:3:10,' ',u[k]:3:10);

k:=k+5;

until k>n;

readln;

close(ft);

END.

6.3. Печать результатов

t I U

0.0000 0.00000 0.00000

0.0002 0.00587 0.01614

0.0004 0.00928 0.05157

0.0005 0.01224 0.09914

0.0007 0.01530 0.15747

0.0009 0.01859 0.22662

0.0010 0.01250 0.29998

0.0012 0.00030 0.30106

0.0014 -0.00264 0.27142

0.0016 -0.00308 0.23740

0.0018 -0.00288 0.20572

0.0019 -0.00254 0.17774

0.0021 -0.00221 0.15342

0.0023 -0.00191 0.13238

0.0025 -0.00165 0.11422

0.0026 -0.00143 0.09855

0.0028 -0.00123 0.08503

0.0030 -0.00106 0.07336

0.0031 -0.00092 0.06329

0.0033 -0.00079 0.05461

0.0035 -0.00068 0.04711

0.0037 -0.00059 0.04065

0.0038 -0.00051 0.03507

0.0040 -0.00044 0.03026

0.0042 -0.00038 0.02611

0.0044 -0.00033 0.02252

0.0046 -0.00028 0.01943

0.0047 -0.00024 0.01677

0.0049 -0.00021 0.01447

0.0051 -0.00018 0.01248

0.0053 -0.00016 0.01077

0.0054 -0.00013 0.00929

0.0056 -0.00012 0.00802

0.0058 -0.00010 0.00692

0.0060 -0.00009 0.00597

0.0061 -0.00007 0.00515

0.0063 -0.00006 0.00444

0.0065 -0.00006 0.00383

0.0067 -0.00005 0.00331

0.0068 -0.00004 0.00285

0.0070 -0.00004 0.00246

Графики зависимости по результатам решения в Pascal.

6.4. Программа и результаты численного и графического моделирования переходных процессов в пакете MathCAD (метод Рунге–Кутта).

Решение системы диффиренциальных уравнений при помощи встроенной функции rkfixed

параметры, задаваемые по варианту:

параметры элементов цепи:

вычислим шаг:

функция, учитывающая переключение ключа

Зададим начальные условия:

Итерационные формулы:

Графики зависимости I(t) и U(t)

График I(t)

График U(t)

6.5. Программа и результаты численного и графического моделирования переходных процессов в пакете MathCAD ( 2-ая модификация метода Эйлера).

Зададим начальные условия:

График зависимости тока от времени:

График зависимости напряжения от времени:

6.6. Анализ полученных результатов

Численно реализовали решение систем дифференциальных уравнений средствами Turbo Pascal, MathCAD. Результаты, полученные при решении системы дифференциальных уравнений представлены в виде таблиц значений тока и напряжения в интервале времени от 0 до 0.02 с. При решении данных уравнений в Turbo Pascal был использован модифицированный метод Эйлера, метод Рунге–Кутта и модифицированный метод Эйлера при решении в MathCAD. Изменяя количество разбиений временного интервала, подбиралось такое соотношение, при котором результаты, полученные в Turbo Pascal, имели наименьшее отличие от результатов, полученных в MathCAD. Было выбрано следующее количество разбиений: n=200 в Turbo Pascal; n=200 в MathCAD.

Небольшое несовпадение результатов программ, которые реализуют один и тот же метод, связаны с различиями в методах округления значений, с неодинаковыми «способами» накопления погрешностей.

Модифицированный метод Эйлера является методом второго порядка точности, метод Рунге–Кутта – четвертого, то есть метод Рунге–Кутта является более точным, поэтому для решения задачи аппроксимации зависимости I(t) возьмем дискретные значения тока, полученные из решения систем дифференциальных уравнений в MathCAD метод Рунге–Кутта.

VII. Решение задачи аппроксимации зависимости I(t) на интервале

0,001 ≤ t ≤ 0,007.

7.1. Реализация в EXCEL

Вывод: из сравнения результатов, полученных при помощи функции «Поиск решений» и использования линии тренда, видно, что результат, полученный «разбиением» немного точнее результата, полученного поиском решения.

7.2. Реализация в MathCAD (квадратичная аппроксимация методом наименьших квадратов).

Первый участок от t1=0.001 до t2=0.0033

Второй участок от t2=0.0033 до t3=0.0064

Третий участок от t3=0.0064 до t4=0.007

Совмещение полученных аппроксимирующих функций:

7.3. Анализ полученных результатов

В ходе работы были выведены эмпирические формулы для функциональной зависимости силы тока от времени в интервале изменения времени от 0.004 до 0.01. Аппроксимацию проводили методом наименьших квадратов. Значения силы тока были взяты из результатов полученных с помощью метода Рунге-Кутта (в пакете MathCAD).

