Эйлеровы интегралы. 4

 

Курсовая  работа

Тема. Эйлеровы интегралы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание

Введение

1.Интеграл Эйлера  первого рода (бета-функция Эйлера)

2. Интеграл Эйлера второго рода (гамма-функция Эйлера)

2.1 Определение Эйлерова интеграла второго рода

2.2 Свойства гамма-функции Эйлера

2.2.1 Непрерывность гамма-функции Эйлера

2.2.2 Основное  функциональное уравнение

2.2.3 Поведение  гамма-функции и ее график

2.2.4 Связь  между бета- и гамма-функциями

2.2.5 Формула  дополнения

2.2.6 Формула  Эйлера

3.Примеры  вычисления интегралов с использованием эйлеровых интегралов

Заключение

Список литературы

 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

               Во многих случаях первообразная от заданной элементарной функции не выражается никакими конечными комбинациями основных элементарных функций. Об этих функциях говорят, что они не интегрируемы в конечном виде. В ряде случаев, для вычисления используют так называемые эйлеровы интегралы, являющие собой особый класс функций, которые представляются в виде собственного либо несобственного интеграла, зависящего не только от формальной переменной, а и от параметра. К эйлеровым интегралам относятся так называемые бета- и гамма-функции Эйлера.

      Гамма-функция  относится к числу самых простых  и значимых специальных функций, применение ее свойств поможет при  изучении многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.

      Благодаря её введению значительно расширяются  возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула  не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование гамма-функции, хотя бы при промежуточных преобразованиях.

      Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.

     Цель  данной работы – изучить бета- и гамма-функции, их свойства, установить связь между ними и научиться применять их для вычисления интегралов. 
 
 

1. Интеграл  Эйлера первого рода

                            (БЕта-функция Эйлера) 

      Бета – функцией или интегралом Эйлера первого рода называют интеграл:

                                    =                                 (1.1)

      Данный  интеграл представляет собой функцию от двух переменных параметров a  и  b. Когда эти параметры удовлетворяют условиям a>1 , b<1, то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки и  

      Данный  интеграл (1.1) сходятся при .Полагая получим:

       = - =

      т.е. данная функция симметрична относительно параметров a и b. Учитывая, что

      

      используя формулу интегрирования по частям получим:

      

      Откуда  

             =                            (1.2)

      При целом b = n последовательно применяя (1.2)  получим: 

                             (1.3)

      при целых  = m, = n, имеем

        

      но B(1,1) = 1,поэтому: 

                                                    (1.4)

      Считаем, что  в (1.1) . Так как график функции симметричен относительно прямой ,то

      

      и после подстановки , имеем:

      

      Заменяя в (1.1) ,откуда , получим                                                          

                                                           (1.5)

Полагаем в формуле (1.5) b = 1 – а, считая, что 0< а < 1, мы найдем:

     B (a, 1 – а) = .

Полученный  интеграл также носит имя Эйлера. Вычислим его.

     Разобьем  интеграл на два интеграла: I = = I₁ + I₂, вычислим их по отдельности.

     Для 0 < у < 1 получим разложение в ряд ,

он  сходится равномерно только, если 0 < у 1– ' < 1. Но частичная сумма имеет интегрируемую в [0, 1] мажоранту 

     0 , 

     Поэтому интеграл от нее сходится равномерно (как при у = 0, так и при у = 1). Интегрируя почленно, получим:

                          I₁ = = .

     Интеграл  I₂ подстановкой приводим к виду 

                                 

         Применим разложение  , найдем: I₂ = .

     Таким образом: 

                 I = I₁ + I₂ = +                    (1.6) 

     Данное выражение представляет собой разложение на простые дроби функции . В итоге получаем: = .

     Значит, В (а, 1 – а) = (0 < а < 1).                 (1.7)

     Если, например, взять а = 1 – а = , то получим: 

                                      В ( ; ) = .                                       (1.8)

          Бета-функция очень просто выражается через другую функцию, которую мы рассмотрим в следующем разделе. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Интеграл  Эйлера второго рода

                            (гамма-функция Эйлера) 

1. Определение Эйлерова интеграла второго рода

 

     Название  гамма-функция Эйлера данному интегралу  дал Лежандр: 

                                    Г(а) = ,                         (2.1)

Этот  интеграл сходится при любом а > 0, так как особые точки ¥ и 0 (при а < 0). существует лишь при а > 0 (бесконечно малая порядка а – 1 по отношению к ). существует, каково бы ни было а, так как, взяв > 1, имеем:                 = 0 при .

     Значит, существует при а > 0.

Интеграл  (а) = определяет гамма-функцию .

