Числовые характеристики случайных величин. Начальные, центральные и смешанные моменты

 

 

 

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ) «МАИ»

 

 

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

 

 

 

 

 

«Числовые характеристики случайных величин. Начальные,

центральные и смешанные моменты.»

 

 

 

 

 

Москва, 2016

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

1.Введение

2. Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание.

    3. Моменты случайных величин

    4. Заключение

    5. Литература

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Введение

 

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто построение закона или ряда распределения представляет весьма трудоемкую задачу, либо закон распределения неизвестен вовсе. На практике иногда бывает достаточно описать случайную величину «суммарно», указав ее отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распределения случайной величины. К таким параметрам можно отнести среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины; число, характеризующее степень разбросанности значений случайной величины относительно среднего и др. Назначение таких характеристик – выразить компактно, в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения. Все эти характеристики называются числовыми характеристиками случайной величины. Иными словами, распределение вероятностей дает полную информацию о случайной величине. Иногда достаточной является более компактная информация, содержащая основные сведения о случайной величине. Таковыми являются числовые характеристики.

Так, для полной характеристики успеваемости учащегося и прогнозирования получения им оценки в будущем можно построить ряд распределения его оценок. Однако достаточно часто успеваемость характеризуется лишь одной, средней оценкой.

Числовые характеристики играют большую роль в теории вероятностей, поскольку, оперируя ими, можно значительно упростить ряд практических вероятностных задач и получить важные результаты. Например, в тех случаях, когда на численный результат эксперимента оказывают влияние отдельные случайные величины и их достаточно много, то закон распределения результирующей случайной величины, оказывается, не будет зависеть от законов распределения составляющих величин. В этих случаях для анализа результирующей величины необходимо лишь знать некоторые числовые характеристики отдельных случайных величин.

 

2.Числовые характеристики  случайной величины. Математическое  ожидание.

 

Обозначение:

Пояснение: математическое ожидание характеризует значение случайной величины.

Определение: Математическим ожиданием называется сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности, т.е.:

(1)

Свойства математического ожидания.

 

 

2. Дисперсия.

Пояснение: дисперсия характеризует средний разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

Определение: Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания, т.е.:

(2)

 

 

Пример:

 

Свойства дисперсии.

 

 

если X и Y –

независимые случайные величины →

формула для вычисления дисперсии:

 

 

Доказательство:

Пример № 1:

Вычислить дисперсию по формуле 3.

 

Среднее квадратическое отклонение.

Пояснение: характеризует средний разброс в тех же единицах, что и сама случайная величина.

Обозначение:

 

Пример № 1:

 

 

Числовые характеристики суммы и среднего арифметического случайных величин.

Пусть заданы n независимых случайных величин X1, Х2, …, Хn имеющих математические ожидания a1, a2, …, an и дисперсии σ2, σ2,…, σ2. рассмотрим

случайную величину Y, равную их сумме (Y =  X1 + Х2 + …+ Хn) и

 

случайную величину Z, равную их среднему арифметическому

 

 тогда математическое ожидание их суммы равно суме их математических ожиданий

(1)

дисперсия суммы равна

(2)

математическое ожидание среднего арифметического равно

(3)

дисперсия среднего арифметического равна

(4)

Частные случаи: если a1 = a2 = …= an , т.е все математические ожидания одинаковы, то

(1а)

(3а)

Замечания:

1. Формулы 1-4 следуют из свойств математического ожидания и дисперсии.
2. из формулы 4 следует, что дисперсия среднего арифметического случайных величин в n раз меньше, чем дисперсия каждого из слагаемых, поэтому для уменьшения ошибки рекомендуется использовать среднее арифметическое.

 

3. Моменты случайных величин

 

 

Законы распределения полностью характеризуют случайные величины, но их не всегда можно получить. Случайные величины достаточно полно можно охарактеризовать, зная их числовые характеристики, которые определяются с помощью так называемых моментов (начальных, центральных и смешанных).

Начальные моменты

Начальные моменты характеризуют отклонение случайной величины относительно начала отсчета,

где f(x) –плотность вероятности случайной величины X.

При к = 1

 

Математическим ожиданием случайной величины mx называется начальный момент первого порядка a1, который характеризует среднее значение случайной величины.

Для дискретных, случайных величин

,

где xi и pi - возможные значения случайных величин и их вероятности.