Для решения задачи аппроксимации зависимости I(t), была построена кусочная аппроксимация, методом наименьших квадратов, используя пакет EXCEL и MathCAD.

VIII. Расчет количества теплоты, выделившийся на резисторе R4

8.1. Реализация в пакете MathCAD

Вывод: из результатов рассчитанных ошибок очевидно, что интеграл, вычислен-

ный методом Симпсона, имеет наибольшую точность.

8.1.1. Расчёт количества теплоты методами численного интегрирования в

пакете EXCEL.

Расчет теплоты на резисторе R4 в пакете Excel
Расчет теплоты на резисторе R4 в пакете Excel

	Исходные данные

R4=	1,88
T1=	0
T2=	0,006
n=	100
h=	0,00006

Метод трапеций		Метод левых прямоугольников			Метод правых прямоугольников
T	I(t)		T	I(t)		T	I(t)

0,00006	0,0058183		0	0		0,00006	0,0058183
0,00012	0,0190871		0,00006	0,0058183		0,00012	0,0190871
0,00018	0,03446		0,00012	0,0190871		0,00018	0,03446
0,00024	0,0478349		0,00018	0,03446		0,00024	0,0478349
0,0003	0,056354		0,00024	0,0478349		0,0003	0,056354
0,00036	0,0584034		0,0003	0,056354		0,00036	0,0584034
0,00042	0,0605217		0,00036	0,0584034		0,00042	0,0605217
0,00048	0,0604696		0,00042	0,0605217		0,00048	0,0604696
0,00054	0,0603587		0,00048	0,0604696		0,00054	0,0603587
0,0006	0,060189		0,00054	0,0603587		0,0006	0,060189
0,00066	0,059961		0,0006	0,060189		0,00066	0,059961
0,00072	0,0596748		0,00066	0,059961		0,00072	0,0596748
0,00078	0,059331		0,00072	0,0596748		0,00078	0,059331
0,00084	0,05893		0,00078	0,059331		0,00084	0,05893
0,0009	0,0584725		0,00084	0,05893		0,0009	0,0584725
0,00096	0,0579591		0,0009	0,0584725		0,00096	0,0579591
0,00102	0,0573905		0,00096	0,0579591		0,00102	0,0573905
0,00108	0,0567676		0,00102	0,0573905		0,00108	0,0567676
0,00114	0,0560914		0,00108	0,0567676		0,00114	0,0560914
0,0012	0,0553629		0,00114	0,0560914		0,0012	0,0553629
0,00126	0,0545832		0,0012	0,0553629		0,00126	0,0545832
0,00132	0,0537535		0,00126	0,0545832		0,00132	0,0537535
0,00138	0,052875		0,00132	0,0537535		0,00138	0,052875
0,00144	0,0519492		0,00138	0,052875		0,00144	0,0519492
0,0015	0,0509774		0,00144	0,0519492		0,0015	0,0509774
0,00156	0,0499613		0,0015	0,0509774		0,00156	0,0499613
0,00162	0,0489024		0,00156	0,0499613		0,00162	0,0489024
0,00168	0,0478025		0,00162	0,0489024		0,00168	0,0478025
0,00174	0,0466633		0,00168	0,0478025		0,00174	0,0466633
0,0018	0,0454868		0,00174	0,0466633		0,0018	0,0454868
0,00186	0,0442749		0,0018	0,0454868		0,00186	0,0442749
0,00192	0,0430296		0,00186	0,0442749		0,00192	0,0430296
0,00198	0,0417532		0,00192	0,0430296		0,00198	0,0417532
0,00204	0,0404478		0,00198	0,0417532		0,00204	0,0404478
0,0021	0,0391157		0,00204	0,0404478		0,0021	0,0391157
0,00216	0,0377594		0,0021	0,0391157		0,00216	0,0377594
0,00222	0,0363813		0,00216	0,0377594		0,00222	0,0363813
0,00228	0,034984		0,00222	0,0363813		0,00228	0,034984
0,00234	0,0335702		0,00228	0,034984		0,00234	0,0335702
0,0024	0,0321426		0,00234	0,0335702		0,0024	0,0321426
0,00246	0,030704		0,0024	0,0321426		0,00246	0,030704
0,00252	0,0292574		0,00246	0,030704		0,00252	0,0292574
0,00258	0,0278057		0,00252	0,0292574		0,00258	0,0278057
0,00264	0,0263521		0,00258	0,0278057		0,00264	0,0263521
0,0027	0,0248997		0,00264	0,0263521		0,0027	0,0248997