     Гамма-функция, наравне с элементарными, является одной из важнейших функций для математического анализа и его приложений. Глубокое изучение свойств гамма-функции, исходя из ее интегрального определения (2.1), служит примером применения теории интегралов, зависящих от параметра. Положим в формуле (2.1) х = , найдем:

 

      (а) = = =

     = = – = . 

     Как известно, =, причем выражение при возрастании n стремится к своему пределу, возрастая. В таком случае, на основании предельного перехода под знаком интеграла, оправдано равенство: Г (а) = _.

     Если  сделать подстановку z = yⁿ, получим: 

     Г (а) = ₌ =

     =   ₌  

     Но, согласно формуле (1.3):

 

      = В (а) = . 

     Итак, мы пришли к знаменитой формуле Эйлера-Гаусса: 

                     Г (а) =                (2.2) 

Cвойства гамма-функции будут получены из ее интегрального представления (2.1). 

     2.2 Свойства гамма-функции Эйлера

     2.2.1 Непрерывность гамма-функции Эйлера

     Функция Г (а) при всех значениях а > 0 непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков. Поэтому стоит доказать лишь существование производных. Находя производную интеграла (2.1) под знаком интеграла, получим:

                               = .                           (2.3)

     применение  правила Лейбница объясняется тем, что оба интеграла и сходятся равномерно относительно а: первый при х = 0 для а а₀ > 0 (мажоранта ), а второй сходится при х = для а А < (мажоранта х^А е^-х).

     Таким же образом можно убедиться и в существовании второй производной

                                =                          (2.4)

и всех следующих.

     2.2.2 Основное функциональное  уравнение

     Из  формулы (2.1), интегрируя по частям, имеем:

     a. Г (а) = а = =

     = + = + =

     = = Г (а + 1), то есть Г (а + 1) = а Г (а)             (2.5)

     Используя эту формулу повторно, получим:

                   Г (а+n) = (a+n-1) (a+n-2)… (a+1) a Г(а).             (2.6)

     Значит, вычисление Г для сколь угодно большого значения аргумента может быть приведено к вычислению Г для аргумента меньше 1.

     Если  в формуле (2.6) взять а = 1 и принять во внимание, что

                                    Г(1)= =1,                                    (2.7)

     то  получим, что

                                         Г (n + 1) = n!.                                (2.8)

     Гамма-функция  Эйлера является естественным продолжением – на область любых положительных значений аргумента – факториала n!, определенного лишь для натуральных значений n.

     2.2.3 Поведение гамма-функции и ее график

     Рассмотрим поведении функции Г (а) при возрастании а от 0 до .

     Из  формул (2.7) и (2.8) имеем: Г(1) = Г(2) = 1, поэтому по теореме Ролля, между 1 и 2 должен лежать корень а₀ производной Г'(а). Эта производная постоянно возрастает, ибо вторая производная Г''(а), как видно из ее выражения (2.4), всегда положительна. Значит, при 0 < а < а₀ производная Г'(а) < 0, и функция Г(а) убывает, а при а₀ < а < будет Г'(а) > 0, так что Г(а) возрастает; при а = а₀ у функции минимум, равный:

     а₀ = 1,4616…, min Г (а) = Г (а₀) = 0,8856.

     Рассмотрим предел для Г (а) при приближении а к 0 или к . Из формул (2.7) ясно, что Г (а) = при а . Но, ввиду (2.8)

     Г (а) > n!, лишь только а > n + 1, то есть Г(а) и при а .

      Построим график гамма-функции при a>0  

      Равенство , справедливое при a>0, можно использовать при доопределении гамма-функции на отрицательное значение а.

      Считаем, что при -1 < a<0  Правая часть этого равенства определена дляПолучаем, что так продолженная функция принимает на отрицательные значения, а в граничных точках при , а также при   значения функции устремляются к -.

        Определив таким образом гамма-функцию на интервале (-1 ;0), мы можем по  той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением гамма-функции окажется функция, принимающая положительные значения, а в граничных точках при , а также при   значения функции устремляются к +. Продолжая этот процесс, определим гамма-функцию, имеющею разрывы в целочисленных точках а = - к для к = 0; 1; 2;…

      Отметим еще раз, что интеграл

      

определяет  гамма-функцию только при положительных значениях a, продолжение на отрицательные значения параметра а осуществлено нами формально с помощью формулы приведения.

       Учитывая эти результаты, можно построить график гамма-функции для всех значений а. 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2.2.4 Связь между  бета- и гамма-функциями

 

     Для установления связи между бета- и гамма -функциями, мы сделаем подстановку x = ty (t>0) в формуле (2.1) и получим: 

     Г (а) = = =

     = = = .

