Числовые ряды

Содержание.

 

1. Определение  числового ряда. Сходимость……………..2

2. Основные свойства  числовых рядов…………………….8

3. Ряды с положительными  членами.

 Признаки  сходимости………………………………………12

4. Знакочередующиеся  ряды.

 Признак  сходимости Лейбница……………………………20

5. Знакопеременные ряды…………………………………...21

6. Ряды с положительными  членами…………………….....23

Список используемой литературы……………………….....27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Определение  числового ряда. Сходимость

 

В математических приложениях, а также при решении  некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами.

Пусть задана бесконечная  числовая последовательность

, , …, , …

Определение 1.1. Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида

 

. (1.1)

 

Числа называются членами ряда, – общим или n–м членом ряда.

Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления -го члена ряда по его номеру

 

Пример 1.1. Пусть . Ряд

 (1.2)

 

называется гармоническим рядом.

 

Пример 1.2. Пусть , Ряд

 

       (1.3)

 

называется обобщенным гармоническим рядом. В частном случае при получается гармонический ряд.

 

Пример 1.3. Пусть = . Ряд

 

 (1.4)

 

называется рядом геометрической прогрессии.

Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где – сумма первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой, т. е.

 

,

,

,

…………………………….

,  (1.5)

…………………………….

Числовая последовательность при неограниченном возрастании номера может:

1) иметь конечный  предел;

2) не иметь  конечного предела (предел не  существует или равен бесконечности).

Определение 1.2. Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е.

В этом случае число  называется суммой ряда (1.1) и пишется

 

.

 

Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.

Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.

Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося  ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.

Рассмотрим  несколько примеров.

Пример 1.4. Доказать, что ряд

 

 

сходится, и  найти его сумму.

Найдем n-ю частичную сумму данного ряда .

Общий член ряда представим в виде .

Тогда  

 

Отсюда имеем: . Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:

 

 

Пример 1.5. Исследовать на сходимость ряд

 

 (1.6)

 

Для этого ряда

 

. Следовательно, данный ряд расходится.

 

Замечание. При ряд (1.6) представляет собой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.

 

Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд

 

  (1.7)

 

Для этого ряда

В этом случае предел последовательности частичных сумм не существует, и ряд расходится.

 

Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд геометрической прогрессии (1.4):

 

 

Нетрудно показать, что n-я частичная сумма ряда геометрической прогрессии при задается формулой

 

.

 

Рассмотрим случаи:

1) Тогда и .

 

Следовательно, ряд сходится и его сумма равна

2) .

Тогда и .

 

Следовательно, ряд расходится.

3) или Тогда исходный ряд имеет вид (1.6) или (1.7) соответственно, которые расходятся. Окончательно имеем

 (1.8)

 

Пример 1.8. Найти сумму ряда

 

 

Очевидно, что данный ряд  является рядом геометрической прогрессии. В нашем случае . Тогда из формулы (1.8) следует

 

.

 

Исследование  на сходимость гармонического ряда (1.2) и обобщенного гармонического ряда (1.3) будет проведено в следующем разделе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Основные свойства числовых  рядов

 

Свойства суммы  конечного числа слагаемых отличаются от свойств ряда, т. е. суммы бесконечного числа слагаемых. Так, в случае конечного числа слагаемых их можно группировать в каком угодно порядке, от этого сумма не изменится. Существуют сходящиеся ряды (условно сходящиеся, которые будут рассмотрены в разделе 5), для которых, как показал Риман^*, меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд.

Пример 2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида (1.7)

 

 

Сгруппировав его члены  попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:

 

 

С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также  сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице:

 

 

Сходящиеся  ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать  с ними, как с конечными суммами. Так их можно умножать на числа, почленно складывать и вычитать. У них можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые. 

Теорема 2.1. (Необходимый признак сходимости ряда).

Если  ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.

 

 (2.1)

 

Доказательство  теоремы следует из того, что , и если

S – сумма ряда (1.1), то

 

Условие (2.1) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т. е., если общий  член ряда стремится к нулю при  , то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда (1.2) однако, как будет показано ниже, он расходится.

Следствие (Достаточный признак расходимости ряда).

Если общий  член ряда не стремится к нулю при , то этот ряд расходится.

 

Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд

 

.

 

Для этого ряда

 

Следовательно, данный ряд  расходится.

Рассмотренные выше расходящиеся ряды (1.6), (1.7) также являются таковыми в силу того, что для них не выполняется необходимый признак сходимости. Для ряда (1.6) предел для ряда (1.7) предел не существует.

 

Свойство 2.1. Сходимость или расходимость ряда не изменится, если произвольным образом удалить из него, добавить к нему, переставить в нем конечное число членов (при этом для сходящегося ряда его сумма может измениться).

