Числовые последовательности в информатике
Введение
Числовая, текстовая, графическая и звуковая информация может обрабатываться компьютером, если она представлена в двоичной знаковой системе. Информация в двоичном компьютерном коде, т.е. данные, представляет собой последовательность нулей и единиц. Данные обрабатываются компьютером в форме последовательностей электрических импульсов. В связи с этим существует множество программ и устройств по обработке числовых последовательностей. Основанные на математических методах, они позволяют решать задачи самого широкого профиля. По сути любая программа по определенным алгоритмам обрабатывает числовые последовательности, которые в будущем для нас представляются той или иной информацией.
Любому специалисту в ходе практической деятельности приходится совершать операции над количественными данными, которые осуществляются в соответствии с математическими законами. Математическая теория изменяется сравнительно медленно, однако технология применения математических методов претерпела значительно более существенные изменения. Буквально за последние десятилетия пройден путь от расчетов в уме и на бумаге к применению счетов, арифмометров, калькуляторов и далее — к расчетам на компьютере. Поэтому в настоящее время специалист, даже хорошо знающий математику, но не умеющий применять математические методы на компьютере, не может считаться специалистом современного уровня.
С помощью числовых последовательностей, математики описывают процессы, встречающиеся нам в жизни. Поэтому важно научиться обрабатывать числовые последовательности с помощью средств современных компьютеров. В этом случае необходимо определить что называется числовой последовательностью, показать способы ее задания, привести примеры описания процессов с помощью числовых последовательностей.
Числовой последовательностью
Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:
| 1,2,3,4,5…
2,4,6,8,10,… 1,3,5,7,9,… 2,4,9,16,… 2,3,5,7,11,… 1, |
-последовательность
натуральных чисел;
-последовательность четных чисел; -последовательность нечетных чисел; -последовательность квадратов натуральных чисел; -последовательность простых чисел; -последовательность чисел, обратных натуральным |
С одним из видов числовой последовательности мы встречаемся в биологии. Число образовавшихся клеток при митозе и мейозе изменяется как n-й член геометрической прогрессии со знаменателем 2 и 4 соответственно. В литературе, при изучении стихотворных метров, на помощь приходит арифметическая прогрессия. Например, ямб – стихотворный метр с акцентами на чётных слогах стиха. Номера ударных слогов (второй, четвёртый, шестой, восьмой и т. д.) образуют арифметическую прогрессию с первым членом два и разностью, равной двум. Числовые последовательности нашли своё применение и в экономике. Так, при подсчёте банковского процента нам помогает арифметическая и геометрическая прогрессии. Если смотреть на листья растения сверху, можно заметить, что они распускаются по спирали. Углы между соседними листьями образуют правильный математический ряд, известный под названием последовательности Фибоначчи. Благодаря этому каждый отдельно взятый лист, растущий на дереве, получает максимально доступное количество тепла и света. В природе последовательность Фибоначчи можно проследить на примерах спирального развития сегментов раковины и лепестков подсолнуха, расходящихся лучами из одной точки в центре цветка. в строении нашего тела, в ботанике, в процессах квантовой механики, в практической деятельности людей, она нашла широкое научное применение в математике, технике, музыке, эстетике и пр.
В
своей курсовой работе я приведу
примеры использования
Фигурные числа в треугольнике Паскаля.
В математике существует множество последовательностей, упакованных в одну форму. Примером может являться треугольник Паскаля.
Треугольник Паскаля часто записывают в виде равнобедренного треугольника, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину.
Треугольник Паскаля прост, но в то же время таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные разделы математики, не имеющие на первый взгляд ничего общего. Отметим лишь некоторые из основных свойств.
Каждый элемент является биномиальным коэффициентом. Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его не только с комбинаторикой и теорией вероятностей, но и другими областями математики и ее приложений, вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.
В этой части курсовой работы поставлена следующая задача: задать треугольник Паскаля с помощью Microsoft Office Excel и показать ряд интересных свойств этого треугольника.
Для этого в столбце А укажем номер строки треугольника: строки нумеруются сверху вниз, начиная с нуля. В столбец В заполним нулями. Вершина треугольника находится в ячейке С1, значение которой равно 1. С помощью сложения двух соседних элементов предыдущей строки заполняем строку 2(к=1). Для этого в ячейку С2 записываем формулу вычисления В1+С1 и переносим ее на соседнюю ячейку.