Для любой функции случайного аргумента математическое ожидание равно

Для функции двух случайных аргументов математическое ожидание равно

При к = 2

 

Средним квадратом случайной величины называется начальный момент второго порядка -a2, который характеризует среднюю мощность случайной величины.

Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины   называется сумма вида:

           (1)

Очевидно, это определение совпадает с определением начального момента порядка s в механике, если на оси абсцисс в точках   сосредоточены массы  .

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл

  .       (2)

Нетрудно убедиться, что введенная в предыдущем n° основная характеристика положения –математическое ожидание – представляет собой не что иное, как первый начальный момент случайной величины  .

Пользуясь знаком математического ожидания, можно объединить две формулы (1) и (2) в одну.. Поэтому можно написать общее определение начального момента  n-го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин:

 ,             (3)

т.е. начальным моментом  n-го порядка случайной величины   называется математическое ожидание  n-й степени этой случайной величины.

 

Центральные моменты

 

Центральные моменты характеризуют отклонение случайной величины относительно среднего значения.

 

 называется центрированной величиной.

При к = 1

При к = 2

Перед тем, как дать определение центрального момента, введем новое понятие «центрированной случайной величины».

Пусть имеется случайная величина   с математическим ожиданием  . Центрированной случайной величиной, соответствующей величине  , называется отклонение случайной величины   от её математического ожидания:

.          

Условимся в дальнейшем везде обозначать центрированную случайную величину, соответствующую данной случайной величине, той же буквой со значком    наверху.

Нетрудно убедиться, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю. Действительно, для прерывной величины

;        

аналогично и для непрерывной величины.

Центрирование случайной величины, очевидно, равносильно переносу начала координат в среднюю, «центральную» точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.

Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Они аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике.

Таким образом, центральным моментом порядка s случайной величины   называется математическое ожидание  -й  степени соответствующей центрированной случайной величины:

,         

а для непрерывной – интегралом

.       

В дальнейшем в тех случаях, когда не возникает сомнений, к какой случайной величине относится данный момент, мы будем для краткости вместо   и   писать просто   и  .Очевидно, для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю:

,             

так как математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.

Выведем соотношения, связывающие центральные и начальные моменты различных порядков. Вывод мы проведем только для прерывных величин; легко убедится, что точно те же соотношения справедливы и для непрерывных величин, если заменить конечные суммы интегралами, а вероятности – элементами вероятности.

Рассмотрим второй центральный момент:

Аналогично для третьего центрального момента получим:

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (или «скошенности») распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания (или, в механической интерпретации, масса распределена симметрично относительно центра тяжести), то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю.Четвертый центральный момент служит для характеристики так называемой «крутости», т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью так называемого эксцесса. Эксцессом случайной величины   называется величина

.              

Число 3 вычитается из отношения   потому, что для весьма важного и широко распространенного в природе нормального закона распределения (с которым мы подробно познакомимся в дальнейшем)  . Таки образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю; кривые, более островершинные по сравнении с нормальной, обладают положительным эксцессом; кривые более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

Выражения для   и т.д. могут быть получены аналогичным путем.

Таким образом, для центральных моментов любой случайной величины   справедливы формулы:

             

Вообще говоря, моменты могут рассматриваться не только относительно начала координат (начальные моменты) или математического ожидания (центральные моменты), но и относительно произвольной точки  :

.             

Однако центральные моменты имеют перед всеми другими преимущество: первый центральный момент, как мы видели, всегда равен нулю, а следующий за ним, второй центральный момент при этой системе отсчета имеет минимальное значение. Докажем это. Для прерывной случайной величины   при   формула имеет вид:

.               

Преобразуем это выражение:

Очевидно, эта величина достигает своего минимума, когда  , т.е. когда момент берется относительно точки  .

Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первый начальный момент (математическое ожидание)   и второй центральный момент  .

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины. Ввиду крайней важности этой характеристики среди других моментов введем для нее специальное обозначение  :

.

Согласно определению центрального момента

,             

т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.

Заменяя в выражении (5.7.13) величину   её выражением, имеем также:

.          

Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:

,           

         

- соответственно для прерывных  и непрерывных величин.

 

Дисперсией случайной величины Dx называется центральный момент второго порядка -m1, который характеризует степень рассеивания случайной величины относительно среднего значения.

Величина называется средним квадратичным отклонением.