Доказательство  свойства следует из того, что ряд (1.1) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

Свойство 2.2. Сходящийся ряд можно умножать на число, т. е., если ряд (1.1) сходится, имеет сумму S и c – некоторое число, тогда

Доказательство  следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства

 

Свойство 2.3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если ряды ,

     сходятся,

то и ряд 

сходится  и его сумма равна  т. е.

 

.

 

Доказательство  следует из свойств предела конечных сумм, т. е.

 

 

Пример 2.3. Вычислить сумму ряда

 

.

Общий член ряда представим в виде

Тогда исходный ряд можно представить в виде почленной разности двух сходящихся рядов геометрической прогрессии

 

 

Используя формулу (1.8), вычислим суммы соответствующих  рядов геометрической прогрессии.

Для первого  ряда поэтому

 

.

 

Для второго  ряда поэтому

 

Окончательно имеем

   .

 

3. Ряды  с положительными членами. Признаки  сходимости

 

Определить  сходимость ряда (1.1) и найти его  сумму в случае сходимости непосредственно по определению 1.1 как предела последовательности частичных сумм, весьма затруднительно. Поэтому существуют достаточные признаки определения сходится ряд или расходится. В случае его сходимости приближенным значением его суммы с любой степенью точности может служить сумма соответствующего числа первых n членов ряда.

Здесь будем рассматривать  ряды (1.1) с положительными (неотрицательными) членами, т. е. ряды, для которых Такие ряды будем называть положительными рядами.

Теорема 3.1. (признак сравнения)

Пусть даны два  положительных ряда

 

, (3.1)

,  (3.2)

 

и выполняются  условия  для всех n=1,2,…

Тогда: 1) из сходимости ряда (3.2) следует сходимость ряда (3.1);

2) из расходимости  ряда (3.1) следует расходимость ряда (3.2).

Доказательство. 1. Пусть ряд (3.2) сходится и его сумма равна В. Последовательность частичных сумм ряда (3.1) является неубывающей ограниченной сверху числом В, т. е.

 

 

 

Тогда в силу свойств таких  последовательностей следует, что  она имеет конечный предел, т. е. ряд (3.1) сходится.

2. Пусть ряд  (3.1) расходится. Тогда, если ряд  (3.2) сходится, то в силу доказанного выше пункта 1 сходился бы и исходный ряд, что противоречит нашему условию. Следовательно ряд (3.2) также расходится.

Этот признак  удобно применять к определению  сходимости рядов, сравнивая их с  рядами, сходимость которых уже известна.

 

Пример 3.1. Исследовать на сходимость ряд

 

 

Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося ряда геометрической прогрессии

 

 т. к.  , n=1,2,…

 

Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд  также сходится.

 

Пример 3.2. Исследовать на сходимость ряд

 

 

Члены данного  ряда положительны и больше соответствующих  членов расходящегося гармонического ряда

 

 т. к. 

 

Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд расходится.

 

Теорема 3.2. (Предельный признак Даламбера¹).

Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел

 

 

Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;

2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;

3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.

Замечание: Ряд (1.1) будет расходиться и в том случае, когда

 

 

Пример 3.3. Исследовать на сходимость ряд

 

.

 

Применим предельный признак  Даламбера.

В нашем случае .

Тогда

 

Следовательно, исходный ряд  сходится.

 

Пример 3.4. Исследовать на сходимость ряд

 

 

Применим предельный признак  Даламбера:

 

 

Следовательно, исходный ряд сходится.

 

Пример 3.5. Исследовать на сходимость ряд

 

 

Применим предельный признак Даламбера:

 

Следовательно, исходный ряд расходится.

 

Замечание. Применение предельного признака Даламбера к гармоническому ряду не дает ответа о сходимости этого ряда, т. к. для этого ряда

 

 

Теорема 3.3. (Предельный признак Коши^*).

 

Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел

 

Тогда:  1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;

2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;

3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.

 

Пример 3.6. Исследовать на сходимость ряд

 

 

Применим предельный признак Коши:

 

 

Следовательно, исходный ряд сходится.

 

Теорема 3.4. (Интегральный признак Коши).

Пусть функция f(x) непрерывная неотрицательная невозрастающая функция на промежутке

Тогда ряд  и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

 

Пример 3.7. Исследовать на сходимость гармонический ряд

 

 

Применим интегральный признак Коши.

В нашем случае функция  удовлетворяет условию теоремы 3.4. Исследуем на сходимость несобственный интеграл

 

Имеем .

 

Несобственный интеграл расходится, следовательно, исходный гармонический ряд расходится также.

 

Пример 3.8. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

 

 

Функция удовлетворяет условию теоремы 3.4.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл

Рассмотрим  следующие случаи:

1) пусть  Тогда обобщенный гармонический ряд есть гармонический ряд, который расходится, как показано в примере 3.7.

2) пусть  Тогда

 

 

Несобственный интеграл расходится, и, следовательно, ряд расходится;

3) пусть Тогда

 

 

Несобственный интеграл сходится, и, следовательно, ряд  сходится.