Растянув формулы по строкам и столбцам получаем треугольник Паскаля:
Пользуясь возможностями Excel, не проводя вычислений, рассмотрим некоторые свойства треугольника Паскаля. Рассмотрим значения треугольника находящиеся в столбцах. Очевидно, что столбец D содержит натуральный ряд. Столбец Е – ряд треугольных чисел. Покажем это.
Треугольное
число — это число кружков,
которые могут быть расставлены
в форме равностороннего
Последовательность треугольных чисел Тn для n = 0, 1, 2, … начинается так:
0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …
n-ый член последовательности треугольных чисел можно задать так: Tn=1+2+3+…+n
Покажем, что в треугольнике Паскаля действительно есть последовательность треугольных чисел:
Tn=E(n+1)=D(n)+E(n)= D(n)+ D(n-1)+E(n-1)=…=
=Dn+D(n-1)+…+D1+E1=0+1+2+
Так как ряд начинается с ячейки E2 со значением 0, то для шестого члена последовательности имеем: T6=E7=1+2+…+6=15.
Соседний столбец, столбец F заполнен элементами последовательности тетраэдрических чисел Sn: 0,1,4,10, 24,36,... Эти числа показывают, сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).
Известно, что каждый член этой последовательности может быть описан с помощью треугольных чисел: Sn= T1+T2+…+Tn. Действительно, геометрически это можно показать так:
В
нашем случае элемент Sn расположен
в ячейке по адресу F(n+2)=E(n+1)+F(n+1)=E(n+1)+
Есть еще одна последовательность фигурных чисел, которая может быть выражена с помощью треугольных чисел: квадратная. Kn=Tn+Tn-1. Элементы этой последовательности найдем с помощью Exsel. Задав для элементов столбца F формулу Fn=En+E(n-1) получаем элементы последовательности квадратных чисел.
Геометрически такие числа могут быть представлены в виде площади квадрата с целочисленной стороной.
Пространственно
из этих чисел получаются пирамиды
с четырехугольником в
Назовем последовательность таких чисел пирамидальной-4 Pn. Приведем пример:
Pn=K1+K2+…+Kn=T1+(T1+T2)+(T2+T
=(T1+T2+…+Tn-1)+(T1+T2+…+
Итак, представим в Excel все разобранные выше последовательности фигурных чисел.
Изучение элементов теории фигурных чисел на занятиях по математике в старших классах средней школы не только возможно, но и крайне желательно: обширный исторический материал, расцвеченный увлекательными легендами и мифами, способствует повышению интереса к предмету, интересные геометрические конструкции выполняют пропедевтическую роль, готовя старшеклассников к изучению современной дискретной математики, в частности теории графов.
Задание
треугольника Паскаля в Excel делает
доступным мгновенное вычисление любого
элемента, позволяет убедиться во множестве
его свойств.
Узоры таблицы Пифагора
Впервые таблица Пифагора примерно в том же виде, в каком ее печатают на обложках школьных тетрадей, но в ионийской нумерации, появилась в сочинении неопифагорейца Никомаха Геразского (I-II вв. н. э.) "Введение в арифметику". По словам Никомаха, эта таблица восходит "к самому Пифагору". Еще более древние таблицы умножения обнаружены на месопотамских глиняных табличках - их "возраст" около 5 тысяч лет. Таблицу Пифагора можно расширять вправо и вниз до бесконечности, соблюдая единственное условие: каждое число таблицы есть произведение номера строки и номера столбца, в которых оно стоит.
Расширенные таблицы умножения существуют давно. Так, например, в первой печатной математической книге на русском языке "Считание удобное, которым всякий человек, купующий или продающий, зело удобно изыскати может число всякие вещи" (Москва, 1682) имеется таблица умножения чисел от 1x1 до 100x100.
Таблица умножения скрывает в себе много замечательных математических закономерностей, поиск которых способен превратиться в увлекательное занятие, сулящее немало сюрпризов.
К
изучению свойств расширенной таблицы
Пифагора можно привлечь компьютер.
Каждое число таблицы изобразим
точкой (или клеткой) координатной плоскости
монитора и в соответствии со свойствами
чисел окрасим точки каким-либо
цветом. Это реализуется с помощью
шаблона программы, написанной на языке
Turbo Basic version 1.1.
screen 12
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),15,bf
if условие then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),1,bf
next m,n
При исполнении программы каждое число p расширенной таблицы Пифагора 120x120, находящееся на пересечении n-го столбца и m-й строки, будет изображаться белой клеткой, а числа, удовлетворяющие заданному в программе условию, - синими.