Между моментами существует следующая связь:

 

 

Смешанные центральные моменты

Корреляционный момент - kxy характеризуют статистическую зависимость между случайными величинами X и Y.

 

 

На практике часто используется безразмерная величина, называемая коэффициентом корреляции

 

. (1.23)

 

Случайные величины X и Y называют коррелированными, если kxy ¹ 0, и некоррелированными, если kxy = 0.

Пример 1.1. Определить функцию распределения и числовые характеристики для случайной величины с равномерной плотностью вероятности, график которой приведен на рис. 1.1

Решение: Функцию распределения можно определить из соотношения

 

 

При этом функция распределения имеет вид (рис. 1.2).

             Рис. 1.1                                    Рис. 1.2

 

Определим числовые характеристики.

Математическое ожидание

 

.

 

Средний квадрат

 

Дисперсия

 

.

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты,моменты инерции и т.д.). Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание».

Если обратиться к механической интерпретации распределения, то дисперсия представляет собой           не что иное, как момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания).

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе – «стандартом») случайной величины  . Среднее квадратическое отклонение будем обозначать  :

,              

Для упрощения записей мы часто будем пользоваться сокращенными обозначениями среднего квадратического отклонения и дисперсии:   и  . В случае, когда не возникает сомнения, к какой случайной величине относятся эти характеристики, мы будем иногда опускать значок х у   и   и писать просто   и  . Слова «среднее квадратическое отклонение» иногда будем сокращенно заменять буквами с.к.о.

На практике часто применяется формула, выражающая дисперсию случайной величины через её второй начальный момент в новых обозначениях она будет иметь вид:

.              

Математическое ожидание   и дисперсия   (или среднее квардратическое отклонение  ) – наиболее часто применяемые характеристики случайной величины. Они характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Для более подробного описания распределения применяются моменты высших порядков.

Естественно поэтому в качестве характеристики асимметрии распределения выбрать какой-либо из нечетных моментов. Простейший из них есть третий центральный момент. Он имеет размерность куба случайной величины: чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент   делят на куб среднего квадратического отклонения. Полученная величина носит название «коэффициент асимметрии» или просто «асимметрии»; мы обозначим её  :

.                

На рис. показано два асимметричных распределения; одно из них (кривая I) имеет положительную асимметрию ( ); другое (кривая II) – отрицательную ( ).

На рис. представлены: нормальное распределение (кривая I), распределение с положительным эксцессом (кривая II) и распределение с отрицательным эксцессом (кривая III).

Кроме рассмотренных выше начальных и центральных моментов, на практике иногда применяются так называемые абсолютные моменты (начальные и центральные), определяемые формулами

;  .

Очевидно, абсолютные моменты четных порядков совпадают с обычными моментами.

Из абсолютных моментов наиболее часто применяется первый абсолютный центральный момент

,              

называемый средним арифметическим отклонением. Наряду с дисперсией и средним квадратическим отклонением среднее арифметическое отклонение иногда применяется как характеристика рассеивания.

Математическое ожидание, мода, медиана, начальные и центральные моменты и, в частности, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, асимметрия и эксцесс представляют собой наиболее употребительныечисловые характеристики случайных величин. Во многих задачах практики полная характеристикаслучайной величины – закон распределения – или не нужна, или не может быть получена. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощь. Числовых характеристик, каждая из которых выражает какое-либо характерное свойство распределения.

Очень часто числовыми характеристиками пользуются для приближенной замены одного распределения другим, причем обычно стремятся произвести эту замену так, чтобы сохранились неизменными несколько важнейших моментов.

Пример 1. Производится один опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие  ,вероятность которого равна  . Рассматривается случайная величина   – число появлений события   (характеристическая случайная величина события  ). Определить её характеристики: математическое ожидание,дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Ряд распределения величины имеет вид:

где   - вероятность непоявления события  .

По формуле находим математическое ожидание величины  :

.

Дисперсию величины   определяем по формуле (5.7.15):

,

откуда

.

(Предлагаем читателю получить тот же результат, выразив дисперсию через второй начальный момент).

Пример 2. Производится три независимых выстрела по мишени; вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. случайная величина   – число попаданий. Определить характеристики величины   –математическое ожидание, дисперсию, с.к.о., асимметрию.