Окончательно  имеем

 

 

Замечания. 1. Обобщенный гармонический ряд будет расходиться при , т. к. в этом случае не выполняется необходимый признак сходимости: общий член ряда не стремится к нулю.

2. Обобщенный  гармонический ряд удобно использовать  при применении признака сравнения.

Пример 3.9. Исследовать на сходимость ряд

 

Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося обобщенного гармонического ряда

 

т. к. и параметр

 

Следовательно, исходный ряд сходится (по признаку сравнения).

Перейдем к  рассмотрению рядов, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Знакочередующиеся ряды. Признак  сходимости Лейбница

 

Определение 4.1. Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.

Такие ряды удобнее записывать в виде

 

 (4.1)

или в виде

,     (4.2)

 

где

Для определения  сходимости знакочередующихся рядов  существует весьма простой достаточный  признак.

Теорема 4.1. (Достаточный признак сходимости Лейбница^*).

Для того чтобы знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходился, достаточно, чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n.

Таким образом, если и то знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходится.

 

Пример 4.1. Ряд

 

    (4.3)

 

сходятся, т. к. для него выполняются все условия  признака сходимости Лейбница.

 

5. Знакопеременные ряды

 

Рассмотрим  числовые ряды

 

 (5.1)

с произвольными членами, т. е. члены ряда могут быть как положительными, так и отрицательными. Такие ряды называются знакопеременными.

Образуем новый  ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) членов ряда (5.1), т. е. ряд

 

 (5.2)

 

Теорема 5.1. Если ряд сходится, то сходится и исходный ряд

 

Вообще говоря, обратное утверждение неверно, т. е. из сходимости ряда (5.1) не следует сходимость ряда (5.2). Например, как было показано выше ряд  сходится, в то время как ряд расходится.

 

Определение 5.1. Ряд (5.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

 

Определение 5.2. Сходящийся ряд (5.1) называется условно сходящимся, если ряд (5.2) расходится.

Таким образом, ряд  является абсолютно сходящимся.

Абсолютно сходящиеся ряды обладают тем свойством, что  у них можно любым образом менять местами члены ряда. При такой перестановке будут получаться также абсолютно сходящиеся ряды, при этом сумма ряда не изменяется. Как указывалось в разделе 2, условно сходящиеся ряды таким свойством не обладают.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

 

Определение 6.1 Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся  рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.

Пусть {a_n} является числовой последовательностью, такой, что

1.a_n+1 < a_n ;

2.  .

Тогда знакочередующиеся  ряды   и   сходятся.

Абсолютная  и условная сходимость

Определение 6.2 Ряд   называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.  
Если ряд   сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Ряд   называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. 

 

 

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд  .

Решение.

Применим достаточный  признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем      

поскольку  . Следовательно, данный ряд сходится.   

 Пример 2

Исследовать на сходимость ряд  .

Решение.

Попробуем применить  признак Лейбница:      

 

Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞. Поэтому данный ряд расходится

Пример 3

Определить, является ли ряд   абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Решение.

Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствущих членов, находим       

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.   

 Пример 4

Определить, является ли ряд   абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Решение.

Сначала воспользуемся  признаком Лейбница и найдем предел  . Вычислим этот предел по правилу Лопиталя:       

Таким образом, исходный ряд расходится. 

Пример 5

Исследовать на сходимость ряд      

Решение.

Общий член данного  ряда равен  . Применим признак Даламбера к ряду  , составленному из модулей:      

Следовательно. исходный ряд сходится абсолютно. 

Пример 6

Исследовать, является ли ряд   абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Решение.

Применяя признак  Лейбница, видим, что ряд является сходящимся:      

Рассмотрим  теперь сходимость ряда  , составленного из модулей соответствующих членов. Используя интегральный признак сходимости, получаем      

Следовательно исходный ряд   сходится условно. 

Пример 7

Определить, является ли ряд   абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Решение.

Сначала применим признак Лейбница:      

Следовательно, данный ряд сходится. Выясним, является ли эта сходимость абсолютной или  условной. Воспользуемся предельным признаком сравнения и сравним  соответствующий ряд из модулей   с расходящимся гармоническим рядом  :      

Поскольку ряд  , составленный из модулей, расходится, то исходный знакочередующийся ряд является условно сходящимся. 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. «Основы математического анализа», ч.1, ч.2, «Наука» Москва. 1972г.

2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. «Математический  анализ», т.1, т.2. Издательство МГУ,  Москва 1987г.

3.Демидович  Б.П. «Сборник задач и упражнений  по математическому  анализу». Издательство «Наука» 1977г.

^* Риман Георг Фридрих Бернхард (1826 – 1866), немецкий математик.

¹ Даламбер Жан Лерон (1717 – 1783), французский философ и математик, один из представителей французского просвещения XVIII века.

^* Коши Огюстен Луи (1789 – 1857), французский математик.

^* Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 – 1716), выдающийся немецкий философ и математик.