0,00276	0,0234517		0,0027	0,0248997		0,00276	0,0234517
0,00282	0,0239809		0,00276	0,0234517		0,00282	0,0239809
0,00288	0,0222405		0,00282	0,0239809		0,00288	0,0222405
0,00294	0,0205887		0,00288	0,0222405		0,00294	0,0205887
0,003	0,0190228		0,00294	0,0205887		0,003	0,0190228
0,00306	0,0175399		0,003	0,0190228		0,00306	0,0175399
0,00312	0,0161376		0,00306	0,0175399		0,00312	0,0161376
0,00318	0,0148132		0,00312	0,0161376		0,00318	0,0148132
0,00324	0,0135641		0,00318	0,0148132		0,00324	0,0135641
0,0033	0,0123879		0,00324	0,0135641		0,0033	0,0123879
0,00336	0,011282		0,0033	0,0123879		0,00336	0,011282
0,00342	0,0102441		0,00336	0,011282		0,00342	0,0102441
0,00348	0,0092716		0,00342	0,0102441		0,00348	0,0092716
0,00354	0,0083623		0,00348	0,0092716		0,00354	0,0083623
0,0036	0,0075138		0,00354	0,0083623		0,0036	0,0075138
0,00366	0,0067237		0,0036	0,0075138		0,00366	0,0067237
0,00372	0,00599		0,00366	0,0067237		0,00372	0,00599
0,00378	0,0053103		0,00372	0,00599		0,00378	0,0053103
0,00384	0,0046825		0,00378	0,0053103		0,00384	0,0046825
0,0039	0,0041044		0,00384	0,0046825		0,0039	0,0041044
0,00396	0,003574		0,0039	0,0041044		0,00396	0,003574
0,00402	0,0030891		0,00396	0,003574		0,00402	0,0030891
0,00408	0,0026479		0,00402	0,0030891		0,00408	0,0026479
0,00414	0,0022482		0,00408	0,0026479		0,00414	0,0022482
0,0042	0,0018881		0,00414	0,0022482		0,0042	0,0018881
0,00426	0,0015658		0,0042	0,0018881		0,00426	0,0015658
0,00432	0,0012793		0,00426	0,0015658		0,00432	0,0012793
0,00438	0,0010269		0,00432	0,0012793		0,00438	0,0010269
0,00444	0,0008068		0,00438	0,0010269		0,00444	0,0008068
0,0045	0,0006171		0,00444	0,0008068		0,0045	0,0006171
0,00456	0,0004562		0,0045	0,0006171		0,00456	0,0004562
0,00462	0,0003225		0,00456	0,0004562		0,00462	0,0003225
0,00468	0,0002142		0,00462	0,0003225		0,00468	0,0002142
0,00474	0,0001299		0,00468	0,0002142		0,00474	0,0001299
0,0048	6,78E-05		0,00474	0,0001299		0,0048	6,78E-05
0,00486	2,655E-05		0,0048	6,78E-05		0,00486	2,655E-05
0,00492	4,63E-06		0,00486	2,655E-05		0,00492	4,63E-06
0,00498	5,916E-07		0,00492	4,63E-06		0,00498	5,916E-07
0,00504	1,303E-05		0,00498	5,916E-07		0,00504	1,303E-05
0,0051	4,059E-05		0,00504	1,303E-05		0,0051	4,059E-05
0,00516	8,193E-05		0,0051	4,059E-05		0,00516	8,193E-05
0,00522	0,0001358		0,00516	8,193E-05		0,00522	0,0001358
0,00528	0,0002009		0,00522	0,0001358		0,00528	0,0002009
0,00534	0,000276		0,00528	0,0002009		0,00534	0,000276
0,0054	0,00036		0,00534	0,000276		0,0054	0,00036
0,00546	0,0004517		0,0054	0,00036		0,00546	0,0004517
0,00552	0,00055		0,00546	0,0004517		0,00552	0,00055
0,00558	0,000654		0,00552	0,00055		0,00558	0,000654
0,00564	0,0007624		0,00558	0,000654		0,00564	0,0007624
0,0057	0,0008745		0,00564	0,0007624		0,0057	0,0008745
0,00576	0,0009892		0,0057	0,0008745		0,00576	0,0009892
0,00582	0,0011056		0,00576	0,0009892		0,00582	0,0011056
0,00588	0,0012229		0,00582	0,0011056		0,00588	0,0012229
0,00594	0,0013402		0,00588	0,0012229		0,00594	0,0013402
0,006	0,0014568		0,00594	0,0013402		0,006	0,0014568
			0,006	0,0014568
Integral 1=	0,0001414
			Integral 2=	0,0001414		Integral 3=	0,0001414
Q=	0,0002658
			Q=	0,0002658		Q=	0,0002658