Решение. Ряд распределения величины   имеет вид:

Вычисляем числовые характеристики величины  :

Заметим, что те же характеристики могли бы быть вычислены значительно проще с помощью теорем о числовых характеристиках функций (см. главу 10).

Пример 3. Производится ряд независимых опытов до первого появления события   (см. пример 3 n°).Вероятность события   в каждом опыте равна  . Найти математическое ожидание, дисперсию и с.к.о. числа опытов, которое будет произведено.

Решение. Ряд распределения величины   имеет вид:

Математическое ожидание величины   выражается суммой ряда

.

Нетрудно видеть, что ряд, стоящий в скобках, представляет собой результат дифференцирования геометрической прогрессии:

Следовательно,

откуда

.

Для определения дисперсии величины Х вычислим сначала её второй начальный момент:

.

Для вычисления ряда, стоящего в скобках, умножим на q ряд:

Получим:

Дифференцируя этот ряд по  , имеем:

Умножая на  , получим:

По формуле выразим дисперсию:

Откуда

Пример 4. Непрерывная случайная величина   подчинена закону распределения с плотностью:

Найти коэффициент  . Определить м.о., дисперсию, с.к.о., асимметрию, эксцесс величины  .

Решение. Для определения   воспользуемся свойством плотности распределения:

отсюда  .

Так как функция   нечетная, то м.о. величины   равно нулю:

.

Дисперсия и с.к.о. равны, соответственно:

.

Так как распределение симметрично, то  .

Для вычисления эксцесса находим  :

 

откуда

.

Пример 5. Случайная величина   подчинена закону распределения, плотность которого задана графически на рис.

Написать выражение плотности распределения. Найти м.о., дисперсию, с.к.о. и асимметрию распределения.

Решение. Выражение плотности распределения имеет вид:

Пользуясь свойством плотности распределения, находим  .

Математическое ожидание величины  :

Дисперсию найдем через второй начальный момент:

отсюда

Третий начальный момент равен

Пользуясь третьей из формул (5.7.10), выражающей   через начальные моменты, имеем:

откуда

 

 

 

4.Вывод

Если £ — случайная величина (может быть, и векторная), наблюдаемая в эксперименте ft, то, как мы видели выше, исчерпывающую информацию о ней дает ее закон распределения Однако довольно часто можно, описывая случайную величину, ограничиться менее подробной, чем закон распределения, информацией, указав в каком-то смысле ее характерные значения и оценив, насколько наблюдаемая случайная величина может от этих значений уклоняться. Например, если £ — результат измерения напряжения в бытовой электросети, то сказав, что это напряжение равно 220 В с возможными отклонениями плюс-минус 40 В, мы удовлетворим подавляющее большинство запросов пользователей этой сети. Для некоторых случайных величин подобное описание может оказаться и неинформативным. Как правило, это происходит тогда, когда возможное рассеяние значений случайной величины оказывается значительным и соизмеримым со всем диапазоном принимаемых  значений. Мы рассмотрим здесь некоторые числовые показатели, называемые числовыми характеристиками случайной величины, которые отражают характерные для данной случайной величины аспекты ее поведения и позволяют описывать случайную величину в компактной форме. Важнейшими среди них  являются характеристики положения, характеристики рассеяния и характеристики связи. 

5.Литература

 

1. Свердлов Б.Г. Курс лекций «СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАДИОСИСТЕМ»

2. Коваленко И.Н., Филиппова  А.А. Теория вероятностей и математическая  статистика. М.: Высшая школа, 1973. - 368с.

3. Вентцель Е.С., Овчаров  Л.А. Теория вероятностей и ее  инженерные приложения

  М.: Высшая школа, 2000. - 480с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей  и математическая статистика. М.: Высшая

школа, 1999. - 479с.

5. Пытьев Ю.П., Шишмарев  И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 256с.

6. Пугачев В.С. Теория вероятностей  и математическая статистика. М.: Наука, 1979.

7. Колемаев В.А., Староверов  О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей  и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991. - 400с.

8. Фигурин В.А., Оболонкин  В.В. Теория вероятностей и математическая  статистика. М.: Новое знание, 2000. - 206с.

9. Чистяков В.П. Курс теории  вероятностей. М.: Наука, 1982. - 256с.

10. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1976. - 352с.

11. Кремер Н.Ш.  Теория  вероятностей и математическая  статистика. М.: ЮНИТИ