     Умножим обе части этого равенства  на , получим:

                                     .                         (2.9)

     Заменяя здесь а на a + b и одновременно t на 1 + t, получим:

      = .

     Умножим обе части этого равенства на t^a-1 и проинтегрируем по t от 0 до :

     Г (a+b) = .

В интеграле слева стоит функция В (а, b),справа же переставим интегралы. Получим :

     Г (а+b) В (а, b) = = = = = Г (а). Г (b).

     Итак, получаем:

     Г (а+b) В (а, b) = Г (а). Г (b), откуда,  

                                      В (а, b) = .                       (2.10)

     Вывод этого соотношения Эйлера принадлежит Дирихле. Но для его обоснования надо еще оправдать перестановку интегралов. Ограничимся поначалу предположением, что а > 1, b > 1. Тогда для функции t^a-1 y^a+b-1 e^-(1+t)y оказываются выполнимыми все условия следствий интегрирования интеграла по параметру.

     А именно: эта функция непрерывна и  притом положительна для , а интегралы

      = Г (а + b) .

      = Г (а) y^b-1 e^-y

в свою очередь представляют собой непрерывные  функции: первый – от t для t 0, второй – от у для у 0. Ссылка на упомянутое следствие оправдывает перестановку интегралов, а с нею и формулу (2.8) – для случая а > 1, b > 1.

     Если  же известно лишь, что а > 0 и b > 0, то – по доказанному – имеем 

                                В (а+1, b+1) = . 

     А отсюда, используя формулы (1.2), (1.3) приведения для функции В и (2.5) для функции Г, легко вновь получить формулу (2.10) уже без ненужных ограничений.

     2.2.5 Формула дополнения

     Если  в формуле (2.10) положить b = 1-а (считая 0 < а < 1), то, используя формулы (1.6) и (2.7), получим соотношение: 

                        ₌ Г(а) Г (1-а)

     

                                         

     Эта формула называется формулой дополнения. При  находим (так как Г(а)>0)

                             Г ( ). Г (1– ) =                       _(2.11)

     2.2.6 Формула Эйлера

     В качестве применения формулы дополнения определим  величину произведения (где  n – любое натуральное число)

     Е = Г ( ) Г ( ) … Г ( ) Г ( ).

     Запишем это произведение в обратном порядке

     Е = Г ( ) Г ( ) … Г ( ) Г ( ),

     перемножим  оба выражения:

                                  Е² =

и к  каждой паре множителей применим формулу  дополнения. Мы получим: 

                         Е² = = .

Теперь  для вычисления произведения синусов  рассмотрим тождество: 

                               =

     и устремим в нем  , получим:

                              n =

     или, приравнивая модули:

     n = = =

     = = =

     = = = 2 sin = 2 ^n-1 ,

     получили

                               = .

     Подставляя  это выражение для Е ², окончательно получаем:

                              Е = = .                          (2.12)

                                                       Г² ( ) = ,

                                             Г ( ) = .                                (2.13) 

     Если  в интеграле сделать подстановку z= x², то получим значение интеграла Эйлера-Пуассона:

      = = = 2 = . 

1. Примеры  вычисления интегралов с использованием эйлеровых интегралов

1.Вычислить интеграл  вероятности  .

Решение.

В силу чётности функции  интеграл вероятности можно представить в виде:

                                               .

Сделав в этом интеграле замену t = x² , получим следующий интеграл:

                                             

      В дальнейших вычислениях используем формулы:

                                           

                                               Г( )  

      Вычислить интегралы:

      1) 
 
 

4)

                                                                           
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                           

      Заключение

 

             Гамма и бета-функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

      Для гамма-функции составлены подробные таблицы, и при вычислениях она может использоваться наравне с простейшими элементарными функциями.

      Определенные  интегралы различных типов могут  быть выражены через гамма-функцию. В частности, к таким интегралам нередко приводят задачи, связанные с вычислением площадей и объемов.

      Благодаря этому эйлеровы интегралы широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

 

      

Список  литературы

 

1. Аксенов А.П. Математический анализ (Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла). – СПб.: Нестор, 1999
2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1966. – 735 с.
3. Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С, Мордкович А.Г., Математический анализ: интегральное исчисление. – М.: Наука, 1979. – 435 с.
4. Виленкин Н.Я. Специальные функции. – М.: Наука, 1976. – 412 с.
5. Лебедев И.И. Специальные функции и их приложения: М., гостехтериоиздат,1953-234 с.
6. Орлов Ф. Асимптотика и специальные функции. – М.: Наука, 1973 – 215 с.
7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: т. 1, – М.: Интеграл-пресс, 2002. – 415 с.
8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2. – М.: Физматгиз, 1962. – 807 с.