Так, на рис. 1 (программа 1) синим цветом выделены квадратные числа таблицы Пифагора: 1, 4, 9, 16, …, n2,… , зеленым - треугольные: 1, 3, 6, 10, …, 1/2 n(n+1),… красным - числа одновременно и квадратные и треугольные: 1, 36, 1225, 41616 и т.д.
Чтобы
получить представление о том, как
в таблице Пифагора расположены
числа, дающие одинаковые остатки при
делении, например на 5, закрасим числа,
дающие остатки 0, 1, 2, 3, 4, каждое своим
цветом. Как это ни удивительно, но
таблица Пифагора оказывается расчленен
ной на совершенно одинаковые по раскраске
квадраты (рис. 2, программа 2).
Аналогичное разбиение получается при
делении чисел таблицы на любое другое
натуральное число k,
в чем легко убедиться, заменив в программе
число 5 на него.
Благодаря свойству периодичности таблицы Пифагора по остаткам на экране возникают разнообразные мозаики. Очевидно, чем больше k, тем больше будет остатков r, тем больше потребуется цветов. Чтобы узоры не были слишком пестрыми, ограничимся, например, тремя цветами. Для этого остатки сгруппируем по модулю 3, то есть первым цветом закрасим числа таблицы с остатками 1, 4, 7, 10.., вторым - числа с остатками 2, 5, 8, 11.., а третьим - числа, кратные 3 (рис.3, программа 3).
Можно расчленить любую из этих мозаик на три одноцветные, дополняющие одна другую до полной мозаики. Каждая из них в отдельности тоже представляет интерес (рис.4, программа 4).
Еще
один вариант трехцветных мозаик
приведен на рис. 5 (программа 5). Здесь
для большей симметрии
Интересные мозаики возникают и тогда,
когда красят не все числа, а выборочно.
Например, трехцветный узор на рис. 6 (программа
6). Кружевной монохромный узор (рис.7, программа
7) возникает, если во всей таблице закрасить
одинаковым цветом только числа, дающие
остатки, сравнимые с одним и тем же натуральным
числом.
А
если в программу включить генератор
случайных чисел для
На рис. 9 (программа 9) показано, как в таблице Пифагора 32x32 чередуются числа нечетных и четных сотен. Здесь каждое число изображено клеткой синего или зеленого цвета. Причем числа первой, третьей, пятой и т. д. сотни закрашены синим, а числа второй, четвертой, шестой и т.д. - зеленым. Ясно, что если произведение n x m постоянно, то между числами существует обратная пропорциональность, поэтому чередующиеся синие и зеленые полосы имеют гиперболическую форму.
С увеличением произведения n x m ширина полос уменьшается, а затем полосы и вовсе разрываются и распадаются на одноцветные островки, которые группируются с островками того же цвета, но из другой сотни, образуя симметричные формы (рис. 10, программа 10). Здесь каждое число таблицы 480x480 изображено точкой-пикселем.
Занимаясь
изучением свойств таблицы
ПРОГРАММЫ
1. "Квадратные и треугольные числа"
screen 12
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), 15,bf
q=int(sqr(p))^2
if p=q then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),9,bf
t=int(sqr(2*p))
if p=t*(t+1)/2 then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),2,bf
t=int(sqr(2*p))
if p=t*(t+1)/2 and p=q then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),4,bf
next m,n
2. "Остатки по модулю 5"
screen 12
for n=1 to 60
for m=1 to 60
p=m*n
c=p mod 5
line (8*n,8*m)-(8*n+6,8*m+6), c+9,bf
next m,n
3. "Трехцветные мозаики по остаткам"
screen 12
for k=1 to 50
cls
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
r=p mod k
c=r mod 3
line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), 3*c+9,bf
next m,n,k
4. "Разложенные мозаики"
screen 12
for k=2 to 29 step 3
cls
for n=1 to 150
for m=1 to k
p=m*n
r=p mod k
c=r mod 3
line(4*n,4*m+165*c)-(4*n+ +2,4*m+165*c+2),3*c+9,bf
next m,n,k
5. "Трехцветные мозаики с дополнениями"
screen 12
for k=1 to 50
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
r=p mod k
if r>k/2 then r=k-r
c= r mod 3
line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), c,bf
next m,n,k
6. "Трехцветные мозаики - не плотные"
screen 12
for k=1 to 50
cls
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
r=p mod k
if r=1 or r=k-1 then line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),9,
if r=k\2 or r=k-k\2 then line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), 12,bf
if r=k\4 or r=k-k\4 then line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), 15,bf
next m,n,k
7. "Монохромный
узор"
screen 12
for k=1 to 50 step 3
cls
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
r=p mod k
if r mod 3=2 then line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),
next m,n,k
8. "Калейдоскоп узоров"
screen 12
for i=1 to 50
c(1)=int(rnd(1)*6)
1 c(2)=int(rnd(1)*11)
if c(2)=c(1) then goto 1
2 c(0)=int(rnd(1)*16)
if c(0)=c(1) or c(0)=c(2) then 2
3 k=int(rnd(1)*43)+7
if k mod 3=0 then 3
for z=1 to 1000000
next z
cls
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
r=p mod k
if r>k/2 then r=k-r
c= r mod 3
line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), c(c),bf
next m,n,i
9."Чередование сотен"
screen 12
for n=1 to 60
for m=1 to 60
p=m*n
c=int(p\100) mod 2+1
line(8*n,8*m)-(8*n+6,8*m+6), c,bf
next m,n
10. "Чередование
сотен точечное"
screen 12
for n=1 to 480
for m=1 to 480
p=n*m
p=int(p/100)
c=p mod 2+1
pset (n,m),c
next m,n
Энциклопедия
целочисленных
Нил
Дж. А. Слоун (Neil J. A. Sloane) - известный математик,
работает в AT&T Bell Laboratories. Его основные
работы относятся к теории графов,
геометрии выпуклых тел и комбинаторике.
В 1995 году вышла книга Дж. Слоуна
"Энциклопедия целочисленных
Книга представляет собой хорошо систематизированную подборку самых разнообразных числовых последовательностей, которые встречаются в математике, информатике и смежных науках. О каждой последовательности можно узнать много занимательных фактов, найти ссылки на литературу. Но самое интересное, что все эти факты и комментарии не только существуют в изданной за рубежом и не переведенной книге, но и доступны любому желающему через Интернет. Энциклопедия Слоуна работает и в "почтовом" режиме: точно такая же справка будет выслана по электронной почте, если отправить e-mail по адресу [email protected], а в теле письма указать начало интересующей вас последовательности.
Подробно
остановимся на изучении Электронной
энциклопедии целочисленных
Кому
она может пригодиться? Если при
решении задачи получился некоторый
набор значений для частных случаев
и вывести общую формулу
Каждая
последовательность задается своим
индивидуальным именем. Так, например,
последовательность треугольных чисел
имеет имя A000217. Для поиска описания
нужной последовательности достаточно
просто вести ее элементы или имя
в диалоговое окно. По работе с ним
даются следующие рекомендации: вводить
приблизительно 6 членов; первый или
второй член лучше отбросить, так
как существует множество разногласий,
где начинается последовательность;
не вводить слишком много членов.
Пользуясь этими
| A000578
A055012 A175420 A133048 A052045 A066023 A133823 A050750 A133820 |
Кубическая, a(n)=n3
Сумма кубов степени 3 Последовательность получающихся чисел после 1-ого шага повторения определенная в A175419 Powerback (n):
полностью измените десятичное
расширение n, понизьте любые ведущие
ноли, затем примените карту Кубы, имеющие цифру ноль в их десятичном расширении. (a(n)7+1)/(n7+1)≤1 Треугольник, ряды которого - последовательности увеличения и уменьшения кубов Кубы, не содержащие пары последовательных равных цифр Треугольник, ряды которого - последовательности увеличивающихся кубов И т.д. |
Уточним сведения об интересующей нас последовательности A000578.
Здесь представлены члены этой последовательности и комментарии.
Гиперссылки:list
- дает возможность познакомиться с
элементом последовательности по его
номеру (приложение 1), graph – графическое
представление данных ( приложение2), listen
- эта страница, написанная Дэвидом Апплегэйтом,
производит файл MIDI для последовательности,
используя показанные параметры настройки
(приложение3), history - дает комментарии о
последовательности(
Приложение1
Приложение 2:
Приложение3
Изменение A-числа в первом окне будет играть различную последовательность (хотя это не будет изменять заголовок страницы).
Модуль подачи + погашение подачи должно быть <129, модуль продолжительности +, погашение продолжительности должно быть <6.
Приложение4
Заключение
В
данной курсовой работе я привела
примеры использования